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1、 高三上學(xué)期數(shù)學(xué)期中考試試卷 高三上學(xué)期數(shù)學(xué)期中考試試卷一、單選題一、單選題1設(shè)集合 ，則 （）ABCD2定義運(yùn)算 ，若復(fù)數(shù) 滿足 ，則 （）ABCD3在 中，“”是“”的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件4已知函數(shù) 是定義域 為的奇函數(shù)，當(dāng) ，當(dāng) ，（為常數(shù)），若 ，則實(shí)數(shù) （）A2B-2CD-5在 中，若 ，則 面積的取值范圍是（）ABCD6在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù) 是指在沒有外力介入，同時(shí)所有人都沒有免疫力的情況下，一個(gè)感染者平均傳染的人數(shù).假設(shè)某種傳染病的基本傳染數(shù)是 ，那么感染人數(shù)由 個(gè)初始感染者經(jīng)過 輪傳染得到感染者（包括初始感染者）的總?cè)藬?shù)是多少

2、?（初始感染者傳染 個(gè)人為第一輪傳染，這 個(gè)人每人再傳染 個(gè)人為第二輪傳染，）（）A363B364C365D3667已知函數(shù) ，下面結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A 在區(qū)間 上單調(diào)遞減B 是函數(shù) 圖象的一個(gè)對稱中心C 在 上的值域?yàn)?D 圖象上的所有點(diǎn)向右平移 個(gè)單位后得到函數(shù) 的圖象8函數(shù) ，則函數(shù) 的大致圖象是（）ABCD二、多選題二、多選題9已知向量 ，則下列結(jié)論正確的是（）ABC 與 的夾角為 D10記 為等差數(shù)列 的前 項(xiàng)和，公差為 ，若 ，則以下結(jié)論一定正確的是（）ABCD 取得最大值時(shí)，11已知 ，則下列關(guān)于 ，可能滿足的關(guān)系有（）ABCD12已知函數(shù) 可以表示成一個(gè)偶函數(shù) 和一個(gè)奇函數(shù) 之和

3、，若不等式 對 恒成立，則實(shí)數(shù) 的可能取值為（）A-1BC1D2三、填空題三、填空題13已知 ，若 ，則 .14已知函數(shù) 圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為 ，則 .15已知函數(shù) 在區(qū)間 上無零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是 .16十九世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家盧卡斯提出數(shù)列 ：2，1，3，4，7，稱之為盧卡斯數(shù)列，且滿足 ，則 ；記 為數(shù)列 的前 項(xiàng)和，若 ，則 .四、解答題四、解答題17一般地，任何一個(gè)復(fù)數(shù) （，）都可以表示成 形式，其中，是復(fù)數(shù) 的模，是以 軸的非負(fù)半軸為始邊，向量 所在射線（射線 ）為終邊的角，叫做復(fù)數(shù) 的輻角，叫做復(fù)數(shù) 的三角表示式，簡稱三角形式.為了與“三角形式”區(qū)分開來，（，）叫做復(fù)

4、數(shù)的代數(shù)表示式，簡稱“代數(shù)形式”.（1）畫出復(fù)數(shù) 對應(yīng)的向量，并把 表示成三角形式；（2）已知 ，其中 ，.試求 （結(jié)果表示代數(shù)形式）.18已知等差數(shù)列 （）中 ，分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù)，且其中的任意兩個(gè)數(shù)均不在下表中的同一列.第一列第二列第三列第一行213第二行845第三行9116（1）請選擇一個(gè)可能的 組合，并求數(shù)列 的通項(xiàng)公式；（2）記（1）中您選擇的數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，試判斷是否存在正整數(shù) ，使得 ，成等比數(shù)列？若有，則求出 的值；若沒有，說明理由.19某城市公園有一如圖所示的綠化帶，其形狀由一個(gè)直徑為 的半圓 和矩形 組成，其中 .管理部門規(guī)劃在圓心 處建造一個(gè)亭子，

5、為了方便游客到亭子游玩，決定從 A 地出發(fā)修建一條經(jīng)過亭子 處到達(dá) 的公路，具體路線是：在半圓 上選點(diǎn) (異于 ，點(diǎn))，從點(diǎn) 沿圓弧到點(diǎn) ，再從點(diǎn) 經(jīng)過亭子 的直線到達(dá) 邊上的點(diǎn) 處.已知從點(diǎn) 到點(diǎn) 的修路費(fèi)用每千米需要 元，從點(diǎn) 到點(diǎn) 的修路費(fèi)用每千米需要 元，設(shè) 弧度，從 地經(jīng)點(diǎn) ，到 地修路所需費(fèi)用為 元.（1）試將 表示為 的函數(shù) ，并寫出定義域；（2）當(dāng) 取何值時(shí)，修路所需費(fèi)用最少?20在 中，角 ，的對邊分別是 ，且滿足 .（1）求角 大??；（2）若 是 內(nèi)部一點(diǎn)，.請猜想 與 的關(guān)系，并說明理由；求 的值.21設(shè)數(shù)列 前 項(xiàng)和為 ，（）.（1）求出 通項(xiàng)公式；（2）若 ，求數(shù)列

6、的前 項(xiàng)和 .22已知函數(shù) ，其中 .（1）若 ，在平面直角坐標(biāo)系 中，過坐標(biāo)原點(diǎn) 分別作函數(shù) 與函數(shù) 圖象的切線 和 ，求 ，的斜率之積；（2）若對 上，總有 成立，試求實(shí)數(shù) 的最小值.答案解析部分答案解析部分1【答案】C【解析】【解答】由題設(shè)，.故答案為：C【分析】利用并集的定義直接求解可得答案.2【答案】D【解析】【解答】由 ，則 ，則 .故答案為：D【分析】根據(jù)定義的運(yùn)算求出，分子分母同乘以(i-1)可化簡 z，從而求得答案.3【答案】B【解析】【解答】在 中，若 ，則 或 ，故不充分；在 中，若 ，則 ，故必要；故答案為：B【分析】根據(jù)充分必要條件的定義結(jié)合三角函數(shù)從而得到答案.4【

7、答案】A【解析】【解答】由題意可知，函數(shù) 是定義域 為的奇函，所以 ，所以 又當(dāng) ，當(dāng) ，所以 ，所以 .故答案為：A.【分析】由奇函數(shù)的定義和對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，解方程可求出 a 的值.5【答案】D【解析】【解答】由 可得 ，所以 ，所以 面積的取值范圍是 .故答案為：D.【分析】由平面向量數(shù)量積的定義可得，再結(jié)合三角形面積公式和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可求解出 面積的取值范圍.6【答案】B【解析】【解答】根據(jù)意義可知，每輪的傳染人數(shù)是以 1 為首項(xiàng)，3 為公比的等比數(shù)列，所以由 1 個(gè)初始感染者經(jīng)過 5 輪傳染得到感染者（包括初始感染者）的總?cè)藬?shù)是 人.故答案為：B【分析】根據(jù)題意分析可知每輪傳

8、染人數(shù)成等比數(shù)列，按照等比數(shù)列求和公式，即可求出答案.7【答案】D【解析】【解答】A.，則 ，所以 在區(qū)間 上單調(diào)遞減，故正確；B.因?yàn)?，所以 是函數(shù) 圖象的一個(gè)對稱中心，故正確；C.，則 ，則 ，所以 在 上的值域?yàn)?，故正確；D.圖象上的所有點(diǎn)向右平移 個(gè)單位后得到函數(shù) ，故錯(cuò)誤；故答案為：D【分析】直接利用三角函數(shù)的關(guān)系式的變換和余弦型函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，逐項(xiàng)進(jìn)行判斷，可得答案.8【答案】C【解析】【解答】當(dāng) ，則 ，則 ，當(dāng) ，則 ，則 ，時(shí)，遞減且值域?yàn)?；時(shí)，遞增且值域?yàn)?；只有 C 符合要求.故答案為：C【分析】根據(jù)解析式化簡，由指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷出此函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，逐項(xiàng)進(jìn)

9、行判斷，可得答案.9【答案】B,C【解析】【解答】由題設(shè)，A：顯然 ，故 不成立，錯(cuò)誤；B：顯然 ，故 成立，正確；C：由 ，又 ，則 與 的夾角為 ，正確；D：，則 ，錯(cuò)誤.故答案為：BC【分析】根據(jù)題意，求出向量，的坐標(biāo)，逐項(xiàng)進(jìn)行判斷，可得答案.10【答案】A,B【解析】【解答】因?yàn)閿?shù)列 是等差數(shù)列 所以 .對于 A：因?yàn)?，所以 ，A 對.對于 B：，B 對.對于 C：，因此 ，C 不符合題意對于 D：，當(dāng) 時(shí) 取到最大值，因?yàn)?，所以 ，D 不符合題意.故答案為：AB【分析】由 可得，即，結(jié)合，即可判斷選項(xiàng) A；利用，即可判斷選項(xiàng) B；利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與等差數(shù)列的單調(diào)性即可判斷選

10、項(xiàng) C，D.11【答案】A,B,D【解析】【解答】由 ，則 ，所以 ，故 不正確，所以 C不正確.由 ，可得 所以 ，A 符合題意.由 ，即 ，由均值不等式可得 即 ，B 符合題意.由 ，則 ，D 符合題意.故答案為：ABD【分析】先把指數(shù)式化為對數(shù)式，求出 a，b 的值，再結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和基本不等式，逐項(xiàng)進(jìn)行判斷，可得答案.12【答案】C,D【解析】【解答】由 ，則 ，解得 ，因?yàn)?對 恒成立，則 對 恒成立，所以 對 恒成立，故 對 恒成立，可得 對 恒成立，又 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào)，所以 故答案為：CD【分析】利用函數(shù)的奇偶性構(gòu)造方程組求出 g(x)與 h(x)的解析式，代入不等式整

11、理，利用基本不等式求解出實(shí)數(shù)的可能取值.13【答案】【解析】【解答】因?yàn)?所以 ，解得 ，所以 ，所以 ，因?yàn)?，所以 故答案為：【分析】由已知利用余弦二倍角公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求解出答案.14【答案】2【解析】【解答】，又圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為 ，即周期 ，故 ，函數(shù) ，故答案為：2.【分析】，結(jié)合函數(shù) f(x)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為 ，可求得值，然后可求得 的值.15【答案】（-，e）【解析】【解答】由 ，得 ，故 在 上單調(diào)遞增，且 ，當(dāng) 時(shí)，恒成立，在 上單調(diào)遞增，且 ，函數(shù)無零點(diǎn)成立，當(dāng) 時(shí)，所以令 ，故函數(shù) 在 是哪個(gè)單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增，又 且

12、函數(shù)在 無零點(diǎn)，故 ，解得 ，即 ，綜上所述，故答案為：（-，e）.【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性與最值，從而判斷函數(shù)零點(diǎn)情況，即可求出實(shí)數(shù) 的取值范圍.16【答案】199；t-1【解析】【解答】由 ，得 ，故 .故答案為：199，t-1【分析】根據(jù)遞推公式可以直接求出 L12的值，再利用遞推公式與前 n 項(xiàng)和公式求出 S2021的值.17【答案】（1）解：因?yàn)?對應(yīng)的點(diǎn) 在第四象限，所以 對應(yīng)的向量如圖所示.易得 ，所以 .所以（2）解：因?yàn)?，所以 .又 ，所以 .所以 .所以 ，【解析】【分析】(1)求出模及輻角，即可將復(fù)數(shù)的代數(shù)形式化為三角形式求解，即可得 z 三角形式；(2)利用復(fù)數(shù)

13、的運(yùn)算及三角恒等變換即可求解出 .18【答案】（1）解：依題意，可知，滿足條件的組合有兩種：，此時(shí)等差數(shù)列 的 ，所以，其通項(xiàng)公式為 .，此時(shí)等差數(shù)列 的 ，所以，其通項(xiàng)公式為（2）解：若選擇，則得 ，所以 .若 ，成等比數(shù)列，則 ，即 ，整理得，因?yàn)?，所以 ，此時(shí)，存在正整數(shù) ，滿足 ，成等比數(shù)列.若選擇，則得 ，所以 .若 ，成等比數(shù)列，則 ，即 ，整理得，解得 ，顯然，此時(shí)不存在正整數(shù) ，滿足 ，成等比數(shù)列【解析】【分析】(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)分析可得前三項(xiàng)，即可求出數(shù)列 的通項(xiàng)公式；(2)求出 Sn，根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)建立關(guān)系求解，即可求出結(jié)論.19【答案】（1）解：由 弧度，則 .如圖

14、，過 作 交 于點(diǎn) ，則 ，則 ，且定義域（2）解：由（1）知，由 ，得 且 ，當(dāng) 時(shí)，；當(dāng) 時(shí)，在 單調(diào)遞減，在 單調(diào)遞增.當(dāng) 時(shí)，有 ，此時(shí)修路所需要費(fèi)用最少.【解析】【分析】(1)求出 EF 的長度，即可得出 f()的解析式及定義域；(2)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，及 cos 的值即可.20【答案】（1）解：由已知及正弦定理得：，即 .由余弦定理得：，又 ，（2）解：.由（1）知：，在 中，則 ，.在 中，由正弦定理，得 ，.在 中，由正弦定理，得 ，.從而 ，整理得：，.【解析】【分析】(1)由正弦定理進(jìn)行角化邊之后結(jié)合余弦定理可求得 角大?。?2)由三角形內(nèi)角和結(jié)合條

15、件可得；分別在兩個(gè)三角形中由正弦定理求得 OB，建立等量關(guān)系，化簡可得，整理得：，可求得 的值.21【答案】（1）解：由 ，得 ，即 ，所以 .因?yàn)?，所以數(shù)列 是首項(xiàng)為 ，公比為 的等比數(shù)列，所以 ，即 .所以當(dāng) 時(shí)，又當(dāng) 時(shí)，滿足上式，故（2）解：當(dāng) 為奇數(shù)時(shí)，有 ，設(shè)數(shù)列 的前 項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)的和為 ，所以 當(dāng) 為偶數(shù)時(shí)，有 ，設(shè)數(shù)列 的前 項(xiàng)中的偶數(shù)項(xiàng)的和為 ，所以 ，所以 ，上述兩式相減，得所以 .故數(shù)列 的前 和【解析】【分析】(1)直接利用數(shù)列的遞推關(guān)系式和關(guān)系式的恒等變換求出數(shù)列 通項(xiàng)公式；(2)利用分組法和裂項(xiàng)相消法和乘公比錯(cuò)位相減法在數(shù)列求和中的應(yīng)用，求出數(shù)列 的前 項(xiàng)和 .2

16、2【答案】（1）解：依題意知，所以 ，.設(shè)切線 ，的斜率分別為 ，其切點(diǎn)分別為 ，則有 解得 ；同理，有 解得 .所以 ，即所求切線 ，的斜率之積為（2）解：由于對 上，總有 成立，即對 ，有 恒成立.令 （），則 .令 （），則有 （），所以函數(shù) 在區(qū)間 上為單調(diào)遞增函數(shù).因?yàn)?，所以 ，所以 ，所以在區(qū)間 上，存在唯一的實(shí)數(shù) ，使得 ，即 .所以當(dāng) 時(shí)，此時(shí)函數(shù) 單調(diào)遞減；當(dāng) 時(shí)，此時(shí)函數(shù) 單調(diào)遞增，所以函數(shù) 在 處取得極小值，即最小值，即 .又由得，所以 ，所以 .則由得，.令 ，所以 （），所以函數(shù) 在區(qū)間 上為單調(diào)遞減函數(shù).又 ，因此 .所以 .由于 ，所以 ，即所求實(shí)數(shù) 的最小值為 .【解析】【分析】(1)代入 a 的值，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出切線 ，的斜率，作積即可得 ，的斜率之積；(2)問題轉(zhuǎn)化為對 ，有 恒成立，令 （，求導(dǎo)，得出 的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出 a 的范圍，即可求得實(shí)數(shù) 的最小值.