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1、1,復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,全微分形式不變性,小結(jié) 思考題 作業(yè),第四節(jié) 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,第八章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用,2,一、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則(鏈導(dǎo)法則),證,1.,的情形.,定理,且,其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計算:,具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),3,可微,由于函數(shù),有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),4,復(fù)合函數(shù)的中間變量多于兩個的情況.,定理推廣,導(dǎo)數(shù),變量樹圖,稱為,全導(dǎo)數(shù),(又稱鏈導(dǎo)公式).,5,?,項(xiàng)數(shù),問:,每一項(xiàng),?,中間變量,函數(shù)對中間變量的偏導(dǎo)數(shù),該中間變量對其指定自變量的偏導(dǎo)數(shù)(或?qū)?shù)).,的個數(shù).,函數(shù)對某自變量的偏導(dǎo)數(shù)之結(jié)構(gòu),6,例 設(shè) 求,這是冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù),但用全導(dǎo)數(shù)公式較簡便.,法二,y,u,v

2、,x,解,法一,可用取對數(shù)求導(dǎo)法計算.,7,復(fù)合函數(shù)為,則復(fù)合函數(shù),偏導(dǎo)數(shù)存在,且可用下列公式計算,具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),2.,的情形.,8,變量樹圖,9,解,例,10,中間變量多于兩個的情形,類似地再推廣,復(fù)合函數(shù),在對應(yīng)點(diǎn),的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在,且可用下列公式計算:,11,例 設(shè),解,自己畫變量樹,求,12,即,兩者的區(qū)別,區(qū)別類似,3.,的情形.,把復(fù)合函數(shù),中的y,看作不變而對x的偏導(dǎo)數(shù),把,中的u及y,看作不變,而對x的偏導(dǎo)數(shù),13,解,變量樹圖,例,14,例 設(shè) f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),變量樹圖,u,或記,u對中間變量 r,s 的偏導(dǎo)數(shù),從而也是自變量x, t 的復(fù)合函數(shù).,解,都是x, t

3、的函數(shù),對抽象函數(shù)在求偏導(dǎo)數(shù)時, 一定要設(shè)中間變量.,15,變量樹圖,設(shè) f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),16,變量樹圖,設(shè) f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),17,解,練習(xí),具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且滿足,2003年考研數(shù)學(xué)三, 8分,故,18,由,例,解,現(xiàn)將,把下列表達(dá)式轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)系中的形式:,設(shè) 的所有二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),函數(shù),換成極坐標(biāo),的函數(shù):,及,以及函數(shù),對 的偏導(dǎo)數(shù)來表達(dá).,19,復(fù)合而成.,(1),及,20,得,21,(2),設(shè) 的所有二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),22,同理可得(自己練),23,兩式相加,得:,24,例,假設(shè)流體中一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動速度為,其中,由于質(zhì)點(diǎn)隨流體運(yùn)動,故其位置,也隨時間t,而變化.,試求質(zhì)

4、點(diǎn)運(yùn)動的加速度,答案,時變加速度,位變加速度,25,已知f(t)可微,證明 滿足方程,提示,t, y 為中間變量, x, y 為自變量.,引入中間變量,練習(xí),則,26,二、全微分形式不變性,具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則有,全微分,則有全微分,全微分形式不變性的實(shí)質(zhì),27,解,例,28,1994年研究生考題,計算,3分,答案：,練習(xí),29,1989年研究生考題,計算,5分,解,練習(xí),30,1990年研究生考題,計算,5分,解,設(shè),有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù),練習(xí),31,1992年研究生考題,計算,5分,解,設(shè),練習(xí),連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù),32,求,在點(diǎn)(1,1)處可微,且,設(shè)函數(shù),解,2001年考研數(shù)學(xué)一, 6分,練習(xí),由題設(shè),33,多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 (鏈導(dǎo)法則),全微分形式不變性,(理解其實(shí)質(zhì)),三、小結(jié),(大體分三種情況),求抽象函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)特別注意混合偏導(dǎo),34,思考題,正確的是( ).,35,思考題解答,令,則,兩邊對t求導(dǎo),得,36,作業(yè),習(xí)題8-4,(30頁),2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.(1)(2),9. 10. 11. 12.(4) 13.,