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1、計(jì)算流體力學(xué)電子教案,西南交通大學(xué)應(yīng)用力學(xué)與工程系結(jié)構(gòu)分析教研室 喻勇 2010-4-24,（第一版,2004級(jí)專(zhuān)用）,目錄,第一章 緒論第二章 擴(kuò)散問(wèn)題的有限體積法第三章 對(duì)流擴(kuò)散問(wèn)題的有限體積法第四章 差分格式問(wèn)題第五章 壓力-速度耦合問(wèn)題的有限體積法第六章 有限體積法離散方程的解法第七章 非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)問(wèn)題的有限體積法第八章 邊界條件處理,第五章 壓力-速度耦合問(wèn)題的有限體積法,本章內(nèi)容1 壓力-速度耦合問(wèn)題的計(jì)算難點(diǎn)交錯(cuò)網(wǎng)格技術(shù)SIMPLE算法SIMPLE算法的改進(jìn),5-1 壓力-速度耦合問(wèn)題的計(jì)算難點(diǎn),對(duì)流擴(kuò)散問(wèn)題的微分方程中沒(méi)有直接考慮壓力梯度項(xiàng)（可以認(rèn)為壓力項(xiàng)歸入了源項(xiàng)中），而壓力梯

2、度是引起流體流動(dòng)的最直接的動(dòng)力，壓力場(chǎng)在流場(chǎng)分析中是需要求解的，而它與速度場(chǎng)是相互耦合、相互影響的,一、壓力-速度耦合問(wèn)題方程,不可壓縮流體N-S方程,2維問(wèn)題X方向：,X方向通用形式：,-見(jiàn)P1 (1-2)式,展開(kāi)得：,對(duì)于穩(wěn)態(tài)問(wèn)題，忽略時(shí)間項(xiàng)：,同理得y方向N-S方程：,2維穩(wěn)態(tài)流動(dòng)的連續(xù)性方程：,以上三式相互耦合，相互影響：速度場(chǎng)要滿(mǎn)足連續(xù)性方程和N-S方程，壓力場(chǎng)要滿(mǎn)足N-S方程，同時(shí)壓力場(chǎng)又會(huì)影響速度分布。,二、計(jì)算難點(diǎn),難點(diǎn)1：同位網(wǎng)格有可能不能識(shí)別棋盤(pán)形壓力場(chǎng),對(duì)于一維問(wèn)題，在均勻網(wǎng)格中用中心差分格式求壓強(qiáng)梯度項(xiàng)：,上式不能識(shí)別圖5-1的鋸齒關(guān)壓強(qiáng)分布，因?yàn)橛缮鲜浇Y(jié)果得壓強(qiáng)梯度處

3、處為0.,同位網(wǎng)格：控制體中的u、v、p均存放于同一套網(wǎng)格的節(jié)點(diǎn)上。,對(duì)于二維問(wèn)題，有：,上式不能識(shí)別圖5-2的壓強(qiáng)分布，因?yàn)橛缮鲜浇Y(jié)果得壓強(qiáng)梯度處處為0.,難點(diǎn)2：壓力場(chǎng)難以求解,在二維問(wèn)題中，對(duì)于N-S方程采用分離式求解法：在u、v、p中，求其中一個(gè)變量時(shí)認(rèn)為另兩個(gè)為已知，經(jīng)過(guò)一次計(jì)算不能得到正確結(jié)果，需要迭代求解。此時(shí)會(huì)遇到的一個(gè)問(wèn)題是：壓力本身沒(méi)有控制方程，它是以源項(xiàng)形式出現(xiàn)在動(dòng)量方程中。壓力與速度的關(guān)系隱含在連續(xù)性方程中，如果壓力場(chǎng)是正確的，則據(jù)此壓力場(chǎng)而解得的速度場(chǎng)必然滿(mǎn)足連續(xù)性方程。因此，這就要求分離式求解時(shí)能從速度場(chǎng)的計(jì)算結(jié)果得到改進(jìn)壓力場(chǎng)的計(jì)算式，但這一改進(jìn)式無(wú)法直接得到。,

4、三、解決辦法,難點(diǎn)2：壓力場(chǎng)難以求解-SIMPLE算法,難點(diǎn)1：同位網(wǎng)格有可能不能識(shí)別棋盤(pán)形壓力場(chǎng)-采用交錯(cuò)網(wǎng)格,SIMPLE算法Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equation壓力耦合方程的半隱計(jì)算格式,5-2 交錯(cuò)網(wǎng)格技術(shù),一、交錯(cuò)網(wǎng)格布置方式,交錯(cuò)網(wǎng)格：以二維問(wèn)題為例，將速度u、v及壓力p（包括其它所有標(biāo)量場(chǎng)及物性參數(shù)）分別存儲(chǔ)于三套不同網(wǎng)格上的網(wǎng)格系統(tǒng)。以壓力控制體為主控制體（稱(chēng)P控制體），速度u存于P控制體的東、西界上速度v存放于P控制體的南、北界面上。u、v各自的控制體是以速度所在位置為中心的，與P控制體在x或y方向相差半個(gè)網(wǎng)格步，

5、分向前錯(cuò)位和向后錯(cuò)位。,P控制體 ue控制體 vn控制體,采用交錯(cuò)網(wǎng)格后，關(guān)于u、v、p的離散方程是通過(guò)對(duì)u、v、p控制體積分得到。例如，x方向N-S方程在uw控制體積分。,x方向N-S方程,即：,在uw控制體上積分得（見(jiàn)uw控制體）：,上式中：,將此式移抄至下頁(yè),同理得：,以上兩式可以處理圖5-1和5-2所示的壓力分布。為什么？,（5-6）,（5-7）,交錯(cuò)網(wǎng)格系統(tǒng)的3套網(wǎng)格及編號(hào)系統(tǒng)，使得編號(hào)及編程都比較復(fù)雜標(biāo)量存于大寫(xiě)節(jié)點(diǎn)，矢量存放于小寫(xiě)節(jié)點(diǎn)。i系列編號(hào)表示u控制體的節(jié)點(diǎn)，j系列編號(hào)表示v控制體節(jié)點(diǎn)，大寫(xiě)的I 或J表示主控制體在x、y方向的節(jié)點(diǎn)。,u控制體 i,J,v控制體 I ,j,控

6、制體 I ,J,注意編號(hào)中大小寫(xiě)的組合,二、方程的離散包括x方向、y方向動(dòng)量方程的離散以及連續(xù)性方程的離散。動(dòng)量方程的離散與24章相同，只是多了一項(xiàng)壓力梯度項(xiàng)，壓力梯度項(xiàng)的離散見(jiàn)（5-6）式和（5-7）式,（5-6）,（5-7）,1. x方向動(dòng)量方程的離散,前2章通用離散方程：,本章以速度代替通用變量，并考慮壓強(qiáng)：,或：,該式中的系數(shù)ai,j及anb由任意一種差分格式得到，如上風(fēng)差分、混合差分、乘方格式或QUICK格式等。而系數(shù)ai,j及anb是F與D的組合，現(xiàn)討論F、D的表達(dá)式。,u控制體 i,J(注意該圖與圖5-3水平錯(cuò)動(dòng)了半格),對(duì)于均勻網(wǎng)格u控制體 i,J的對(duì)流量F（沿流動(dòng)方向線(xiàn)性插值

7、）：,以上四式中：,其余類(lèi)似。代入四式得：,注意：u、v的下標(biāo)區(qū)別;式中的u、v為上一迭代步結(jié)果，視為已知。,對(duì)于均勻網(wǎng)格u控制體 i,J的擴(kuò)散量D ：,y方向動(dòng)量方程的離散同此，即：,上式系數(shù)中包含F(xiàn)和D，各節(jié)點(diǎn)的F、D表達(dá)式為：,2.y方向動(dòng)量方程的離散,3.連續(xù)性方程的離散在主控制體中離散，方法同前。,2維穩(wěn)態(tài)流動(dòng)的連續(xù)性方程：,即：,上式在主控制體上積分并利用高斯公式得離散方程：,課本中誤為“-”號(hào),總結(jié)交錯(cuò)網(wǎng)格條件下，二維壓力速度耦合問(wèn)題的有限體積法的離散方程組為,以上三式分別對(duì)應(yīng)三套網(wǎng)格中的控制體如果壓力場(chǎng)能滿(mǎn)足（5-8）和（5-10）式，且由這兩式解出的速度場(chǎng)滿(mǎn)足（5-12）式，

8、且該壓力場(chǎng)和速度場(chǎng)為正確解。,難點(diǎn)2：壓力場(chǎng)難以求解-SIMPLE算法,難點(diǎn)1：同位網(wǎng)格有可能不能識(shí)別棋盤(pán)形壓力場(chǎng)-采用交錯(cuò)網(wǎng)格,備忘：壓力速度耦合問(wèn)題的難點(diǎn),5-3 SIMPLE算法,一、基本SIMPLE算法,該算法基本思想：是一種壓力預(yù)測(cè)-修正方法，通過(guò)不斷修正計(jì)算結(jié)果，反復(fù)迭代，最后求出p、u、v的收斂解。,基本思路（以二維問(wèn)題為例說(shuō)明）：,1. 假設(shè)一個(gè)壓力分布p*，用它求解動(dòng)量方程式，得到初始速度分布u*、v*，即：,一般，由于壓力場(chǎng)不是真實(shí)的，由此得到的速度場(chǎng)也不能滿(mǎn)足連續(xù)性方程，因此需對(duì)速度場(chǎng)和壓力場(chǎng)進(jìn)行修正。分別設(shè)它們相應(yīng)的修正量是u 、v 、p ，修正后的速度場(chǎng)和壓力場(chǎng)為：,

9、u=u*+uv=v*+vp=p*+p,為了求得修正量，設(shè)正確的壓力場(chǎng)為p，由(5-8)和（5-10）式（x、y向離散的動(dòng)量方程，可得到正確的速度場(chǎng)u、v。,（5-8）式減（5-14）式得,即：,同理得：,由上可見(jiàn)，速度修正u 、v由兩項(xiàng)構(gòu)成。從物理意義上講，第一項(xiàng)為周?chē)?jié)點(diǎn)速度引起的修正量，第二項(xiàng)是同一方向相鄰節(jié)點(diǎn)壓力差引起的修正量。SIMPLE算法認(rèn)為p是引起速度改變的主要因素，因此作簡(jiǎn)化處理，只保留第二項(xiàng)，忽略第一項(xiàng)。于是有：,此兩式為速度修正量，由此得速度的改進(jìn)值為,-主控制體w界面x向速度,-主控制體s界面y向速度,同理得n界面y向、e界面x向速度：,-ex,-ny,以上速度還應(yīng)滿(mǎn)足連

10、續(xù)性方程（5-12）。將以上四個(gè)速度表達(dá)式代入（5-12），并整理得到壓力修正方程：,注：,壓力修正方程,式中：,注：連續(xù)性方程,比較b的表達(dá)式與連續(xù)性方程，可知b應(yīng)為0,因此b可作為收斂判據(jù)。,二、關(guān)于SIMPLE算法的兩點(diǎn)說(shuō)明,1.在推導(dǎo)如下速度場(chǎng)修正量方程時(shí)，忽略了方程等號(hào)右邊的第一項(xiàng)。這樣做并不影響最后的計(jì)算結(jié)果。因?yàn)閴毫π拚縫和速度修正量u 、v在迭代最后得到收斂解時(shí)都將歸于零。即最后結(jié)果是p=p*,u=u*,v=v*.,SIMPLE算法忽略此項(xiàng)；SIMPLEC算法不忽略此項(xiàng)。,2.亞松弛迭代若迭代過(guò)程中壓力的修正量過(guò)大，會(huì)使壓力修正方程的求解出現(xiàn)發(fā)散現(xiàn)象。為避免這種現(xiàn)象，采用亞松

11、弛迭代，即：,下一步壓力值,當(dāng)前壓力值,壓力松弛因子,壓力修正量,式中：,計(jì)算中希望該因子盡可能大，以加快收斂，但又不能引,起計(jì)算過(guò)程的不穩(wěn)定（發(fā)散）。因子為1時(shí)，壓力修正量最大。,通常速度也要采用亞松弛迭代：,離散后的N-S方程（以x方向?yàn)槔椋?由（5-34）解出的u = 由（5-8）解出的u,故有:,未經(jīng)亞松馳處理的速度,即：,對(duì)于y方向，同理可得：,由于速度采用亞松弛迭代，壓力修正方程(5-32)中的d分量變成：,注：d的定義,SIMPLER基礎(chǔ)思路：用假設(shè)的或前次迭代得到的速度場(chǎng)，求出的壓力場(chǎng)，作為假設(shè)的壓力場(chǎng)，而壓力修正方程得出的p用于修正速度，壓力由連續(xù)性方程導(dǎo)出的壓力方程求解

12、。與SIMPLE算法不同，SIMPLER算法沒(méi)有忽略離散N-S方程中的任一影響項(xiàng)，因此更容易收斂，雖然其單次迭代的工作量較SIMPLE算法多30%。,5-4 SIMPLE算法的改進(jìn),一、SIMPLER算法（SIMPLE Revised）,離散的N-S方程為：,SIMPLER算法的推導(dǎo),由（5-8）得：,同理得：,將以上四個(gè)速度表達(dá)式代入連續(xù)性方程（5-12），,整理得到壓力計(jì)算方程:,該式與SIMPLE算法的（5-32）式僅源項(xiàng)b不一樣，此處采用了偽速度。,其中：,重寫(xiě)上式，得：,二、SIMPLEC算法（SIMPLE Consistent）速度修正量,SIMPLE算法忽略此項(xiàng)；SIMPLEC算

13、法不忽略此項(xiàng)。,上式兩端同時(shí)減去,得：,此二者處于同一數(shù)量級(jí)，故由它們構(gòu)成的等式右邊第一項(xiàng)可以忽略。,即：,同理：,SIMPLEC算法與SIMPLE算法相同，只在速度修正量u 、v計(jì)算式中d項(xiàng)不同，但收斂性更好。,三、PISO算法,PISOPressure Implicit with Splitting of Operators基于算子分裂的壓力隱式算法（Issa，1986）.該法最初用于求解非定常壓力速度耦合可壓縮流動(dòng)問(wèn)題的非迭代算法，后來(lái)被成功用于迭代求解穩(wěn)態(tài)問(wèn)題。PISO算法包括一個(gè)預(yù)測(cè)步驟和兩個(gè)校正步驟，可以看作在SIMPLE算法的基礎(chǔ)上加了一個(gè)校正步，可看作是SIMPLE算法的推廣。

14、,1.預(yù)測(cè)步驟,2.第一步校正,同SIMPLE算法，先假設(shè)一個(gè)壓力分布p*，然后由離散N-S方程（5-8）和（5-10）求出近似的速度分布u*、v*。該速度分布顯然不滿(mǎn)足連續(xù)性方程。,注：,仍同SIMPLE算法，求解壓力修正方程（5-32）(第一壓力修正方程)，得到壓力修正量p ，進(jìn)而計(jì)算出速度修正量u 、v ，則壓力和速度的改進(jìn)值為：,=,同SIMPLE算法,同（5-25）、（5-26）,3.第二步校正,u*、v*p*,u*v*,離散的N-S方程,u*v*,離散的N-S方程,p*,壓力修正方程,兩式相減：,同理：,P為第二次壓力修正量，故：,將速度的第二次改進(jìn)值u*、v*代入離散形式的連續(xù)性方程，得第二壓力修正方程：,其中：,PISO算法特點(diǎn)：?jiǎn)未蔚挠?jì)算工作量大，但算法高效收斂。,本章結(jié)束,