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1、北師版六年級第一單元北師版六年級第一單元圓柱與圓錐圓柱與圓錐復(fù)習驛站容錯展板典型例題分析知識網(wǎng)絡(luò)知識網(wǎng)絡(luò)知識網(wǎng)絡(luò)圓柱與圓錐面的旋轉(zhuǎn)圓柱的表面積圓柱的體積圓錐的體積“點、線、面、體”之間的聯(lián)系圓柱、圓錐的特征圓柱的側(cè)面積、表面積的計算方法圓柱表面積的應(yīng)用圓柱體積的計算公式圓柱體積公式的應(yīng)用圓錐體積的計算公式圓錐體積公式的應(yīng)用復(fù)習驛站1面的旋轉(zhuǎn)點的運動形成線，線的運動形成面，面的運動形成體。2圓柱和圓錐的認識復(fù)習驛站 (1)圓柱：以長方形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)360，得到的空間幾何體叫作圓柱。圓柱底面：圓柱上下的兩個圓面叫作底面。圓柱兩個底面都是圓，并且大小相同。圓柱側(cè)面：圓柱周圍的面叫作側(cè)面。圓柱的側(cè)面

2、沿高展開后是長方形，長方形的長等于圓柱底面的周長，寬等于圓柱的高。圓柱的高：兩個底面的距離叫作高。圓柱有無數(shù)條高，每條高的長度都相等。(2)圓柱的特征：兩個底面、一個側(cè)面。底面由兩個大小完全相同的圓組成。側(cè)面是一個曲面。復(fù)習驛站 (3)圓錐：以三角形的一條直角邊為軸旋轉(zhuǎn)360，得到的空間幾何體叫作圓錐。(4)圓錐的特征：由一個底面(圓)、一個側(cè)面(曲面)組成。從圓錐的頂點到底面圓心的距離是圓錐的高，圓錐只有一條高。復(fù)習驛站3圓柱和圓錐的表面展開圖 沿著圓柱的一條高將圓柱的側(cè)面剪開，可以得到一個平面圖形，這個平面圖形是長方形。在圓柱表面展開圖中有兩個底面、一個側(cè)面。底面是兩個大小完全相同的圓。側(cè)

3、面展開是長方形，特殊情況下是正方形。復(fù)習驛站 圓錐的表面展開后，底面是一個圓，側(cè)面是一個扇形。圓錐只有一條高。復(fù)習驛站4圓柱的表面積圓柱的表面積圓柱的側(cè)面積兩個底面的面積。(1)圓柱的側(cè)面積 底面周長高Ch。因Cd，所以也可以表示為圓柱的側(cè)面積dh2rh。(2)兩個底面的面積 底面積2 2r。復(fù)習驛站5圓柱表面積的應(yīng)用 在生活中，我們常常遇到包裝圓柱形的飲料、制作通風管等，求包裝面積、材料面積等實際問題，解題時，要根據(jù)實際情況，理清要計算幾個面的面積。例如：制作無蓋的圓柱形水桶時，求側(cè)面積加1個底面積(沒有上面)；制作通風管、煙囪時，只求側(cè)面積(沒有底面)。復(fù)習驛站6體積(容積)的意義和體積單

4、位 (1)體積(容積)的意義：任何物體都占據(jù)空間，有的物體占據(jù)的空間大，有的物體占據(jù)的空間小。物體所占空間的大小叫作物體的體積。容器能容納物體的體積，叫作這個容器的容積。有些物體有容積也有體積，如油桶、瓶子等；有些物體只有體積，如石頭等。一個容器容積的大小與它所能盛物體的多少有關(guān)，因為容器都有一定的厚度，所以一個容器的體積一定大于它的容積。復(fù)習驛站 (2)體積(容積)單位：計算一個物體的體積要用體積單位，棱長是1厘米、1分米、1米的正方體，體積是1立方厘米、1立方分米、1立方米；立方厘米、立方分米、立方米用字母表示是cm、dm、m。計量容積一般用體積單位，但計量液體的體積，如水、油等常用容積單

5、位。容積單位有升和毫升，用字母表示為L和mL。1立方厘米1毫升，1立方分米1升。復(fù)習驛站7圓柱和圓錐的體積計算 (1)圓柱的體積 把圓柱的底面分成許多相等的扇形，沿高把圓柱切開，再把它們拼起來，得到一個近似的長方體。長方體的底面積等于圓柱的底面積，長方體的高等于圓柱的高。長方體的體積底面積高，所以圓柱體積的計算公式為：圓柱的體積底面積高Sh，因為Sr ，所以Vr h。(2)圓錐的體積 圓錐體積的計算公式為：圓錐的體積底面積高 Sh因為Sr，所以Vr h。復(fù)習驛站 (3)如何區(qū)分是求圓柱的體積、容積還是求表面積 求做圓柱形狀的物體需要的材料、圓柱形狀的墻壁抹水泥面積的多少，或貼墻需要多少瓷磚等，

6、這樣的表述是求表面積。還有一個判定方法就是看所求問題的單位，所求問題的單位是平方的，則求表面積；所求問題的單位是立方、升、毫升的，則求體積。求圓柱能裝下多少的問題，就是求容積，用體積公式。例如：一個裝滿稻谷的糧囤，高0.9 m，上面是圓錐形，下面是圓柱形。量得底面周長是12.56 m，圓柱的高是0.5 m。這個糧囤大約能裝稻谷多少立方米？復(fù)習驛站 分析：在解答本題時，0.9 m是圓柱和圓錐高的和。它們兩個的底面積也是一樣的。3.14r 0.5(r為糧囤的底面半徑)計算的是圓柱的體積，還應(yīng)計算圓錐的體積，糧囤的體積圓柱的體積圓錐的體積。復(fù)習驛站 解答：半徑：12.563.1422(m)圓柱的體積

7、：3.142 0.56.28(m)圓錐的體積：3.142 (0.90.5)1.67(m )1676.287.95(m )答：這個糧囤大約能裝稻谷7.95立方米。復(fù)習驛站8圓錐、圓柱的體積關(guān)系 (1)等底(面積)等高時，圓錐的體積是圓柱體積的 ，即圓錐的體積圓柱的體積 。(2)等底(面積)等高時，圓柱的體積是圓錐體積的3倍，即圓柱的體積圓錐的體積3。(3)等底(面積)等高時，圓柱的體積與圓錐的體積比是31。(4)等底(面積)等高時，圓柱的體積比圓錐的體積多200%。(5)等底(面積)等高時，圓錐的體積比圓柱的體積少 注意：這些結(jié)論的前提都是等底(面積)等高，沒有這個前提就不成立。典型例題分析 例

8、1：玲玲想用一張長為15.7cm的長方形紙(如圖)圍成一個圓柱的側(cè)面，你能幫助她從下面的圓中選擇一個合適的圓作底嗎？典型例題分析 分析：根據(jù)圓柱的側(cè)面和底面的關(guān)系可知：圓柱的底面的周長應(yīng)該等于長方形的長或?qū)挕Ｒ虼?，只需計算出三個圓的周長，再和長方形的長或?qū)掃M行比較，即可選擇出合適的底面。典型例題分析解答：圓的周長：3.14412.56(cm)圓的周長：3.14515.7(cm)圓的周長：3.14618.84(cm)比較：圓的周長等于長方形的長。答：選擇圓作底合適。典型例題分析 例題2：一個糧囤，上面是圓錐，下面是圓柱(如下圖)。圓柱的底面周長是12.56 m，高是2 m，圓錐的高是0.6 m。

9、求這個糧囤的體積。典型例題分析 分析：按一般的計算方法，先分別求出圓錐、圓柱的體積，再把它們合并在一起求出總體積。但我們仔細想一想，如果把圓錐形的稻谷鋪平，把它變成圓柱，這樣求出變化后直圓柱的體積就可以了。典型例題分析 解答：將上面圓錐形的稻谷鋪成圓柱形后，體積和底面積不變，高變了。根據(jù) Sh Sh ，得h h ，變化后的高是 0.60.2(m)，圓柱的底面積是3.14(12.563.142)12.56(m )，糧囤的體積是12.56(20.2)27.632(m)。典型例題分析 例題3：一個圓柱高8 cm，如果它的高增加2 cm，那么表面積增加25.12 cm，求原來圓柱的表面積。典型例題分析

10、 分析：由題意可知，增加的表面積就是高2 cm的圓柱的側(cè)面積，用增加的表面積除以2，即可得到原來圓柱的底面周長，由底面周長求出底面半徑，進而可求出底面積，底面周長乘高可以得到側(cè)面積，兩個底面積加側(cè)面積就是原來圓柱的表面積。典型例題分析 解答：底面周長：25.12212.56(cm)底面半徑：12.563.1422(cm)兩個底面積：3.1422225.12(cm )側(cè)面積：12.568100.48(cm )表面積：25.12100.48125.6(cm )典型例題分析 例題4：一個高8 cm的圓柱完全浸沒在長10 cm、寬8 cm、高7 cm的裝滿水的長方體容器內(nèi)。把這個圓柱拿出來后，發(fā)現(xiàn)水面

11、下降了3 cm，你知道這個圓柱的底面積是多少嗎？典型例題分析 分析：完全浸沒在水中的物體的體積等于水面上升或下降部分的體積，所以圓柱的體積等于水面下降3 cm那部分長方體的體積。根據(jù)圓柱的體積底面積高，題中已知圓柱的高，求圓柱的底面積，可以用體積除以高。典型例題分析 解答：1083240(cm )240830(cm )答：這個圓柱的底面積是30 cm 。典型例題分析 例題5：一個圓錐沿底面直徑經(jīng)過頂點切開(如下圖)后表面積比原來增加了36 cm ，已知這個圓錐的高是6 cm，這個圓錐的底面半徑是多少厘米？典型例題分析 分析：圓錐沿底面直徑經(jīng)過頂點切開后表面積比原來增加了兩個三角形的面積，這兩個

12、三角形的底是圓錐的底面直徑，高是圓錐的高。先求出每個三角形的面積，已知三角形的高是6 cm，根據(jù)三角形的面積公式求出底，繼而求出圓錐的底面半徑。典型例題分析 解答：36218(cm )18266(cm)623(cm)答：這個圓錐的底面半徑是3 cm。容錯展板錯例1.判斷：圓柱和圓錐都有無數(shù)條高。()容錯展板 錯解分析：圓柱有無數(shù)條高，圓錐只有1條高，圓錐的高是頂點到底面圓心的距離，圓錐只有1個頂點和1個底面圓心，所以只有1條高。容錯展板 正確解答：溫馨提示：出現(xiàn)這類錯誤的原因是沒有正確理解圓錐的高的含義。容錯展板錯例2.做一個高5 dm、底面半徑2 dm的圓柱形無蓋水桶，至少需要鐵皮多少平方分

13、米？容錯展板錯誤解答：側(cè)面積：23.142562.8(dm )底面積：3.142212.56(dm )表面積：62.812.56287.92(dm )答：至少需要鐵皮87.92 dm 。錯解分析：根據(jù)生活實際計算圓柱形狀的物體的表面積，要注意觀察需要計算的是圓柱哪些部分的面積。無蓋的水桶只有一個底面，在計算需要鐵皮多少平方分米時，用側(cè)面積加上一個底面的面積就可以了。容錯展板 正確解答：側(cè)面積：23.142562.8(dm )底面積：3.142212.56(dm )表面積：62.812.5675.36(dm )答：至少需要鐵皮75.36 dm 。容錯展板錯例3.大廳里有10根圓柱，圓柱的底面直徑

14、是1 m，高是8 m。在這些圓柱的表面涂油漆，平均每平方米用油漆0.8 kg，共需油漆多少千克？錯誤解答：每根圓柱涂油漆面積：3.14183.14(12)226.69(m )10根圓柱涂油漆面積：26.6910266.9(m )需要油漆的質(zhì)量：266.90.8213.52(kg)容錯展板錯解分析：每根圓柱的涂漆面積只是圓柱的側(cè)面積，而不是圓柱的表面積。容錯展板 正確解答：3.141810251.2(m )251.20.8200.96(kg)溫馨提示：出現(xiàn)這類錯誤的原因是沒有聯(lián)系生活實際，在解答與圓柱表面積有關(guān)的實際問題時，一定要認真審題，弄清要求的是圓柱的哪幾個面的面積。(對應(yīng)訓(xùn)練參見第一周復(fù)習第六題第2小題內(nèi)容)容錯展板錯例4.有一個圓錐形的煤堆，它的底面半徑是2.5 m，高是1.5 m，如果每立方米煤重1.7 t，這堆煤約重多少噸？(得數(shù)保留整噸數(shù))錯誤解答：3.142.5 1.529.4375(m )2943751.750(t)答：這堆煤約重50 t。容錯展板錯解分析：這道題就錯在求圓錐形煤堆的體積時沒有乘 。容錯展板正確解答：3.142.521.5 9.8125(m )981251.717(t)答：這堆煤約重17 t。溫馨提示：在解答與圓錐體積有關(guān)的問題時，往往會出現(xiàn)漏乘 的現(xiàn)象，要避免這種錯誤的發(fā)生，不但要強化圓錐體積公式的記憶，還要理解圓錐體積計算公式的推導(dǎo)過程。