《2018高考數(shù)學一輪復習第2章函數(shù)、導數(shù)及其應用第12節(jié)導數(shù)與函數(shù)的極值、最值教師用書文北師大版.doc-匯文網(wǎng)》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018高考數(shù)學一輪復習第2章函數(shù)、導數(shù)及其應用第12節(jié)導數(shù)與函數(shù)的極值、最值教師用書文北師大版.doc-匯文網(wǎng)（7頁珍藏版）》請在匯文網(wǎng)上搜索。

1、第十二節(jié)導數(shù)與函數(shù)的極值、最值 考綱傳真1.了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件.2.會用導數(shù)求函數(shù)的 極大值、極小值(其中多項式函數(shù)一般不超過三次).3.會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值 (其中多項式函數(shù)一般不超過三次) 1導數(shù)與函數(shù)的極值 (1)函數(shù)的極大值與導數(shù)的關(guān)系 x (a， x0) 極大值點 x0 (x0， b) f ( x) 0 y f (x) 增加 極大值 減少 圖示 (2)函數(shù)的極小值與導數(shù)的關(guān)系 x (a， x0) 極小值點 x0 (x0， b) f ( x) 0 y f (x) 減少 極小值 增加 圖示 2.求 f (x)在 a， b上的最大(小)值 (1)求函數(shù)

2、y f (x)在( a， b)內(nèi)的極值 (2)將函數(shù) y f (x)的各極值與 f (a)， f (b)比較，最大的為最大值，最小的為最小 值 1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“” ，錯誤的打“”) (1)函數(shù)的極大值一定比極小值大() (2)對可導函數(shù) f (x)， f ( x0)0 是 x0為極值點的充要條件() (3)函數(shù)的最大值不一定是極大值，函數(shù)的最小值也不一定是極小值() (4)若實際問題中函數(shù)定義域是開區(qū)間，則不存在最優(yōu)解() 答案(1)(2)(3)(4) 2(教材改編)函數(shù) f (x)的定義域為開區(qū)間( a， b)，導函數(shù) f ( x)在( a， b)內(nèi)的圖 像如圖

3、2121 所示，則函數(shù) f (x)在開區(qū)間( a， b)內(nèi)極小值點的個數(shù)為() 【導學號：66482113】 圖 2121 A1 B2 C3 D4 A導函數(shù) f ( x)的圖像與 x 軸的交點中，左側(cè)圖像在 x 軸下方，右側(cè)圖像在 x 軸 上方的只有一個，所以 f (x)在區(qū)間( a， b)內(nèi)有一個極小值點 3已知某生產(chǎn)廠家的年利潤 y(單位：萬元)與年產(chǎn)量 x(單位：萬件)的函數(shù)關(guān)系式為 y x381 x234，則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤的年產(chǎn)量為() 13 A13 萬件 B11 萬件 C9 萬件 D7 萬件 C y x281，令 y0 得 x9 或 x9(舍去) 當 x(0,9)時， y

4、0，當 x(9，)時， y0， 則當 x9 時， y 有最大值 即使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤的年產(chǎn)量為 9 萬件 4(2016四川高考)已知 a 為函數(shù) f (x) x312 x 的極小值點，則 a() A4 B2 C4 D2 D由題意得 f ( x)3 x212，令 f ( x)0 得 x2，當 x2 時， f ( x)0；當2 x2 時， f ( x)0， f (x)在(， 2)上為增函數(shù)，在(2,2)上為 減函數(shù)，在(2，)上為增函數(shù) f (x)在 x2 處取得極小值， a2. 5函數(shù) y2 x32 x2在區(qū)間1,2上的最大值是_ 8 y6 x24 x，令 y0， 得 x0 或 x .

5、23 f (1)4， f (0)0， f ，( 23) 827 f (2)8，最大值為 8. 利用導數(shù)研究函數(shù)的極 值問題 角度 1根據(jù)函數(shù)圖像判斷極值 設(shè)函數(shù) f (x)在 R 上可導，其導函數(shù)為 f ( x)，且函數(shù) y(1 x)f ( x) 的圖像如圖 2122 所示，則下列結(jié)論中一定成立的是() 圖 2122 A函數(shù) f (x)有極大值 f (2)和極小值 f (1) B函數(shù) f (x)有極大值 f (2)和極小值 f (1) C函數(shù) f (x)有極大值 f (2)和極小值 f (2) D函數(shù) f (x)有極大值 f (2)和極小值 f (2) D由題圖可知，當 x2 時， f ( x

6、)0；當2 x1 時， f ( x)0；當 1 x2 時， f ( x)0；當 x2 時， f ( x)0.由此可以得到函數(shù) f (x)在 x2 處 取得極大值，在 x2 處取得極小值 角度 2求函數(shù)的極值 求函數(shù) f (x) x aln x(aR)的極值 解由 f ( x)1 ， x0 知： ax x ax (1)當 a0 時， f ( x)0，函數(shù) f (x)為(0，)上的增函數(shù)，函數(shù) f (x)無極值； 5 分 (2)當 a0 時，由 f ( x)0，解得 x a. 又當 x(0， a)時， f ( x)0；當 x( a，)時， f ( x)0，9 分 從而函數(shù) f (x)在 x a 處

7、取得極小值，且極小值為 f (a) a aln a，無極大值 綜上，當 a0 時，函數(shù) f (x)無極值；當 a0 時，函數(shù) f (x)在 x a 處取得極小值 a aln a，無極大值. 12 分 角度 3已知極值求參數(shù) (1)已知函數(shù) f (x) x(ln x ax)有兩個極值點，則實數(shù) a 的取值范圍是() 【導學號：66482114】 A(，0) B (0， 12) C(0,1) D(0，) (2)(2016廣東肇慶三模)已知函數(shù) f (x) x3 ax23 x9，若 x3 是函數(shù) f (x) 的一個極值點，則實數(shù) a_. (1)B(2)5(1) f (x) x(ln x ax)， f

8、 ( x)ln x2 ax1， 故 f ( x)在(0，)上有兩個不同的零點， 令 f ( x)0，則 2a ， ln x 1x 設(shè) g(x) ，則 g( x) ， ln x 1x ln xx2 g(x)在(0,1)上遞增，在(1，)上遞減， 又當 x0 時， g(x)，當 x時， g(x)0， 而 g(x)max g(1)1， 只需 02 a10 a . 12 (2)f ( x)3 x22 ax3，由題意知 x3 為方程 3x22 ax30 的根， 3(3) 22 a(3)30，解得 a5. 規(guī)律方法利用導數(shù)研究函數(shù)極值的一般流程 利用導數(shù)解決函數(shù)的 最值問題 (2017鄭州模擬)已知函數(shù)

9、f (x)( x k)ex. (1)求 f (x)的單調(diào)區(qū)間； (2)求 f (x)在區(qū)間0,1上的最小值 解(1)由 f (x)( x k)ex，得 f ( x)( x k1)e x， 令 f ( x)0，得 x k1. 2 分 f (x)與 f ( x)的變化情況如下： x (， k1) k1 (k1，) f ( x) 0 f (x) 遞減 e k1 遞增 所以， f (x)的遞減區(qū)間是(， k1)；遞增區(qū)間是( k1，). 5 分 (2)當 k10，即 k1 時，函數(shù) f (x)在0,1上遞增， 所以 f (x)在區(qū)間0,1上的最小值為 f (0) k，7 分 當 0 k11，即 1 k

10、2 時， 由(1)知 f (x)在0， k1)上遞減，在( k1,1上遞增， 所以 f (x)在區(qū)間0,1上的最小值為 f (k1)e k1 . 當 k11，即 k2 時，函數(shù) f (x)在0,1上遞減， 所以 f (x)在區(qū)間0,1上的最小值為 f (1)(1 k)e. 10 分 綜上可知，當 k1 時， f (x)min k； 當 1 k2 時， f (x)mine k1 ； 當 k2 時， f (x)min(1 k)e. 12 分 規(guī)律方法求函數(shù) f (x)在 a， b上的最大值、最小值的步驟： (1)求函數(shù)在( a， b)內(nèi)的極值； (2)求函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值 f (a)， f (

11、b)； (3)將函數(shù) f (x)的極值與 f (a)， f (b)比較，其中最大的為最大值，最小的為最小 值 變式訓練 1(2017石家莊質(zhì)檢(二)若 a0， b0，且函數(shù) f (x) 4 x3 ax22 bx2 在 x1 處有極值，若 t ab，則 t 的最大值為() 【導學號：66482115】 A2 B3 C6 D9 D f ( x)12 x22 ax2 b，則 f (1)122 a2 b0， a b6，又 a0， b0，則 t ab 29，當且僅當 a b3 時取等號，故選 D.( a b2 ) 利用導數(shù)研究生活中的優(yōu) 化問題 某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明，該商品每日的銷售量 y(單位

12、：千 克)與銷售價格 x(單位：元/千克)滿足關(guān)系式 y 10( x6) 2，其中 3x6， a 為常 ax 3 數(shù)已知銷售價格為 5 元/千克時，每日可售出該商品 11 千克 (1)求 a 的值； (2)若該商品的成本為 3 元/千克，試確定銷售價格 x 的值，使商場每日銷售該商品所 獲得的利潤最大 解(1)因為 x5 時， y11，所以 1011， a2. 5 分 a2 (2)由(1)可知，該商品每日的銷售量為 y 10( x6) 2， 2x 3 所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤為 f (x)( x3) 2x 3 10 x 6 2 210( x3)( x6) 2,3x6. 7 分 從而，

13、 f ( x)10( x6) 22( x3)( x6)30( x4)( x6)， 于是，當 x 變化時， f ( x)， f (x)的變化情況如下表： x (3,4) 4 (4,6) f ( x) 0 f (x) 遞增 極大值 42 遞減 由上表可得， x4 時，函數(shù) f (x)取得極大值，也是最大值，9 分 所以，當 x4 時，函數(shù) f (x)取得最大值，且最大值等于 42. 即當銷售價格為 4 元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大. 12 分 規(guī)律方法利用導數(shù)解決生活中優(yōu)化問題的一般步驟 (1)設(shè)自變量、因變量，建立函數(shù)關(guān)系式 y f (x)，并確定其定義域； (2)求函數(shù)的導數(shù)

14、 f ( x)，解方程 f ( x)0； (3)比較函數(shù)在區(qū)間端點和 f ( x)0 的點的函數(shù)值的大小，最大(小)者為最大(小) 值； (4)回歸實際問題作答 變式訓練 2某品牌電動汽車的耗電量 y 與速度 x 之間有關(guān)系 y x3 x240 x(x0)，為使耗電量最小，則速度應定為_. 13 392 【導學號：66482116】 40由 y x239 x400， 得 x1 或 x40， 由于 0 x40 時， y0； x40 時， y0. 所以當 x40 時， y 有最小值 思想與方法 1可導函數(shù) y f (x)在點 x0處取得極值的充要條件是 f ( x0)0，且在 x0左側(cè)與 右側(cè) f

15、 ( x)的符號不同 2求閉區(qū)間上可導函數(shù)的最值時，對函數(shù)的極值是極大值還是極小值可不作判斷，直 接與端點的函數(shù)值比較即可 3如果目標函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)只有一個極值點，那么根據(jù)實際意義該極值點就是最值 點 4若函數(shù) f (x)在定義域 A 上存在最大值與最小值，則： (1)對任意 x A， f (x)0 f (x)min0； (2)存在 x A， f (x)0 f (x)max0. 易錯與防范 1求函數(shù)單調(diào)區(qū)間與函數(shù)極值時要養(yǎng)成列表的習慣，可使問題直觀且有條理，減少失 分的可能 2導數(shù)為零的點不一定是極值點對含參數(shù)的求極值問題，應注意分類討論 3若函數(shù) y f (x)在區(qū)間( a， b)內(nèi)有極值，那么 y f (x)在( a， b)內(nèi)絕不是單調(diào)函 數(shù)，即在某區(qū)間上單調(diào)函數(shù)沒有極值 4利用導數(shù)解決實際生活中的優(yōu)化問題，要注意問題的實際意義