《多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)法則課件.ppt》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)法則課件.ppt（35頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)趨R文網(wǎng)上搜索。

1、目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1第三節(jié)本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容:一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分 第八章 三、隱函數(shù)求導(dǎo)法則三、隱函數(shù)求導(dǎo)法則目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t定理定理.若函數(shù)處偏導(dǎo)連續(xù),在點(diǎn) t 可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)證證:設(shè) t 取增量t,則相應(yīng)中間變量且有鏈?zhǔn)椒▌t有增量u,v,目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3(全導(dǎo)數(shù)公式全導(dǎo)數(shù)公式)(t0 時(shí),根式前加“”號(hào))目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 4若定理中 說(shuō)明說(shuō)明:例如例如:易知:但復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連

2、續(xù)減弱為偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在,則定理結(jié)論不一定成立.目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 5推廣推廣:1)中間變量多于兩個(gè)的情形.設(shè)下面所涉及的函數(shù)都可微.2)中間變量是多元函數(shù)的情形.例如,例如,目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 6又如,當(dāng)它們都具有可微條件時(shí),有注意注意:這里表示 f(x,(x,y)固定 y 對(duì) x 求導(dǎo)表示f(x,v)固定 v 對(duì) x 求導(dǎo)口訣口訣:與不同,分段用乘,分叉用加,單路全導(dǎo),叉路偏導(dǎo)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 7例例1.設(shè)設(shè)解解:目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 8 解解 例例2.求函數(shù)求函數(shù) 的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).令則目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 9例例3.解解:目錄 上頁(yè)

3、下頁(yè) 返回 結(jié)束 10例例4.設(shè) 求全導(dǎo)數(shù)解解:注意：多元抽象復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)在偏微分方程變形與驗(yàn)證解的問(wèn)題中經(jīng)常遇到,下列兩個(gè)例題有助于掌握這方面問(wèn)題的求導(dǎo)技巧與常用導(dǎo)數(shù)符號(hào).目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 15二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分設(shè)函數(shù)的全微分為可見(jiàn)無(wú)論 u,v 是自變量還是中間變量,則復(fù)合函數(shù)都可微,其全微分表達(dá) 形式都一樣,這性質(zhì)叫做全微分形式不變性全微分形式不變性.目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 16例例 6.利用全微分形式不變性再解例1.解解:所以目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 171、一個(gè)方程所確定的隱函數(shù)、一個(gè)方程所確定的隱函數(shù) 及其導(dǎo)數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 2、方程組所

4、確定的隱函數(shù)組、方程組所確定的隱函數(shù)組 及其導(dǎo)數(shù)及其導(dǎo)數(shù)三、三、隱函數(shù)的求導(dǎo)方法 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 181、一個(gè)方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)、一個(gè)方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)定理定理1.1.設(shè)函數(shù)則方程單值連續(xù)函數(shù) y=f(x),并有連續(xù)(隱函數(shù)求導(dǎo)公式)定理證明從略，僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下：具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù);的某鄰域內(nèi)某鄰域內(nèi)可唯一確定一個(gè)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)滿足滿足條件導(dǎo)數(shù)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 19兩邊對(duì) x 求導(dǎo)在的某鄰域內(nèi)則目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 20例例7.驗(yàn)證方程在點(diǎn)(0,0)某鄰域可確定一個(gè)單值可導(dǎo)隱函數(shù)解解:令連續(xù);由 定理1 可知,導(dǎo)的隱函數(shù) 則在 x=0 的

5、某鄰域內(nèi)方程存在單值可且并求目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 21目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 22定理定理2.若函數(shù) 的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù);則方程在點(diǎn)并有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)定一個(gè)單值連續(xù)函數(shù) z=f(x,y),定理證明從略,僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下:滿足 在點(diǎn)滿足:某一鄰域內(nèi)可唯一確目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 23兩邊對(duì) x 求偏導(dǎo)同樣可得目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 24解：解：利用公式設(shè)則例例8.目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 252、方程組所確定的隱函數(shù)組及其導(dǎo)數(shù)方程組所確定的隱函數(shù)組及其導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)存在定理還可以推廣到方程組的情形.由 F、G 的偏導(dǎo)數(shù)組成的行列式稱(chēng)為F、G 的雅可比雅可

6、比 行列式行列式.以兩個(gè)方程確定兩個(gè)隱函數(shù)的情況為例,即雅可比 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 27定理定理3 3.的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏設(shè)函數(shù)則方程組的單值連續(xù)函數(shù)單值連續(xù)函數(shù)且有偏導(dǎo)數(shù)公式:在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)可唯一唯一確定一組滿足條件滿足:導(dǎo)數(shù)；目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 28(P86)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 29有隱函數(shù)組則兩邊對(duì) x 求導(dǎo)得設(shè)方程組在點(diǎn)P 的某鄰域內(nèi)解的公式 故得系數(shù)行列式目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 30同樣可得目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 31例例9.設(shè)解解:方程組兩邊對(duì) x 求導(dǎo)，并移項(xiàng)得求練習(xí)練習(xí):求答案答案:由題設(shè)故有目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 32內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t“分段用乘,分叉用加,單路全導(dǎo),叉路偏導(dǎo)”例如例如,2.全微分形式不變性不論 u,v 是自變量還是中間變量,目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 333.隱函數(shù)(組)存在定理4.隱函數(shù)(組)求導(dǎo)方法方法1.利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接計(jì)算;方法2.利用微分形式不變性;方法3.代公式.目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第三次作業(yè)第三次作業(yè)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束