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1、1/26,一、復合函數(shù)求導的鏈式法則,三、一階全微分形式的不變性,第四節(jié) 多元復合函數(shù)的 求導法則,二、復合函數(shù)的高階偏導數(shù),四、小結,2/26,復合函數(shù)為,的情形.,一、復合函數(shù)求導的鏈式法則,3/26,則復合函數(shù),偏導數(shù)存在,且可用下列公式計算,具有連續(xù)偏導數(shù),1、定理,4/26,證.,可微,由于函數(shù),有連續(xù)偏導數(shù),5/26,同理可證另一個公式。,6/26,變量樹圖,7/26,2、項數(shù),3、每一項,中間變量,函數(shù)對中間變量的偏導數(shù)，乘以中 間變量對其指定自變量的偏導數(shù).,的個數(shù).,公式特征： 1、偏導數(shù)公式個數(shù)自變量個數(shù),8/26,中間變量多于兩個的情形,類似地推廣,復合函數(shù),在對應點,的

2、兩個偏導數(shù)存在,且可用下列公式計算:,9/26,解.,例1.,10/26,例2. 設,解.,求 .,11/26,二、復合函數(shù)的高階偏導數(shù),對復合函數(shù)求高階偏導數(shù)時,需注意:,導函數(shù)仍是復合函數(shù).,故對導函數(shù)再求偏導數(shù)時,仍需用復合函數(shù)求導的方法.,例3. 設 f具有二階連續(xù)偏導數(shù),解.,12/26,u,f具有二階連續(xù)偏導數(shù),13/26,u對中間變量 r,s 的偏導數(shù),從而也是自變量x, t 的復合函數(shù).,都是x, t 的函數(shù),注2,注1,為了書寫簡便,常引進記號:,表示對第一個中間變量求偏導,表示對第二個中間變量求偏導,表示先對第一個中間變量求偏導,再,對第二個中間變量求偏導.,14/26,解

3、.,15/26,2、,的情形.,定理,且,其導數(shù)可用下列公式計算:,具有連續(xù)偏導數(shù),導數(shù),稱為,全導數(shù)。,16/26,復合函數(shù)的中間變量多于兩個的情況.,定理推廣,變量樹圖,17/26,例5. 設 求,這是冪指函數(shù)的導數(shù),但用全導數(shù)公式較簡便.,法二,y,u,v,x,解.,法一,可用取對數(shù)求導法計算.,18/26,即,兩者的區(qū)別,3.,的情形.,把復合函數(shù),中的y,看作不變而對x的偏導數(shù),把,中的u及y,看作不變,而對x的偏導數(shù),19/26,例6. 設 求,解.,20/26,已知f(t)可微,證明 滿足方程,提示,t, y 為中間變量, x, y 為自變量.,引入中間變量,則,練習,21/26,具有連續(xù)偏導數(shù),則有,全微分,則有全微分,全微分形式不變性的實質(zhì),三、一階全微分形式的不變性,22/26,解.,例7.,注：通過全微分求所有一階偏導數(shù),比鏈式法則求偏導數(shù)有時會顯得靈活方便.,23/26,思考題,正確的是( ).,24/26,思考題解答,令,則,兩邊對t求導,得,25/26,多元復合函數(shù)求導法則 (鏈式法則),全微分形式不變性,(理解其實質(zhì)),求抽象函數(shù)的二階偏導數(shù)特別注意混合偏導,四、小結,