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1、高等數(shù)學 1.課程相關教材及相關輔導用書高等數(shù)學第一版，肖筱南主編,林建華等編著,北京大學出版社2010.8.高等數(shù)學精品課程下冊第一版，林建華等編著,廈門大學出版社,2006.7.高等數(shù)學第七版,同濟大學數(shù)學教研室主編，高等教育出版社,2014.7.高等數(shù)學學習輔導與習題選解（同濟第七版上下合訂本）同濟大學應用數(shù)學系編 高等教育出版社,2014.8.2.第九章 多元函數(shù)微分學 9.1 多元函數(shù)的基本概念 9.2 偏導數(shù) 9.3 全微分 9.4 多元復合函數(shù)的求導法則多元復合函數(shù)的求導法則 9.5 隱函數(shù)的求導公式 9.6 多元函數(shù)微分學的幾何應用 9.7 方向導數(shù)與梯度 9.8 多元函數(shù)的極

2、值 9.9 綜合例題3.4.定理（可微的必要條件）定理（可微的必要條件）如果函數(shù)如果函數(shù) 在點（在點（x，y）處可微，則它在）處可微，則它在該點處必連續(xù)，且它的兩個偏導數(shù)都存在，并且該點處必連續(xù)，且它的兩個偏導數(shù)都存在，并且定理（可微的充分條件）定理（可微的充分條件）如果函數(shù) 的兩個偏導數(shù) 在點（x，y）都存在且連續(xù)，則該函數(shù)在該點可微。5.6.第四節(jié)第四節(jié) 復合函數(shù)求導法則復合函數(shù)求導法則先回憶一下一元復合函數(shù)的微分法則：先回憶一下一元復合函數(shù)的微分法則：，則復合函數(shù)，則復合函數(shù) 對對 x 的導數(shù)為：的導數(shù)為：這一節(jié)我們將把這一求導法則推廣到多元這一節(jié)我們將把這一求導法則推廣到多元函數(shù)的情形

3、，主要介紹多元復合函數(shù)的微分法和函數(shù)的情形，主要介紹多元復合函數(shù)的微分法和隱函數(shù)的微分法。我們知道，求偏導數(shù)與求一元隱函數(shù)的微分法。我們知道，求偏導數(shù)與求一元函數(shù)的導數(shù)本質上并沒有區(qū)別，對一元函數(shù)適用函數(shù)的導數(shù)本質上并沒有區(qū)別，對一元函數(shù)適用的微分法包括復合函數(shù)的微分法在內，在多元函的微分法包括復合函數(shù)的微分法在內，在多元函數(shù)微分法中仍然適用數(shù)微分法中仍然適用.7.那么為什么還要介紹多元那么為什么還要介紹多元復合函數(shù)的微分呢？復合函數(shù)的微分呢？這主要是對于沒有具體給出式子的所謂抽象函數(shù)這主要是對于沒有具體給出式子的所謂抽象函數(shù)如如它是由它是由復合而成的復合而成的由于由于 f 沒有具體給出，沒有

4、具體給出，一元復合函數(shù)的微分法則就無能為力了，為此要一元復合函數(shù)的微分法則就無能為力了，為此要引入多元復合函數(shù)的微分法來解決這一問題。引入多元復合函數(shù)的微分法來解決這一問題。8.一、多元復合函數(shù)求導的鏈式法則一、多元復合函數(shù)求導的鏈式法則定理定理.若函數(shù)處偏導連續(xù),在點 t 可導,則復合函數(shù)證證:設 t 取增量t,則相應中間變量且有鏈式法則有增量u,v,9.(全導數(shù)公式全導數(shù)公式)(t0 時,根式前加“”號)10.推廣推廣:1)中間變量多于兩個的情形中間變量多于兩個的情形.例如,設下面所涉及的函數(shù)都可微.2)中間變量是多元函數(shù)的情形中間變量是多元函數(shù)的情形.例如,11.又如,當它們都具有可微條

5、件時,有注意注意:這里表示固定 y 對 x 求導,表示固定 v 對 x 求導口訣口訣:分線相加分線相加,連線相乘連線相乘與不同,12.設,求令則 例例解解13.例例2.解解:14.解解15.設求 例例解解16.設求 例例解解17.設求 自己做 例例解解18.設函數(shù)均可微,求g g 例例解解19.設函數(shù)均可微,求g g 例例解解20.為簡便起見,引入記號例例.設 f 具有二階連續(xù)偏導數(shù),求解解:令則21.二、全微分形式不變性二、全微分形式不變性全微分形式不變性的實質：全微分形式不變性的實質：無論無論 是自變量是自變量 的函數(shù)或中間變量的函數(shù)或中間變量 的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的的函數(shù)，它的全

6、微分形式是一樣的.22.23.利用全微分形式不變性，在逐步作微分運算的利用全微分形式不變性，在逐步作微分運算的過程中，不論變量間的關系如何錯綜復雜，都可以過程中，不論變量間的關系如何錯綜復雜，都可以不加辨認和區(qū)分，而一律作為自變量來處理不加辨認和區(qū)分，而一律作為自變量來處理且作微分運算的結果對自變量的微分且作微分運算的結果對自變量的微分 來說是線性的，從而為解題帶來很多方便，而來說是線性的，從而為解題帶來很多方便，而且也不易出錯。且也不易出錯。24.設應用全微分形式不變性求與比較,得 例例解解25.設應用全微分形式不變性求與比較,得 例例解解26.總結：總結：關于多元復合函數(shù)求偏導問題關于多元

7、復合函數(shù)求偏導問題 這是一項基本技能，要求熟練掌握，尤其是這是一項基本技能，要求熟練掌握，尤其是求二階偏導數(shù)，既是重點又是難點。對求導公式求二階偏導數(shù)，既是重點又是難點。對求導公式不求強記，而要切實做到徹底理解。注意以下幾不求強記，而要切實做到徹底理解。注意以下幾點將會有助于領會和理解公式，在解題時自如地點將會有助于領會和理解公式，在解題時自如地運用公式：運用公式：用圖示法表示出函數(shù)的復合關系用圖示法表示出函數(shù)的復合關系函數(shù)對某個自變量的偏導數(shù)的結構函數(shù)對某個自變量的偏導數(shù)的結構（項數(shù)及項的構成）（項數(shù)及項的構成）27.的結構是求抽象的復合的結構是求抽象的復合函數(shù)的二階偏導數(shù)的關鍵函數(shù)的二階偏

8、導數(shù)的關鍵 弄清弄清 仍是復合函數(shù)仍是復合函數(shù)且復合結構與原來的且復合結構與原來的 f(u,v)完全相同完全相同即仍是以即仍是以 u,v 為中間變量，以為中間變量，以 x,y 為自變量的為自變量的復合函數(shù)復合函數(shù)因此，求它們關于因此，求它們關于 x,y 的偏導數(shù)時必須使鏈式法則的偏導數(shù)時必須使鏈式法則28.在具體計算中最容易出錯的地方是對在具體計算中最容易出錯的地方是對 再求偏導數(shù)這一步再求偏導數(shù)這一步 是與是與 f(u,v)具有相同結構的復合函數(shù)，易被誤認為僅是具有相同結構的復合函數(shù)，易被誤認為僅是 u 的函數(shù)，從而導致漏掉的函數(shù)，從而導致漏掉原因就是不注意原因就是不注意 求抽象函數(shù)的偏導數(shù)

9、時，一定要設中間變量求抽象函數(shù)的偏導數(shù)時，一定要設中間變量注意引用這些公式的條件注意引用這些公式的條件外層函數(shù)可微（偏導數(shù)連續(xù)）外層函數(shù)可微（偏導數(shù)連續(xù)）內層函數(shù)可導內層函數(shù)可導 的合并問題的合并問題視題設條件而定。視題設條件而定。29.三、小結三、小結1、鏈式法則、鏈式法則（分三種情況）（分三種情況）（特別要注意課中所講的特殊情況）（特別要注意課中所講的特殊情況）2、全微分形式不變性、全微分形式不變性（理解其實質）（理解其實質）30.思考題：1.已知求解解:由兩邊對 x 求導,得31.2.求在點處可微,且設函數(shù)解解:由題設32.作業(yè)習題9.4（P62）1(1)、1(3)、2(3)、3(3)、4(3)、5(1)習題9.1（P56）3、4(1)、4(2)、4(4)33.