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1、,3復合函數(shù)與隱函數(shù)的偏導數(shù),一、多元復合函數(shù)的導數(shù)(鏈式法則),定理：,鏈式法則如圖示,全導數(shù),解,解,解,例3 設(shè),而,求,解,解,例5 設(shè),解,例6 設(shè),而,求,解,解,例8 設(shè),求,例9 已知,證明：,左=,=右,得證,證：,解,令,記,同理有,于是,例11,證,從而,= x,設(shè) z = f (u, v)可微, 當 u, v 為自變量時, 有,若 u, v 不是自變量, 而是中間變量, 是否仍有這一形式?,設(shè) u = u (x, y), v = v (x, y)均可微, 則,z = f (u (x, y), v (x, y),二、全微分的形式不變性,由鏈式法則,代入,z = f (u

2、(x, y), v (x, y),即:不論u, v是自變量還是中間變量, z = f (u, v)的全微分的形式不變.,解,例14 用全微分形式不變性求,解 記 u = xy ,從而 z = f (u, v).,從而,隱函數(shù)求導法,方法: 方程兩邊對 x 求導.,一元函數(shù)：,F(x, y) = 0,注意： y 是 x 的函數(shù)y=f(x), 然后解出 y .,(1)是否任何一個二元方程 F(x, y) = 0. 都確定了y 是 x 的函數(shù)(單值)?,如 x2 + y2 = 1.,什么條件下確定 y = f (x)?,(2)若方程確定y = f (x). 它是否可導?,給出一般的求導公式.,(3)

3、三元(以上)方程F(x, y, z) = 0. 的情形怎樣?,問題:,設(shè)函數(shù)F(x, y) 在點 X0 = (x0, y0)的鄰域U(X0)內(nèi)有連續(xù)偏導數(shù).,一、方程F(x, y) = 0,且F (x0, y0) = 0,則方程 F(x, y) = 0在點 X0 = (x0, y0)的某鄰域內(nèi)唯一確定一個有連續(xù)導數(shù)的(單值)函數(shù) y = f (x),它滿足 y0 = f (x0). 且,(隱函數(shù)存在定理),定理1,隱函數(shù)的求導公式,例1. 方程 x2 + y2 1= 0,當x = 0時, y = 1.,法1. x2 + y2 = 1,兩邊對 x 求導, y 是 x 的函數(shù),2x+2y y =

4、0,法2. F (x, y) = x2 + y2 1,解,令,則,定理1可推廣到方程中有多個變量的情形.,二、方程 F(x, y, z) = 0,設(shè)三元函數(shù) F(x, y, z) 在 X0=(x0, y0, z0)的鄰域 U(X0)內(nèi)有連續(xù)編導，F(xiàn)(x0, y0, z0)=0, Fz(x0, y0, z0)0, 則在 X0 的某鄰域內(nèi)唯一確定一個有連續(xù)偏導的函數(shù) z = f (x, y), 滿足 z0=f (x0, y0), 且,定理2,例3.,法1. 記 F(x, y, z) = sin(x3z) 2y z,有 Fx = cos(x 3z),故,Fy = 2,Fz = 3cos(x 3z)

5、1,法2： sin(x3z) =2y +z,兩邊對 x 求偏導，z 是 x 的函數(shù)，y看作常數(shù).,解得:,類似得,解,令,則,例5 設(shè),求,令,例6 設(shè),求,令,例7 設(shè),且f具有連續(xù)的一階,法1,確定,偏導數(shù),求,令,例7 設(shè),且f具有連續(xù)的一階,法2,確定,偏導數(shù),求,等式兩邊對x求偏導,例7 設(shè),且f具有連續(xù)的一階,法3,確定,偏導數(shù),求,利用一階全微分形式不變性,思路：,整理得,解,令,則,整理得,整理得,例9 設(shè)方程F(x2+y2+z2, sinxy)=0, FC1, 求,方法1(公式法): 方程左邊是x, y, z的復合函數(shù)用鏈式法則求Fx , Fy , Fz .,Fx = F 1

6、,Fy = F 1,Fz = F 1,= 2xF 1+ ycosxy F 2,2x,+F 2,cosxy y,= 2yF 1+ xcosxy F 2,2y,+F 2 cosxy x,= 2zF 1,2z,+F 2 0,方法2 方程 F(x2+y2+z2, sinxy)=0兩邊對 x 求偏導. 其中 z 是 x 的函數(shù), y看作常量.,= 0,解得:,F 1,(2x+2z zx ),+ F2 cosxy y,例10 設(shè) z = z(x, y) 是由方程 x+y+z= (x2+y2+z2)所確定的函數(shù), 其中 C1，證明 z = z(x, y) 滿足,證 記 F (x, y, z) = x+y+z (x2+y2+z2),u = x2+y2+z2,有 F x = 1,F z = 12z u,= 1 2x u, u 2x,2y u ,F y = 1,故,從而,思路：,解,令,則,整理得,整理得,整理得,1、鏈式法則（分三種情況）,2、全微分形式不變性,（特別要注意課中所講的特殊情況）,（理解其實質(zhì)）,小結(jié),（分以下幾種情況）,隱函數(shù)的求導法則,3、隱函數(shù)求偏導,