多元復合函數(shù)的求導法則ppt課件.ppt
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1、一元復合函數(shù):,求導法則:,微分法則:,第四節(jié) 多元復合函數(shù)的求導法則,多元復合函數(shù)的求導的鏈式法則,多元復合函數(shù)的全微分,一、多元復合函數(shù)求導的鏈式法則,1. 中間變量均為一元函數(shù)的情形,證,上定理的結論可推廣到中間變量多于兩個的情況.,如,以上公式中的導數(shù) 稱為全導數(shù).,若定理中 在點,說明:,例如:,易知:,但復合函數(shù),偏導數(shù)連續(xù)減弱為,偏導數(shù)存在,則定理結論不一定成立.,偏導數(shù)不連續(xù),上定理還可推廣到中間變量不是一元函數(shù)而是多元函數(shù)的情況:,2. 中間變量均為多元函數(shù)的情形,鏈式法則如圖示,類似地,設u=(x, y)、v=(x, y)、w=(x, y)都在點(x, y)具有對x和y的偏
2、導數(shù),函數(shù)z=f(u, v, w)在對應點(u, v, w)具有連續(xù)偏導數(shù),則復合函數(shù)z=f(x, y), (x, y), (x, y)在點(x, y)的兩個偏導數(shù)存在, 且可用下列公式計算:,3.,中間變量既有一元函數(shù),又有多元函數(shù)的情形,定理3 若u=(x,y)在點(x,y)可導,v=(y)在點y可導,函數(shù)z=f(u,v)在對應點(u,v)具有連續(xù)偏導,則復合函數(shù)z=f(x,y), (y)在點(x,y)可導,且,特殊地,即,令,其中,兩者的區(qū)別,區(qū)別類似,“分段用乘,分叉用加,單路全導,叉路偏導”,解,例2.,解:,例3. 設,求全導數(shù),解:,注意:多元抽象復合函數(shù)求導在偏微分方程變形與,
3、驗證解的問題中經(jīng)常遇到,下列兩個例題有助于掌握,這方面問題的求導技巧與常用導數(shù)符號.,為簡便起見 , 引入記號,例4. 設,f 具有二階連續(xù)偏導數(shù),求,解:令,則,二階偏導數(shù)連續(xù),求下列表達式在,解:已知,極坐標系下的形式,(1), 則,例5.設,已知,注意利用已有公式,同理可得,設函數(shù),的全微分為:,可見無論 u , v 是自變量還是中間變量,則復合函數(shù),都可微,其全微分表達,形式都一樣,這性質(zhì)叫做全微分形式不變性.,二、多元復合函數(shù)的全微分,例1 .,利用全微分形式不變性再解例1.,解:,所以,例 6.,思考題,1. 已知,求,解:由,兩邊對x 求導, 得,求,解:由題設,(2001考研),2.,內(nèi)容小結,1. 復合函數(shù)求導的鏈式法則,“分段用乘,分叉用加,單路全導,叉路偏導”,例如,2. 全微分形式不變性,對 不論 u , v 是自變量還是因變量,
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