《高考數(shù)學試卷（文科）（全國卷?。ê馕霭妫?09版.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高考數(shù)學試卷（文科）（全國卷ⅰ）（含解析版） 09版.doc（24頁珍藏版）》請在匯文網上搜索。

1、2009年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（文科）（全國卷）一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1（5分）sin585的值為（）ABCD2（5分）設集合A=4，5，7，9，B=3，4，7，8，9，全集U=AB，則集合U（AB）中的元素共有（）A3個B4個C5個D6個3（5分）不等式1的解集為（）Ax|0x1x|x1Bx|0x1Cx|1x0Dx|x04（5分）已知tana=4，cot=，則tan（a+）=（）ABCD5（5分）已知雙曲線=1（a0，b0）的漸近線與拋物線y=x2+1相切，則該雙曲線的離心率為（）AB2CD6（5分）已知函數(shù)f（x）的反函數(shù)為g（x）=1+2lgx（x0），則f（1

2、）+g（1）=（）A0B1C2D47（5分）甲組有5名男同學，3名女同學；乙組有6名男同學、2名女同學若從甲、乙兩組中各選出2名同學，則選出的4人中恰有1名女同學的不同選法共有（）A150種B180種C300種D345種8（5分）設非零向量、滿足，則=（）A150B120C60D309（5分）已知三棱柱ABCA1B1C1的側棱與底面邊長都相等，A1在底面ABC上的射影D為BC的中點，則異面直線AB與CC1所成的角的余弦值為（）ABCD10（5分）如果函數(shù)y=3cos（2x+）的圖象關于點（，0）中心對稱，那么|的最小值為（）ABCD11（5分）已知二面角l為60，動點P、Q分別在面、內，P到的

3、距離為，Q到的距離為，則P、Q兩點之間距離的最小值為（）A1B2CD412（5分）已知橢圓C：+y2=1的右焦點為F，右準線為l，點Al，線段AF交C于點B，若=3，則|=（）AB2CD3二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）13（5分）（xy）10的展開式中，x7y3的系數(shù)與x3y7的系數(shù)之和等于 14（5分）設等差數(shù)列an的前n的和為Sn，若S9=72，則a2+a4+a9= 15（5分）已知OA為球O的半徑，過OA的中點M且垂直于OA的平面截球面得到圓M若圓M的面積為3，則球O的表面積等于 16（5分）若直線m被兩平行線l1：xy+1=0與l2：xy+3=0所截得的線段的長為，則m

4、的傾斜角可以是1530456075其中正確答案的序號是 （寫出所有正確答案的序號）三、解答題（共6小題，滿分70分）17（10分）設等差數(shù)列an的前n項和為Sn，公比是正數(shù)的等比數(shù)列bn的前n項和為Tn，已知a1=1，b1=3，a3+b3=17，T3S3=12，求an，bn的通項公式18（12分）在ABC中，內角A、B、C的對邊長分別為a、b、c，已知a2c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b19（12分）如圖，四棱錐SABCD中，底面ABCD為矩形，SD底面ABCD，AD=，DC=SD=2，點M在側棱SC上，ABM=60（I）證明：M是側棱SC的中點；（）求二面角SAMB的

5、大小20（12分）甲、乙二人進行一次圍棋比賽，約定先勝3局者獲得這次比賽的勝利，比賽結束假設在一局中，甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，各局比賽結果相互獨立已知前2局中，甲、乙各勝1局（）求再賽2局結束這次比賽的概率；（）求甲獲得這次比賽勝利的概率21（12分）已知函數(shù)f（x）=x43x2+6（）討論f（x）的單調性；（）設點P在曲線y=f（x）上，若該曲線在點P處的切線l通過坐標原點，求l的方程22（12分）如圖，已知拋物線E：y2=x與圓M：（x4）2+y2=r2（r0）相交于A、B、C、D四個點（）求r的取值范圍；（）當四邊形ABCD的面積最大時，求對角線AC、BD的交點P的坐

6、標2009年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（文科）（全國卷）參考答案與試題解析一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1（5分）sin585的值為（）ABCD【考點】GE：誘導公式菁優(yōu)網版權所有【分析】由sin（+2k）=sin、sin（+）=sin及特殊角三角函數(shù)值解之【解答】解：sin585=sin（585360）=sin225=sin（45+180）=sin45=，故選：A【點評】本題考查誘導公式及特殊角三角函數(shù)值2（5分）設集合A=4，5，7，9，B=3，4，7，8，9，全集U=AB，則集合U（AB）中的元素共有（）A3個B4個C5個D6個【考點】1H：交、并、補集的混合運算菁優(yōu)網版權所

7、有【分析】根據(jù)交集含義取A、B的公共元素寫出AB，再根據(jù)補集的含義求解【解答】解：AB=3，4，5，7，8，9，AB=4，7，9U（AB）=3，5，8故選A也可用摩根律：U（AB）=（UA）（UB）故選：A【點評】本題考查集合的基本運算，較簡單3（5分）不等式1的解集為（）Ax|0x1x|x1Bx|0x1Cx|1x0Dx|x0【考點】7E：其他不等式的解法菁優(yōu)網版權所有【分析】本題為絕對值不等式，去絕對值是關鍵，可利用絕對值意義去絕對值，也可兩邊平方去絕對值【解答】解：1，|x+1|x1|，x2+2x+1x22x+1x0不等式的解集為x|x0故選：D【點評】本題主要考查解絕對值不等式，屬基本題

8、解絕對值不等式的關鍵是去絕對值，去絕對值的方法主要有：利用絕對值的意義、討論和平方4（5分）已知tana=4，cot=，則tan（a+）=（）ABCD【考點】GP：兩角和與差的三角函數(shù)菁優(yōu)網版權所有【專題】11：計算題【分析】由已知中cot=，由同角三角函數(shù)的基本關系公式，我們求出角的正切值，然后代入兩角和的正切公式，即可得到答案【解答】解：tana=4，cot=，tan=3tan（a+）=故選：B【點評】本題考查的知識點是兩角和與差的正切函數(shù)，其中根據(jù)已知中角的余切值，根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關系公式，求出角的正切值是解答本題的關鍵5（5分）已知雙曲線=1（a0，b0）的漸近線與拋物線y=x2

9、+1相切，則該雙曲線的離心率為（）AB2CD【考點】KC：雙曲線的性質；KH：直線與圓錐曲線的綜合菁優(yōu)網版權所有【專題】11：計算題【分析】先求出漸近線方程，代入拋物線方程，根據(jù)判別式等于0，找到a和b的關系，從而推斷出a和c的關系，答案可得【解答】解：由題雙曲線的一條漸近線方程為，代入拋物線方程整理得ax2bx+a=0，因漸近線與拋物線相切，所以b24a2=0，即，故選：C【點評】本小題考查雙曲線的漸近線方程直線與圓錐曲線的位置關系、雙曲線的離心率，基礎題6（5分）已知函數(shù)f（x）的反函數(shù)為g（x）=1+2lgx（x0），則f（1）+g（1）=（）A0B1C2D4【考點】4R：反函數(shù)菁優(yōu)網版

10、權所有【專題】11：計算題【分析】將x=1代入即可求得g（1），欲求f（1），只須求當g（x）=1時x的值即可從而解決問題【解答】解：由題令1+2lgx=1得x=1，即f（1）=1，又g（1）=1，所以f（1）+g（1）=2，故選：C【點評】本小題考查反函數(shù)，題目雖然簡單，卻考查了對基礎知識的靈活掌握情況，也考查了運用知識的能力7（5分）甲組有5名男同學，3名女同學；乙組有6名男同學、2名女同學若從甲、乙兩組中各選出2名同學，則選出的4人中恰有1名女同學的不同選法共有（）A150種B180種C300種D345種【考點】D1：分類加法計數(shù)原理；D2：分步乘法計數(shù)原理菁優(yōu)網版權所有【專題】5O：排

11、列組合【分析】選出的4人中恰有1名女同學的不同選法，1名女同學來自甲組和乙組兩類型【解答】解：分兩類（1）甲組中選出一名女生有C51C31C62=225種選法；（2）乙組中選出一名女生有C52C61C21=120種選法故共有345種選法故選：D【點評】分類加法計數(shù)原理和分類乘法計數(shù)原理，最關鍵做到不重不漏，先分類，后分步！8（5分）設非零向量、滿足，則=（）A150B120C60D30【考點】9S：數(shù)量積表示兩個向量的夾角菁優(yōu)網版權所有【分析】根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，兩個向量的模長相等可構成菱形的兩條相鄰邊，三個向量起點處的對角線長等于菱形的邊長，這樣得到一個含有特殊角的菱形【解答】解：

12、由向量加法的平行四邊形法則，兩個向量的模長相等、可構成菱形的兩條相鄰邊，、為起點處的對角線長等于菱形的邊長，兩個向量的夾角是120，故選：B【點評】本小題考查向量的幾何運算、考查數(shù)形結合的思想，基礎題向量知識，向量觀點在數(shù)學物理等學科的很多分支有著廣泛的應用，而它具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重身份”能融數(shù)形于一體9（5分）已知三棱柱ABCA1B1C1的側棱與底面邊長都相等，A1在底面ABC上的射影D為BC的中點，則異面直線AB與CC1所成的角的余弦值為（）ABCD【考點】LO：空間中直線與直線之間的位置關系菁優(yōu)網版權所有【分析】首先找到異面直線AB與CC1所成的角（如A1AB）；而欲求其余弦值

13、可考慮余弦定理，則只要表示出A1B的長度即可；不妨設三棱柱ABCA1B1C1的側棱與底面邊長為1，利用勾股定理即可求之【解答】解：設BC的中點為D，連接A1D、AD、A1B，易知=A1AB即為異面直線AB與CC1所成的角；并設三棱柱ABCA1B1C1的側棱與底面邊長為1，則|AD|=，|A1D|=，|A1B|=，由余弦定理，得cos=故選：D【點評】本題主要考查異面直線的夾角與余弦定理10（5分）如果函數(shù)y=3cos（2x+）的圖象關于點（，0）中心對稱，那么|的最小值為（）ABCD【考點】HB：余弦函數(shù)的對稱性菁優(yōu)網版權所有【專題】11：計算題【分析】先根據(jù)函數(shù)y=3cos（2x+）的圖象關

14、于點中心對稱，令x=代入函數(shù)使其等于0，求出的值，進而可得|的最小值【解答】解：函數(shù)y=3cos（2x+）的圖象關于點中心對稱由此易得故選：A【點評】本題主要考查余弦函數(shù)的對稱性屬基礎題11（5分）已知二面角l為60，動點P、Q分別在面、內，P到的距離為，Q到的距離為，則P、Q兩點之間距離的最小值為（）A1B2CD4【考點】LQ：平面與平面之間的位置關系菁優(yōu)網版權所有【專題】11：計算題；16：壓軸題【分析】分別作QA于A，ACl于C，PB于B，PDl于D，連CQ，BD則ACQ=PBD=60，在三角形APQ中將PQ表示出來，再研究其最值即可【解答】解：如圖分別作QA于A，ACl于C，PB于B，

15、PDl于D，連CQ，BD則ACQ=PDB=60，又當且僅當AP=0，即點A與點P重合時取最小值故選：C【點評】本題主要考查了平面與平面之間的位置關系，以及空間中直線與平面之間的位置關系，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎題12（5分）已知橢圓C：+y2=1的右焦點為F，右準線為l，點Al，線段AF交C于點B，若=3，則|=（）AB2CD3【考點】K4：橢圓的性質菁優(yōu)網版權所有【專題】11：計算題；16：壓軸題【分析】過點B作BMx軸于M，設右準線l與x軸的交點為N，根據(jù)橢圓的性質可知FN=1，進而根據(jù)，求出BM，AN，進而可得|AF|【解答】解：過點B作BMx軸于M，并設右準線

16、l與x軸的交點為N，易知FN=1由題意，故FM=，故B點的橫坐標為，縱坐標為即BM=，故AN=1，故選：A【點評】本小題考查橢圓的準線、向量的運用、橢圓的定義，屬基礎題二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）13（5分）（xy）10的展開式中，x7y3的系數(shù)與x3y7的系數(shù)之和等于240【考點】DA：二項式定理菁優(yōu)網版權所有【專題】11：計算題【分析】首先要了解二項式定理：（a+b）n=Cn0anb0+Cn1an1b1+Cn2an2b2+Cnranrbr+Cnna0bn，各項的通項公式為：Tr+1=Cnranrbr然后根據(jù)題目已知求解即可【解答】解：因為（xy）10的展開式中含x7y3的

17、項為C103x103y3（1）3=C103x7y3，含x3y7的項為C107x107y7（1）7=C107x3y7由C103=C107=120知，x7y3與x3y7的系數(shù)之和為240故答案為240【點評】此題主要考查二項式定理的應用問題，對于公式：（a+b）n=Cn0anb0+Cn1an1b1+Cn2an2b2+Cnranrbr+Cnna0bn，屬于重點考點，同學們需要理解記憶14（5分）設等差數(shù)列an的前n的和為Sn，若S9=72，則a2+a4+a9=24【考點】83：等差數(shù)列的性質菁優(yōu)網版權所有【分析】先由S9=72用性質求得a5，而3（a1+4d）=3a5，從而求得答案【解答】解：a5=

18、8又a2+a4+a9=3（a1+4d）=3a5=24故答案是24【點評】本題主要考查等差數(shù)列的性質及項與項間的內在聯(lián)系15（5分）已知OA為球O的半徑，過OA的中點M且垂直于OA的平面截球面得到圓M若圓M的面積為3，則球O的表面積等于16【考點】LG：球的體積和表面積菁優(yōu)網版權所有【專題】11：計算題；16：壓軸題【分析】由題意求出圓M的半徑，設出球的半徑，二者與OM構成直角三角形，求出球的半徑，然后可求球的表面積【解答】解：圓M的面積為3，圓M的半徑r=，設球的半徑為R，由圖可知，R2=R2+3，R2=3，R2=4S球=4R2=16故答案為：16【點評】本題是基礎題，考查球的體積、表面積的計

19、算，理解并能夠應用小圓的半徑、球的半徑、以及球心與圓心的連線的關系，是本題的突破口，解題重點所在，仔細體會16（5分）若直線m被兩平行線l1：xy+1=0與l2：xy+3=0所截得的線段的長為，則m的傾斜角可以是1530456075其中正確答案的序號是或（寫出所有正確答案的序號）【考點】I2：直線的傾斜角；N1：平行截割定理菁優(yōu)網版權所有【專題】11：計算題；15：綜合題；16：壓軸題【分析】先求兩平行線間的距離，結合題意直線m被兩平行線l1與l2所截得的線段的長為，求出直線m與l1的夾角為30，推出結果【解答】解：兩平行線間的距離為，由圖知直線m與l1的夾角為30，l1的傾斜角為45，所以直

20、線m的傾斜角等于30+45=75或4530=15故填寫或故答案為：或【點評】本題考查直線的斜率、直線的傾斜角，兩條平行線間的距離，考查數(shù)形結合的思想三、解答題（共6小題，滿分70分）17（10分）設等差數(shù)列an的前n項和為Sn，公比是正數(shù)的等比數(shù)列bn的前n項和為Tn，已知a1=1，b1=3，a3+b3=17，T3S3=12，求an，bn的通項公式【考點】8M：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合菁優(yōu)網版權所有【專題】11：計算題【分析】設an的公差為d，數(shù)列bn的公比為q0，由題得，由此能得到an，bn的通項公式【解答】解：設an的公差為d，數(shù)列bn的公比為q0，由題得，解得q=2，d=2an=1+2（

21、n1）=2n1，bn=32n1【點評】本小題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式、前n項和，基礎題18（12分）在ABC中，內角A、B、C的對邊長分別為a、b、c，已知a2c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b【考點】HR：余弦定理菁優(yōu)網版權所有【分析】根據(jù)正弦定理和余弦定理將sinAcosC=3cosAsinC化成邊的關系，再根據(jù)a2c2=2b即可得到答案【解答】解：法一：在ABC中sinAcosC=3cosAsinC，則由正弦定理及余弦定理有：，化簡并整理得：2（a2c2）=b2又由已知a2c2=2b4b=b2解得b=4或b=0（舍）；法二：由余弦定理得：a2c2=b22bc

22、cosA又a2c2=2b，b0所以b=2ccosA+2又sinAcosC=3cosAsinC，sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinCsin（A+C）=4cosAsinC，即sinB=4cosAsinC由正弦定理得，故b=4ccosA由，解得b=4【點評】本題主要考查正弦定理和余弦定理的應用屬基礎題19（12分）如圖，四棱錐SABCD中，底面ABCD為矩形，SD底面ABCD，AD=，DC=SD=2，點M在側棱SC上，ABM=60（I）證明：M是側棱SC的中點；（）求二面角SAMB的大小【考點】LO：空間中直線與直線之間的位置關系；MJ：二面角的平面角及求法菁優(yōu)網版權所有【專題】1

23、1：計算題；14：證明題【分析】（）法一：要證明M是側棱SC的中點，作MNSD交CD于N，作NEAB交AB于E，連ME、NB，則MN面ABCD，MEAB，設MN=x，則NC=EB=x，解RTMNE即可得x的值，進而得到M為側棱SC的中點；法二：分別以DA、DC、DS為x、y、z軸如圖建立空間直角坐標系Dxyz，并求出S點的坐標、C點的坐標和M點的坐標，然后根據(jù)中點公式進行判斷；法三：分別以DA、DC、DS為x、y、z軸如圖建立空間直角坐標系Dxyz，構造空間向量，然后數(shù)乘向量的方法來證明（）我們可以以D為坐標原點，分別以DA、DC、DS為x、y、z軸如圖建立空間直角坐標系Dxyz，我們可以利用

24、向量法求二面角SAMB的大小【解答】證明：（）作MNSD交CD于N，作NEAB交AB于E，連ME、NB，則MN面ABCD，MEAB，設MN=x，則NC=EB=x，在RTMEB中，MBE=60在RTMNE中由ME2=NE2+MN23x2=x2+2解得x=1，從而M為側棱SC的中點M（）證法二：分別以DA、DC、DS為x、y、z軸如圖建立空間直角坐標系Dxyz，則設M（0，a，b）（a0，b0），則，由題得，即解之個方程組得a=1，b=1即M（0，1，1）所以M是側棱SC的中點（I）證法三：設，則又故，即，解得=1，所以M是側棱SC的中點（）由（）得，又，設分別是平面SAM、MAB的法向量，則且，

25、即且分別令得z1=1，y1=1，y2=0，z2=2，即，二面角SAMB的大小【點評】空間兩條直線夾角的余弦值等于他們方向向量夾角余弦值的絕對值；空間直線與平面夾角的余弦值等于直線的方向向量與平面的法向量夾角的正弦值；空間銳二面角的余弦值等于他的兩個半平面方向向量夾角余弦值的絕對值；20（12分）甲、乙二人進行一次圍棋比賽，約定先勝3局者獲得這次比賽的勝利，比賽結束假設在一局中，甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，各局比賽結果相互獨立已知前2局中，甲、乙各勝1局（）求再賽2局結束這次比賽的概率；（）求甲獲得這次比賽勝利的概率【考點】C8：相互獨立事件和相互獨立事件的概率乘法公式菁優(yōu)網版權

26、所有【專題】12：應用題【分析】根據(jù)題意，記“第i局甲獲勝”為事件Ai（i=3，4，5），“第j局甲獲勝”為事件Bi（j=3，4，5），（1）“再賽2局結束這次比賽”包含“甲連勝3、4局”與“乙連勝3、4局”兩個互斥的事件，而每局比賽之間是相互獨立的，進而計算可得答案，（2）若“甲獲得這次比賽勝利”，即甲在后3局中，甲勝2局，包括3種情況，根據(jù)概率的計算方法，計算可得答案【解答】解：記“第i局甲獲勝”為事件Ai（i=3，4，5），“第j局甲獲勝”為事件Bi（j=3，4，5）（）設“再賽2局結束這次比賽”為事件A，則A=A3A4+B3B4，由于各局比賽結果相互獨立，故P（A）=P（A3A4+B3

27、B4）=P（A3A4）+P（B3B4）=P（A3）P（A4）+P（B3）P（B4）=0.60.6+0.40.4=0.52（）記“甲獲得這次比賽勝利”為事件H，因前兩局中，甲、乙各勝1局，故甲獲得這次比賽勝利當且僅當在后面的比賽中，甲先勝2局，從而B=A3A4+B3A4A5+A3B4A5，由于各局比賽結果相互獨立，故P（H）=P（A3A4+B3A4A5+A3B4A5）=P（A3A4）+P（B3A4A5）+P（A3B4A5）=P（A3）P（A4）+P（B3）P（A4）P（A5）+P（A3）P（B4）P（A5）=0.60.6+0.40.60.6+0.60.40.6=0.648【點評】本小題考查互斥事

28、件有一個發(fā)生的概率、相互獨立事件同時發(fā)生的概率，解題之前，要分析明確事件間的關系，一般先按互斥事件分情況，再由相互獨立事件的概率公式，進行計算21（12分）已知函數(shù)f（x）=x43x2+6（）討論f（x）的單調性；（）設點P在曲線y=f（x）上，若該曲線在點P處的切線l通過坐標原點，求l的方程【考點】6B：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；6H：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程菁優(yōu)網版權所有【專題】16：壓軸題【分析】（1）利用導數(shù)求解函數(shù)的單調性的方法步驟進行求解（2）根據(jù)已知，只需求出f（x）在點P處的導數(shù)，即斜率，就可以求出切線方程【解答】解：（）令f（x）0得或；令f（x）0得或因此，f（x）在

29、區(qū)間和為增函數(shù)；在區(qū)間和為減函數(shù)（）設點P（x0，f（x0），由l過原點知，l的方程為y=f（x0）x，因此f（x0）=f（x0）x0，即x043x02+6x0（4x036x0）=0，整理得（x02+1）（x022）=0，解得或所以的方程為y=2x或y=2x【點評】本題比較簡單，是一道綜合題，主要考查函數(shù)的單調性、利用導數(shù)的幾何意義求切線方程等函數(shù)基礎知識，應熟練掌握22（12分）如圖，已知拋物線E：y2=x與圓M：（x4）2+y2=r2（r0）相交于A、B、C、D四個點（）求r的取值范圍；（）當四邊形ABCD的面積最大時，求對角線AC、BD的交點P的坐標【考點】IR：兩點間的距離公式；JF：

30、圓方程的綜合應用；K8：拋物線的性質菁優(yōu)網版權所有【專題】15：綜合題；16：壓軸題【分析】（1）先聯(lián)立拋物線與圓的方程消去y，得到x的二次方程，根據(jù)拋物線E：y2=x與圓M：（x4）2+y2=r2（r0）相交于A、B、C、D四個點的充要條件是此方程有兩個不相等的正根，可求出r的范圍（2）先設出四點A，B，C，D的坐標再由（1）中的x二次方程得到兩根之和、兩根之積，表示出面積并求出其的平方值，最后根據(jù)三次均值不等式確定得到最大值時的點P的坐標【解答】解：（）將拋物線E：y2=x代入圓M：（x4）2+y2=r2（r0）的方程，消去y2，整理得x27x+16r2=0（1）拋物線E：y2=x與圓M：（x4）2+y2=r2（r0）相交于A、B、C、D四個點的充要條件是：方程（1）有兩個不相等的正根即解這個方程組得，（II）設四個交點的坐標分別為、則直線AC、BD的方程分別為y=（xx1），y+=（xx1），解得點P的坐標為（，0），則由（I）根據(jù)韋達定理有x1+x2=7，x1x2=16r2，則令，則S2=（7+2t）2（72t）下面求S2的最大值由三次均值有：當且僅當7+2t=144t，即時取最大值經檢驗此時滿足題意故所求的點P的坐標為【點評】本題主要考查拋物線和圓的綜合問題圓錐曲線是高考必考題，要強化復習第24頁（共24頁）