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1、4.2 比較線段的長短北師大版北師大版 數(shù)學數(shù)學 七年級七年級（上）（上）第四章 基本平面圖形1 1.了了解解兩兩點點間間距距離離的的意意義義，理理解解“兩兩點點之之間間，線線段段最短最短”的線段性質(zhì)，并學會運用的線段性質(zhì)，并學會運用。2 2.會會用用尺尺規(guī)規(guī)畫畫一一條條線線段段等等于于已已知知線線段段，會會比比較較兩兩條條線段的線段的長短長短。3.3.理理解解線線段段中中點點、等等分分點點的的意意義義，能能夠夠運運用用線線段段的的和、差、倍、分和、差、倍、分關系求線段的長度關系求線段的長度。學習目標學習目標如何比較兩個人的身高？如何比較兩個人的身高？我身高我身高1.53米，米，比你高比你高3

2、厘米厘米.我身高我身高1.5米米.導入新知導入新知 看看下面這三幅圖片誰高誰矮？你是依據(jù)什么判斷的下面這三幅圖片誰高誰矮？你是依據(jù)什么判斷的？AFEDBC 如如圖：從圖：從A地到地到 C 地有四條道路，地有四條道路，哪條路最哪條路最 近？在圖上標出近？在圖上標出.新知一新知一新知一新知一 線線線線段段段段的性質(zhì)的性質(zhì)的性質(zhì)的性質(zhì)想一想想一想合作探究合作探究AFEDBC 經(jīng)過比較，我們可以得到一個關于線段的基本事實：經(jīng)過比較，我們可以得到一個關于線段的基本事實：兩點之間的所有連線中，線段最短兩點之間的所有連線中，線段最短.連接兩點間的連接兩點間的線段線段的的長度，長度，叫做叫做這兩點的距離這兩點

3、的距離.你能舉出這條性質(zhì)在生活中的應用嗎？你能舉出這條性質(zhì)在生活中的應用嗎？這這一事實可以簡述：一事實可以簡述：兩點之間，線段最短兩點之間，線段最短.兩點之間線段最兩點之間線段最短短.如如圖，這是圖，這是 A，B 兩地之間的公路，在公路兩地之間的公路，在公路工程工程 改造計劃時，為使改造計劃時，為使 A，B 兩地行程最短，應如何兩地行程最短，應如何 設計設計線路？請在圖中畫出，并說明理由線路？請在圖中畫出，并說明理由.BA.議一議議一議15如圖，平面上有A，B，C，D四個村莊，為解決當?shù)厝彼畣栴}，政府準備投資修建一個蓄水池，不考慮其他因素，請你畫圖確定蓄水池H的位置，使它與四個村莊的距離最小兩

4、點之間的距離是指兩點之間的直線解：因為D是線段AB的中點，你能舉出這條性質(zhì)在生活中的應用嗎？ADBEC解析：根據(jù)已知條件，不妨設BDxcm，則AB3xcm,CD4xcm,易得AC6xcm.11如圖，ABAC_AD_；BC2CE6，ABACBC24車站到A，B兩村莊的距離之和最小，請在圖中在直線上畫出線段AB=a，再在AB的延長線上畫線段BC=b，線段AC就是與的和，記作AC=.在直線上畫出線段AB=a，再在AB的延長線上畫線段BC=b，線段AC就是與的和，記作AC=.已知線段AB6cm，延長AB到C，使BC2AB，若在由線段中點的定義及線段的和差關系，用含x的代數(shù)式表示EF的長，從而得到一個一

5、元一次方程，求解即可.如何比較兩個人的身高？2如圖，ABCD，則AC與BD的大小關系是()A21cm或4cmB20.即OD為所求作的線段如何比較兩個人的身高？求線段的長度時，當題目中涉及到線段長度的比例或倍分關系時，通?？梢栽O未知數(shù)，運用方程思想求解.(2)反向延長線段AB到D，使ADAB；你能舉出這條性質(zhì)在生活中的應用嗎？所以EFACAECF 把原來彎曲的河道改直，把原來彎曲的河道改直，A，B 兩地間的河道長兩地間的河道長 度度有什么變化？有什么變化？ABA，B 兩地間的河道兩地間的河道長度變短長度變短.想一想想一想 如圖，如圖，AB+BC AC，AC+BC AB，AB+AC BC(填填“”

6、“”“”或或“”).”).其中蘊其中蘊含的數(shù)學道理是含的數(shù)學道理是_._.兩點之間線段最兩點之間線段最短短.ABC鞏固新知鞏固新知 在一條筆直的公路兩側，分別有在一條筆直的公路兩側，分別有 A，B 兩個村莊，兩個村莊，如如圖，現(xiàn)在要在公路圖，現(xiàn)在要在公路 l 上建一個汽車站上建一個汽車站 C，使汽，使汽 車站車站到到 A，B 兩村莊的距離之和最小，請在圖中兩村莊的距離之和最小，請在圖中 畫畫出汽車站的位置出汽車站的位置.CABl 比較比較下圖哪棵下圖哪棵樹高樹高？哪哪支鉛支鉛筆長筆長？窗框窗框相鄰的兩條邊相鄰的兩條邊哪條邊長？你是怎么比較的？哪條邊長？你是怎么比較的？新知二新知二新知二新知二

7、線線線線段的比較段的比較段的比較段的比較 如何比較兩條線段的長短呢？如何比較兩條線段的長短呢？思考思考合作探究合作探究猜想交流猜想交流觀察這三組圖形，你能比較出每組圖形中觀察這三組圖形，你能比較出每組圖形中線段線段 a 和和 b 的長短嗎？的長短嗎？三組圖形中，線段三組圖形中，線段a與與b的長度均的長度均相等相等很多時候，眼見未必為實很多時候，眼見未必為實.準確準確比較線段的長短還需要更加嚴謹比較線段的長短還需要更加嚴謹?shù)霓k法的辦法.(1)(2)(3)abaabb合作探究合作探究 做做手工時，在沒有刻度尺的條件下，若想從較手工時，在沒有刻度尺的條件下，若想從較長的木棍上截下一段，長的木棍上截下

8、一段，使截下的木棒等于另一根短使截下的木棒等于另一根短木棒的長，我們常采用以上辦法木棒的長，我們常采用以上辦法.畫畫在黑板上的線段是無法移動的，在只有圓規(guī)和無刻在黑板上的線段是無法移動的，在只有圓規(guī)和無刻度的直尺的情況下，請大家想想辦法，如何度的直尺的情況下，請大家想想辦法，如何再畫一條與它相再畫一條與它相等的線段？等的線段？思考思考小提示：小提示：在可打開角度在可打開角度的最大范圍內(nèi)，圓規(guī)可的最大范圍內(nèi)，圓規(guī)可截取任意長度，相當于截取任意長度，相當于可以移動的可以移動的“小木棍小木棍”.”.你們你們平時是如何比較兩個同學的身高的？你能從平時是如何比較兩個同學的身高的？你能從比身高的方法中得到

9、啟示來比較兩條線段的長短嗎？比身高的方法中得到啟示來比較兩條線段的長短嗎？討論討論160cm170cm比較兩個同學高矮的方法：比較兩個同學高矮的方法：疊合法疊合法.讓兩個同學站在同一平地上，腳底平齊，觀看讓兩個同學站在同一平地上，腳底平齊，觀看 兩人的頭頂，直接比出高矮兩人的頭頂，直接比出高矮.用卷尺分別度量出兩個同學的身高，將所得的用卷尺分別度量出兩個同學的身高，將所得的 數(shù)值進行比較數(shù)值進行比較.度量法度量法.DCB試比較線段試比較線段AB，CD 的的長短長短.(1)度量法；度量法；(2)疊合法疊合法 將將其中一條線段其中一條線段“移移”到另一條線段上，使到另一條線段上，使其一端點與另一線

10、段的一端點其一端點與另一線段的一端點重合重合，然后觀察兩條線，然后觀察兩條線段另外兩個端點的位置作比較段另外兩個端點的位置作比較.(A)C DA BCD1.若點若點 A 與點與點 C 重合，點重合，點 B 落落在在C，D之間，那么之間，那么 AB CD.(A)B 疊合法疊合法結論：結論：CDABB(A)2.若點若點 A 與點與點 C 重合，點重合，點 B 與與 點點 D ，那么，那么 AB=CD.3.若點若點 A 與點與點 C 重合，點重合，點 B 落落在在 CD 的延長線上，那么的延長線上，那么 AB CD.重合重合BABACD(A)(B)1.為了為了比較線段比較線段AB與與CD的大小，小明

11、將點的大小，小明將點A與點與點C重合使重合使兩條線段在一條直線上，結果點兩條線段在一條直線上，結果點B在在CD的延長線上，則的延長線上，則()AABCDBABCDCABCD D以上都以上都不對不對0 2.如如圖所示，圖所示，ABCD，則，則AC與與BD的大小關系是的大小關系是()AACBD BACBD CACBD D無法無法確定確定BCABCD鞏固新知鞏固新知已知線段已知線段AB,用尺規(guī)用尺規(guī)作一條線段等于已知線段作一條線段等于已知線段 AB.AB先作一條射線先作一條射線A C ；A C 用圓規(guī)量取已知用圓規(guī)量取已知線線段段AB的的長度長度；在射線上截取在射線上截取A B =AB,線段線段A

12、B 就是就是 所求的所求的線線段段.新知三新知三新知三新知三 作作作作一條線段等于已知一條線段等于已知一條線段等于已知一條線段等于已知線段線段線段線段(尺規(guī)作圖法尺規(guī)作圖法尺規(guī)作圖法尺規(guī)作圖法)例合作探究合作探究 在在直線上畫出線段直線上畫出線段 AB=a，再在，再在 AB 的延長線上畫線段的延長線上畫線段BC=b，線段，線段AC 就是就是 與與 的的和和，記作，記作 AC=.如果在如果在AB上畫線段上畫線段 BD=b，那么線段，那么線段 AD 就是就是 與與 的的差差，記作，記作AD=.ABCDa+ba-babb畫一畫畫一畫aba+baba-b1.如如圖，點圖，點B，C在線段在線段 AD 上

13、則上則ABBC_；ADCD_；BC _ _ _ _.ABCDACACACABBDCD2.如如圖，已知線段圖，已知線段a，b，畫一條線段，畫一條線段AB，使使AB2ab.abAB2ab2ab鞏固新知鞏固新知 在在一張紙上畫一條線段，折疊紙片，使線段的端一張紙上畫一條線段，折疊紙片，使線段的端點重合，折痕與線段的交點處于線段的什么位置？點重合，折痕與線段的交點處于線段的什么位置？ABM新知四新知四新知四新知四 線段的中點線段的中點線段的中點線段的中點合作探究合作探究ABM 如如圖，點圖，點M 把線段把線段 AB 分成相等的兩條線段分成相等的兩條線段AM 與與BM，點點 M 叫做線段叫做線段AB 的

14、的中點中點.類似類似地，還有線段的三等分點、地，還有線段的三等分點、四等分點等四等分點等.線段的線段的三等分點三等分點線段的線段的四等分點四等分點AaaMBM 是線段是線段AB的中點的中點點點M ,N 是線段是線段AB的三等分點：的三等分點：AM MN NB _ AB(或或 AB _AM _ MN _NB)333NMBA例例1若若 AB 6cm，點，點 C 是線段是線段 AB 的中點，點的中點，點 D是線是線段段 CB 的中點，求：線段的中點，求：線段 AD 的長是多少的長是多少?解解：因為因為C 是線段是線段AB的中點，的中點，因為因為D是是線段線段CB的的中點中點，所以所以 AD AC C

15、D 3 1.5 4.5(cm).A C BD典例精析典例精析1 1 利利用中點求線段的長度用中點求線段的長度CBA 1.如如圖，點圖，點C 是線段是線段AB 的中點，若的中點，若AB 8 cm，則，則AC cm.4CACB鞏固新知鞏固新知3.如如圖，線段圖，線段AB 4 cm，BC 6 cm，若點，若點D為線段為線段AB的的中中點，點點，點E為線段為線段 BC 的中點，求線段的中點，求線段 DE 的長的長.A D B E CA D B E C答：答：DE 的長為的長為 5 cm.解解：因為因為D 是線段是線段AB的中點，的中點，因為因為E是線段是線段BC的的中點中點，所以所以 DE DB BE

16、 2 3 5(cm).例例2 如如圖，圖，B，C是線段是線段AD上兩點，且上兩點，且AB：BC：CD3：2：5，E，F(xiàn)分別是分別是AB，CD的中點，且的中點，且EF24，求線段，求線段AB，BC，CD的長的長FECBDA解析解析：根據(jù)已知條件根據(jù)已知條件AB：BC：CD3：2：5，不妨設，不妨設AB3x,BC2x,CD5x,然后運用線段的和差倍分，用含然后運用線段的和差倍分，用含x的的代數(shù)式表示代數(shù)式表示EF的長，從而得到一個關于的長，從而得到一個關于x的一元一次方程，的一元一次方程，解方程，得到解方程，得到x的值，即可得到所求各線段的長的值，即可得到所求各線段的長.典例精析典例精析2 2 利

17、利用比例或倍分關系求線段的長度用比例或倍分關系求線段的長度合作探究合作探究FECBDA解：解：設設AB3x，BC2x，CD5x，因為因為E，F(xiàn)分別是分別是AB，CD的中點，的中點，因為因為EF24，所以所以6x24,解得解得x4.所以所以AB3x12，BC2x8，CD5x20.所以所以EFBEBCCF6x 求求線段的長度時，當題目中涉及到線段的長度時，當題目中涉及到線段長度的線段長度的比例或倍分關系比例或倍分關系時，通常可以設未知數(shù)，運用時，通?？梢栽O未知數(shù)，運用方程方程思想思想求解求解.方法點撥方法點撥FEBDCA解析：解析：根據(jù)已知條件，不妨設根據(jù)已知條件，不妨設BDxcm，則，則AB3x

18、cm,CD4xcm,易得易得AC6xcm.在由線段中點的定義及線段的在由線段中點的定義及線段的和差關系，用含和差關系，用含x的代數(shù)式表示的代數(shù)式表示EF的長，從而得到一個一的長，從而得到一個一元一次方程，求解即可元一次方程，求解即可.鞏固新知鞏固新知解：解：設設BDxcm,則則ABAB3 3x xcm，C CD4x xcm，AC6x xcm，因為因為E，F(xiàn)分別是分別是AB，CD的中點的中點，所以所以AB3x cm12 cm，C CD4x cm16 cm.FEBDCA所以所以EFACAECF例例3 A，B，C三點在同一直線上，線段三點在同一直線上，線段AB5cm，BC4cm，那么，那么A，C兩點

19、的距離是兩點的距離是（）（）A1cm B9cm C1cm或或9cm D以上答案都不對以上答案都不對解析：解析：分以下兩種情況進行討論分以下兩種情況進行討論：當當點點C在在AB之間上，故之間上，故ACABBC1cm；當當點點C在在AB的延長線上時，的延長線上時，ACABBC9cmC方法總結：方法總結：無圖時求線段的長，應注意無圖時求線段的長，應注意分類討論，分類討論，一般分以下一般分以下兩種情況兩種情況：點點在某一線段上在某一線段上；點點在該線段的延長線在該線段的延長線.典例精析典例精析3 3 需需要分類討論的問題要分類討論的問題合作探究合作探究已知已知A，B，C三點共線，線段三點共線，線段AB

20、25cm，BC16cm，點，點E，F(xiàn)分別是線段分別是線段AB，BC的中點，則線段的中點，則線段EFEF的長為（）的長為（）A21cm或或4cm B20.5cmC4.5cm D20.5cm或或4.5cmD鞏固新知鞏固新知1.下列說法正確的是下列說法正確的是 ()()A.兩點間距離的定義是指兩點之間的線段兩點間距離的定義是指兩點之間的線段 B.兩點之間的距離是指兩點之間的直線兩點之間的距離是指兩點之間的直線 C.兩點之間的距離是指連接兩點之間線段的長度兩點之間的距離是指連接兩點之間線段的長度 D.兩點之間的距離是兩點之間的直線的長度兩點之間的距離是兩點之間的直線的長度2.如圖，如圖，ACDB，則圖

21、中另外兩條相等的線段為，則圖中另外兩條相等的線段為_.CA C D B ADBC課堂練習課堂練習3.已知線段已知線段 AB6 cm，延長，延長 AB 到到C，使，使BC2AB，若，若 D為為AB 的中點，則線段的中點，則線段DC 的長為的長為_._.CAD B15 cm4.點點A，B，C在同一條數(shù)軸上，其中點在同一條數(shù)軸上，其中點A，B表示的數(shù)分別表示的數(shù)分別是是 -3，1，若，若BC5，則，則AC_9或或1比較比較線段線段的長短的長短線段線段長短的比較長短的比較線段的線段的性質(zhì)性質(zhì)線段線段中點的概念中點的概念度量法度量法疊合法疊合法兩兩點之間點之間線段最短線段最短尺規(guī)作圖法尺規(guī)作圖法把一條線

22、段把一條線段分成相等的兩條分成相等的兩條線段的點線段的點，叫做線段的中點，叫做線段的中點歸納新知歸納新知1(2020宜昌)如圖，田亮同學用剪刀沿直線將一片平整的樹葉剪掉一部分，發(fā)現(xiàn)剩下樹葉的周長比原樹葉的周長要小，能正確解釋這一現(xiàn)象的數(shù)學知識是 兩點之間，線段最短課后練習課后練習2如圖，ABCD，則AC與BD的大小關系是()AACBD BACBDCACBD D無法確定C3若點B在直線AC上，AB10，BC5，則A，C兩點間的距離是()A5 B15C5或15 D不能確定C4如圖，延長線段AB到點C，使BC4，若AB8，則線段AC的長是BC的_3倍5如圖，點C，D是線段AB上兩點，若CB4 cm，

23、DB7 cm，且點D是AC的中點，則AC的長等于()A3 cm B6 cm C11 cm D14 cmBAC8如圖，點C是線段AB上的一點，點M是線段AC的中點，若AB8 cm，BC2 cm，則MC的長是()A2 cm B3 cm C4 cm D6 cmB9已知線段AB2 cm，延長線段AB到點C，使BC3AB，若點M，N分別為AB，AC的中點，則線段MN的長為_3cm1(2020宜昌)如圖，田亮同學用剪刀沿直線將一片平整的樹葉剪掉一部分，發(fā)現(xiàn)剩下樹葉的周長比原樹葉的周長要小，能正確解釋這一現(xiàn)象的數(shù)學知識是兩點之間的距離是兩點之間的直線的長度AABCDBABCDBC2CE6，ABACBC24試

24、比較線段AB，CD的長短.例3A，B，C三點在同一直線上，線段AB5cm，BC4cm，那么A，C兩點的距離是（）11如圖，ABAC_AD_；兩點之間的所有連線中，線段最短.在C，D之間，那么ABCD.因為D是線段CB的中點，AMMNNB_ABAMMNNB_AB先作一條射線AC；CABCDD以上都不對0如圖，點B，C在線段AD上則ABBC_；12如圖，已知C為線段AB的中點，D在線段CB上，若DA6，DB4，則CD_15如圖，平面上有A，B，C，D四個村莊，為解決當?shù)厝彼畣栴}，政府準備投資修建一個蓄水池，不考慮其他因素，請你畫圖確定蓄水池H的位置，使它與四個村莊的距離最小12如圖，已知C為線段A

25、B的中點，D在線段CB上，若DA6，DB4，則CD_ACDB求線段的長度時，當題目中涉及到線段長度的比例或倍分關系時，通?？梢栽O未知數(shù)，運用方程思想求解.經(jīng)過比較，我們可以得到一個關于線段的基本事實：所以EFBEBCCF10已知線段a，b，c用尺規(guī)作線段，使它等于a2bc.解：即OD為所求作的線段11如圖，ABAC_AD_；CD_ACCB_12如圖，已知C為線段AB的中點，D在線段CB上，若DA6，DB4，則CD_CBBDADBD1C14點O，P，Q是平面上的三點，PQ20 cm，OPOQ30 cm，那么下列說法正確的是()AO點在直線PQ外BO點在直線PQ上CO點能在線段PQ上DO點不能在線

26、段PQ上D15如圖，平面上有A，B，C，D四個村莊，為解決當?shù)厝彼畣栴}，政府準備投資修建一個蓄水池，不考慮其他因素，請你畫圖確定蓄水池H的位置，使它與四個村莊的距離最小解：連接AC，BD交于點H，H點即為所求的點，16如圖，已知線段AB.(1)延長線段AB到C，使BCAB；(2)反向延長線段AB到D，使ADAB；(3)線段CD與線段AB有何數(shù)量關系？解：(1)(2)圖略(3)CD3AB18如圖，點C是線段AB上任一點，點D是AC的中點，點E是BC的中點，CE的長是3，AD的長是BE的3倍，求AB的長解：AD3BE9，AC2AD18，BC2CE6，ABACBC2419(1)如圖，點C在線段AB上，且AC10 cm，BC18 cm，點M，N分別是AC，BC的中點，求線段MN的長度；(2)若ACa cm，BCb cm，其他條件不變，請用代數(shù)式表示MN的長度；(3)若第(1)題“點C在線段AB上”改為“點C在直線AB上”，其他不變，結果會有變化嗎？如果有，求出結果再見