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1、 高三上學(xué)期數(shù)學(xué)期中考試試卷 高三上學(xué)期數(shù)學(xué)期中考試試卷一、單選題一、單選題1已知集合 ，則 （）ABCD2若非零向量 的夾角為 ，則“”是“”的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件3若 ，則 （）ABCD4設(shè) ，則 的大小關(guān)系為（）ABCD5若 M 為 的邊 AB 上一點(diǎn)，且 則 （）ABCD6函數(shù) 在其定義域上的圖象大致為（）ABCD7牛頓冷卻定律描述一個(gè)物體在常溫環(huán)境下的溫度變化：如果物體的初始溫度為 ，則經(jīng)過一定時(shí)間 后的溫度 T 將滿足 ，其中 是環(huán)境溫度，h 稱為半衰期.現(xiàn)有一杯 85的熱茶，放置在 25的房間中，如果熱茶降溫到 55，需要 10 分

2、鐘，則欲降溫到 45，大約需要多少分鐘？（）（1g20.3010，1g30.4771）A12B14C16D188已知函數(shù) ，若函數(shù) 有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是（）ABCD二、多選題二、多選題9若 ，則（）ABCD10已知 是定義在 R 上的奇函數(shù)，且滿足 ，則下列說法正確的是（）AB 在區(qū)間 上單調(diào)遞增CD 是滿足條件的一個(gè)函數(shù)11函數(shù) ，（是常數(shù)，）的部分圖象如圖所示，則（）ABC 的對(duì)稱軸為 D 的遞減區(qū)間為 12已知函數(shù) ，則下列結(jié)論正確的有（）A 在區(qū)間 上單調(diào)遞減B若 ，則 C 在區(qū)間 上的值域?yàn)?D若函數(shù) ，且 ，在 上單調(diào)遞減三、填空題三、填空題13設(shè) 為單位向量，且

3、 ，則 14函數(shù) 的定義域?yàn)?15已知函數(shù) 是定義在 R 上的偶函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為 ，若對(duì)任意的正實(shí)數(shù)，則不等式 的解集為 16如圖，C、D 是兩所學(xué)校所在地，C、D 到一條公路的垂直距離分別為 .為了緩解上下學(xué)的交通壓力，決定在 AB 上找一點(diǎn) P，分別向 C、D 修建兩條互相垂直的公路 PC 和 PD，設(shè) ，則當(dāng) 最小時(shí)，.四、解答題四、解答題17在平面直角坐標(biāo)系 中，已知向量 .（1）若 ，求 的值；（2）若 在 上的投影向量長(zhǎng)度為 ，求 的值.18某市作為新興的“網(wǎng)紅城市”，有很多風(fēng)靡網(wǎng)絡(luò)的“網(wǎng)紅景點(diǎn)”，每年都有大量的游客來(lái)參觀旅游。為提高經(jīng)濟(jì)效益，管理部門對(duì)某一景點(diǎn)進(jìn)行了改造升級(jí)，經(jīng)市

4、場(chǎng)調(diào)查，改造后旅游增加值 y 萬(wàn)元投入 萬(wàn)元之間滿足：（a，b 為常數(shù)），當(dāng) 萬(wàn)元時(shí)，萬(wàn)元；當(dāng) 萬(wàn)元時(shí)，萬(wàn)元.（參考數(shù)據(jù)：）（1）寫出該景點(diǎn)改造升級(jí)后旅游增加利潤(rùn) 萬(wàn)元與投入 萬(wàn)元的函數(shù)解析式；（利潤(rùn)=旅游增加值投入）（2）投入多少萬(wàn)元時(shí)，旅游增加利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少萬(wàn)元？（精確到 0.1）19在，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求 的值；若問題中的三角形不存在，說明理由.問題：在 中，它的內(nèi)角 A，B，C 的對(duì)邊分別為 ，若 的外接圓半徑為 2，且 ，_.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.20古希臘數(shù)學(xué)家海倫著作測(cè)地術(shù)中記載了著名的海倫公式，利

5、用三角形的三邊長(zhǎng)求三角形的面積.若三角形的三邊分別為 ，則其面積 ，這里 ，已知在 中，.（1）設(shè) ，試將三角形的面積 s 表示成 的函數(shù)；（2）求 s 的最大值，并求三角形面積最大時(shí) 的值.21已知函數(shù) （）.（1）討論函數(shù) 的單調(diào)性；（2）若關(guān)于 的不等式 在 上恒成立，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.22已知函數(shù) .（1）若對(duì)任意的實(shí)數(shù) ，函數(shù) 的圖象與直線 有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，求 的取值范圍；（2）設(shè) ，若函數(shù) 有兩個(gè)極值點(diǎn) ，且 ，證明：.答案解析部分答案解析部分1【答案】C【解析】【解答】由 ，故答案為：C.【分析】利用已知條件結(jié)合交集的運(yùn)算法則，從而求出集合 A 和集合 B 的交集。2【答案】

6、A【解析】【解答】化為 ，所以 ，“”是“”的充分不必要條件，故答案為：A?！痉治觥坷靡阎獥l件結(jié)合充分條件、必要條件的判斷方法，從而推出“”是“”的充分不必要條件。3【答案】B【解析】【解答】換元 ，則 ，且 ，則 ，故答案為：B.【分析】利用換元法令，則 ，再代入 ，得出，再利用代入法結(jié)合誘導(dǎo)公式、二倍角的余弦公式，從而求出的值。4【答案】D【解析】【解答】，所以 ，故答案為：D.【分析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊值對(duì)應(yīng)的指數(shù)和對(duì)數(shù)與 a,b,c 三者大小關(guān)系比較，從而比較出 a,b,c 三者大小。5【答案】A【解析】【解答】解：根據(jù)題意做出圖形，如圖，所以 ，所以 .故

7、答案為：A.【分析】利用已知條件結(jié)合向量共線定理、三角形法則和平面向量基本定理，從而求出。6【答案】B【解析】【解答】首先求定義域，解得 ，所以 為偶函數(shù)，圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱，排除 C、D，當(dāng) 或 時(shí)，排除 A，故答案為：B.【分析】利用對(duì)數(shù)型函數(shù)求定義域和分式函數(shù)求定義域的方法結(jié)合交集的運(yùn)算法則，從而求出函數(shù)的定義域，再利用偶函數(shù)定義推出函數(shù)為偶函數(shù)，再利用偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性結(jié)合當(dāng) 或 時(shí)，從而用排除法找出函數(shù)在定義域上的大致圖象。7【答案】C【解析】【解答】根據(jù)題意有：，故答案為：C.【分析】利用已知條件結(jié)合 ，從而求出 h 的值，從而結(jié)合代入法和 h 的值代入，從而求出欲降溫到 45，

8、大約需要的時(shí)間。8【答案】D【解析】【解答】函數(shù) 有兩個(gè)不同的零點(diǎn)等價(jià)于方程 有兩個(gè)不同的根，令 ，在 遞增，在 遞減，且令 ，令 ，則 ，當(dāng) ，在 遞增，在 遞減，且，所以直線 與 有兩個(gè)交點(diǎn)，可得 的取值范圍為：，故答案為：D.【分析】函數(shù) 有兩個(gè)不同的零點(diǎn)等價(jià)于方程 有兩個(gè)不同的根，令 ，再利用求導(dǎo)的方法判斷函數(shù) u(x)的單調(diào)性，再令 ，令 ，則 ，再利用求導(dǎo)的方法判斷函數(shù) v(x)的單調(diào)性，所以直線 與 有兩個(gè)交點(diǎn)，從而可得實(shí)數(shù) a 的取值范圍。9【答案】A,B,D【解析】【解答】解：因?yàn)?，所以 ，A 符合題意；，是實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)，所以 ，B 符合題意；，所以 ，C 不符合題意；

9、因?yàn)?，所以 ，欲證 ，只需證明 ，即證 顯然成立，D 符合題意.故答案為：ABD【分析】利用已知條件結(jié)合不等式的性質(zhì)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，從而選出正確的選項(xiàng)。10【答案】A,C,D【解析】【解答】因?yàn)?是定義在 R 上的奇函數(shù)，所以 ,又 ，所以 ，即 ，所以 ，A 符合題意；無(wú)法得出 在區(qū)間 上單調(diào)遞增，B 不符合題意；因?yàn)楹瘮?shù)的周期為 8，所以 ，C 符合題意；因?yàn)?,則 ，D 符合題意；故答案為：ACD【分析】利用已知條件結(jié)合奇函數(shù)的定義，從而利用周期函數(shù)的定義推出，推出 A 正確，再利用已知條件無(wú)法推出函數(shù)在區(qū)間 上單調(diào)遞增，所以 B 錯(cuò)誤，再利用函數(shù)的周期性推出 C 正確，再利用特殊

10、函數(shù)滿足條件推出 D 正確，從而找出說法正確的選項(xiàng)。11【答案】A,B【解析】【解答】解：顯然 ，設(shè)函數(shù)的周期為 ，則 ，所以 ，又 ；所以 過點(diǎn) ，所以 ，所以 ，根據(jù) ，AB 符合題意；正弦函數(shù)的對(duì)稱軸為 ，令 ，所以 的對(duì)稱軸為 ，C 不符合題意；正弦函數(shù)的遞減區(qū)間為 ，令 ，的遞減區(qū)間為 ，D 不符合題意.故答案為：AB【分析】利用函數(shù)的部分圖像結(jié)合函數(shù)最大值求出 A，再利用正弦型函數(shù)的最小正周期公式求出的值，再利用特殊值五點(diǎn)對(duì)應(yīng)法求出的值，從而求出函數(shù)解析式，再利用換元法將正弦型函數(shù)轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)，再利用正弦函數(shù)的圖象求出正弦型函數(shù)的圖象的對(duì)稱性和單調(diào)區(qū)間。12【答案】A,C,D【解

11、析】【解答】，當(dāng) 時(shí)，由三角函數(shù)線可知 ，所以 ，即 ，所以 ，所以 ，所以 在區(qū)間 上單調(diào)遞減，當(dāng) ，所以 ，所以 在區(qū)間 上單調(diào)遞減，所以 在區(qū)間 上單調(diào)遞減，選項(xiàng) A 符合題意；當(dāng) 時(shí)，所以 ，即 ，選項(xiàng) B 不符合題意；由三角函數(shù)線可知 ，所以 ，所以當(dāng) 時(shí)，選項(xiàng) C 符合題意；對(duì) 進(jìn)行求導(dǎo)可得：所以有 ，所以 ，所以 在區(qū)間 上的值域?yàn)?，所以 ，在區(qū)間 上單調(diào)遞增，因?yàn)?，從而 ，所以函數(shù) 在 上單調(diào)遞減，選項(xiàng) D 符合題意.故答案為：ACD.【分析】利用求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用三角函數(shù)線結(jié)合 ，再利用求導(dǎo)的方法求出函數(shù)的值域、從而求出正確的結(jié)論。13【答案】【解析】【解答

12、】由 ，平方可得：，解得：，故答案為：?！痉治觥坷靡阎獥l件結(jié)合數(shù)量積求向量的模的方法，從而利用單位向量的定義，進(jìn)而求出向量的模。14【答案】(0,1【解析】【解答】，故答案為：(0,1?！痉治觥坷门即胃胶瘮?shù)求定義域的方法結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)求定義域的方法，再利用交集的運(yùn)算法則，從而求出函數(shù) 的定義域。15【答案】【解析】【解答】當(dāng) 時(shí)，且 為偶函數(shù)，在 單調(diào)遞減，解得：，故答案為：?！痉治觥慨?dāng) 時(shí)，且 為偶函數(shù)，在 單調(diào)遞減，再利用偶函數(shù)的性質(zhì)和減函數(shù)的性質(zhì)，從而結(jié)合已知條件求出不等式 的解集。16【答案】12【解析】【解答】由題意得：，當(dāng) 時(shí)，當(dāng) 得：，當(dāng) 得：，當(dāng) 時(shí)，取得最小值，故答案為：

13、12?！痉治觥坷靡阎獥l件結(jié)合誘導(dǎo)公式得出，再利用求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用函數(shù)的單調(diào)性，從而求出當(dāng) 最小時(shí)對(duì)應(yīng)的 AP 的長(zhǎng)。17【答案】（1）解：因?yàn)?，所以 ，故 ，.（2）解：因?yàn)?在 上的投影向量長(zhǎng)度為 ，所以 ，所以 ，所以 或 或 或 ，解得 或 或 或 ，因?yàn)?，所以 .【解析】【分析】（1）利用兩向量垂直數(shù)量積為 0，結(jié)合已知條件和數(shù)量積的坐標(biāo)表示，從而結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，從而求出 的值。（2）因?yàn)?在 上的投影向量長(zhǎng)度為 ，結(jié)合投影的求解方法，從而 ，進(jìn)而利用特殊角對(duì)應(yīng)的余弦值，從而求出 x 的值。18【答案】（1）解：由已知得：，化簡(jiǎn)得：，則該景點(diǎn)改造升級(jí)

14、后旅游增加利潤(rùn)為：；（2）解：由（1）得：則 ，令 得 ，當(dāng) 時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng) 單調(diào)遞減；時(shí)，取得最大值，且 ，當(dāng)投入 25 萬(wàn)元時(shí)，旅游增加利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為 11.9 萬(wàn)元.【解析】【分析】（1）利用實(shí)際問題的已知條件結(jié)合利潤(rùn)=旅游增加值投入，從而求出該景點(diǎn)改造升級(jí)后旅游增加利潤(rùn) 萬(wàn)元與投入 萬(wàn)元的函數(shù)解析式。（2）由（1）得：，再利用求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性求出函數(shù) L（x）的最大值，從而求出當(dāng)投入 25 萬(wàn)元時(shí)，旅游增加利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為 11.9 萬(wàn)元。19【答案】解：若選：因?yàn)?，所以 所以 ，因?yàn)?，所以 .因?yàn)?的外接圓半徑為 2，所以 ，所以 所以 ，又因

15、為 所以 .若選：因?yàn)?因?yàn)?，所以 因?yàn)?，所以 .因?yàn)?的外接圓半徑為 2，所以 所以 所以 若選：因?yàn)?，由余弦定理得 所以 ，因?yàn)?的外接圓半徑為 2，所以 所以 ，所以 又因?yàn)?所以 .【解析】【分析】利用代入法將每個(gè)條件分別代入題中，再利用正弦定理的性質(zhì)求三角形外接圓的半徑的方法、再結(jié)合余弦定理，從而結(jié)合已知條件分別解答出答案。20【答案】（1）解：設(shè) ，所以 （）；（2）解：由（1）得，當(dāng) 即 時(shí)，s 取得最大值 12，此時(shí) ，由余弦定理得：，所以 .【解析】【分析】（1）設(shè) ，再利用三角形面積公式 ，這里 ，從而將三角形的面積 s 表示成 的函數(shù)。（2）由（1）得，再利用二次函

16、數(shù)求最值的方法結(jié)合余弦定理，從而求出角 A的余弦值，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，從而求出 時(shí)三角形面積取得最大值為 12。21【答案】（1）解：，令 ，則 或 ，當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 在區(qū)間 和 上單調(diào)遞增，在區(qū)間 上單調(diào)遞減，當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 在 上單調(diào)遞增，當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 在區(qū)間 和 上單調(diào)遞增，在區(qū)間 上單調(diào)遞減；（2）解：原不等式化為：在 上恒成立，設(shè) ，令 ，則 ，所以 在 上單調(diào)遞增，所以 ，則函數(shù) 在 上單調(diào)遞增，且 ，.【解析】【分析】（1）利用求導(dǎo)的方法結(jié)合分類討論的方法，從而討論出函數(shù)的單調(diào)性。（2）關(guān)于 的不等式 在 上恒成立，轉(zhuǎn)化為 在 上恒成立，設(shè) ，再利用求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的

17、單調(diào)性，從而利用不等式恒成立問題的求解方法，從而求出實(shí)數(shù) a 的取值范圍。22【答案】（1）解：由已知得：函數(shù) 的圖象與直線 有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解.設(shè) ，令 ，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，且 時(shí)，函數(shù) 的圖象與直線 有且只有兩交點(diǎn).（2）解：，函數(shù) 有兩個(gè)極值點(diǎn) 有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解 .由（1）知：且 ，在區(qū)間 上單調(diào)遞增，在區(qū)間 上單調(diào)遞減，且 ，設(shè) ，則 ，在 上單調(diào)遞減，又 恒成立，即 ，又 在 單調(diào)遞減，要證：，只須證：即證：，設(shè) ，令 ，則 ，所以 在 單調(diào)遞增，所以 在 單調(diào)遞增，故當(dāng) ，所以 ，亦即：.【解析】【分析】（1）由已知得：函數(shù) 的圖象與直線 有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，設(shè) 利用求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最小值，再利用函數(shù)求極限的方法，從而求出實(shí)數(shù) a 的取值范圍。(2)設(shè) ，再利用函數(shù) .，求出函數(shù) g(x)的解析式，再利用求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的極值點(diǎn)，再利用已知條件函數(shù) 有兩個(gè)極值點(diǎn) ，且，從而結(jié)合不等式恒成立問題的求解方法和分析法證出 。