《山東省青島市4區(qū)市2022年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)期中考試試卷解析版.docx》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《山東省青島市4區(qū)市2022年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)期中考試試卷解析版.docx（10頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)趨R文網(wǎng)上搜索。

1、 高三上學(xué)期數(shù)學(xué)期中考試試卷一、單選題1設(shè)集合 ， ，則 （） ABCD2已知 ， ， ， ，則下列不等關(guān)系正確的是() ABCD3方程 的實(shí)數(shù)根所在的區(qū)間為() ABCD4已知 ， ，則“ ”是“ 與 的夾角為鈍角”的（） A充要條件B充分不必要條件C必要不充分條件D既不充分也不必要條件5已知函數(shù) ，若關(guān)于 的方程 有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù) 的取值范圍為（） ABCD6已知 ， 是空間中兩條不同的直線， ， 是空間中兩個(gè)不同的平面，下列說(shuō)法正確的是() A若 ， ， ，則 B若 ， ，則 C若 ， ， ，則 D若 ， ，則 7已知角 的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與 軸非負(fù)半軸重合，終邊上有一點(diǎn)

2、，則 的值為（） A 或 BCD8如圖，在四棱錐 中，底面 是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)面 為等邊三角形，平面 平面 ， 為 上一點(diǎn)， 為 上一點(diǎn)，直線 平面 ，則 的面積為（） ABCD3二、多選題9已知等差數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，公差 ， ， 是 與 的等比中項(xiàng)，則下列選項(xiàng)正確的是() ABC 有最大值D當(dāng) 時(shí)， 的最大值為2110將函數(shù) 的圖象向左平移 個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù) 的圖象，則下列說(shuō)法正確的是（） AB函數(shù) 的圖象關(guān)于點(diǎn) 成中心對(duì)稱C函數(shù) 的最小正周期為 D函數(shù) 的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為 11已知 為正四棱柱，底面邊長(zhǎng)為2，高為4，則下列說(shuō)法正確的是（） A異面直線 與 所成角為 B三棱錐

3、的外接球的表面積為 C平面 平面 D點(diǎn) 到平面 的距離為 12設(shè)正實(shí)數(shù) ， 滿足 ，則（） A 有最大值2B 有最小值 C 有最小值4D 有最大值 三、填空題13已知 ， ， ，則 . 14若 ，且 ，則 . 15已知 是定義域?yàn)?的奇函數(shù)， 為偶函數(shù)，當(dāng) 時(shí)， ，若 ， ， ，則 ， ， 的大小關(guān)系是 . 16已知 是數(shù)列 的前 項(xiàng)和， ，則 ；若 ，則 . 四、解答題17如圖，某圓形海域上有四個(gè)小島，小島 與小島 相距為5nmile，小島 與小島 相距為 nmile，小島 與小島 相距為2nmile， 為鈍角，且 . （1）求小島 ， ， 圍成的三角形的面積； （2）求小島 與小島 之間的

4、距離. 18如圖，三棱柱 的所有棱長(zhǎng)都是2， 平面 ， 為 的中點(diǎn)，點(diǎn) 為 的中點(diǎn). （1）求證：直線 平面 ； （2）求直線 到平面 的距離. 19已知 為數(shù)列 的前 項(xiàng)和， ， ， ， 為數(shù)列 的前 項(xiàng)和. （1）求數(shù)列 的通項(xiàng)公式； （2）若 對(duì)所有 恒成立，求滿足條件 的最小整數(shù)值. 20在“ ； ， ， ”這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并進(jìn)行求解. 問(wèn)題：在 中， ， ， 分別是三內(nèi)角 ， ， 的對(duì)邊，已知 ， 是 邊上的點(diǎn)，且 ， ，若 ，求 的長(zhǎng)度.21四棱錐 的底面 為直角梯形， ， ， ， ，且平面 平面 ， 為 中點(diǎn). （1）求證： ； （2）若直線 與平面 所成

5、的角為 ，求平面 與平面 的夾角的余弦值. 22已知函數(shù) ， . （1）若 ，求 的最大值； （2）若 ，求證： 有且只有一個(gè)零點(diǎn)； （3）設(shè) 且 ，求證： . 答案解析部分1【答案】B【解析】【解答】因?yàn)?，則 ，即 ， 因?yàn)?，則 ，因此， .故答案為：B.【分析】根據(jù)題意由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出y的取值范圍，從而得出集合M，再由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性整理即可求出x的取值范圍，從而取出集合N，然后由補(bǔ)集和交集的定義即可得出答案。2【答案】C【解析】【解答】若 、 均為負(fù)數(shù)，因?yàn)?，則 ，A不符合題意. 若 、 ，則 ，B不符合題意.由不等式的性質(zhì)可知，因?yàn)?，所以 ，C對(duì).若 ，因?yàn)?，所以 ，

6、D不符合題意.故答案為：C.【分析】根據(jù)題意由不等式的簡(jiǎn)單性質(zhì)，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可得出答案。3【答案】A【解析】【解答】設(shè) ，則 ， ， ，所以 是方程 的實(shí)數(shù)根所在一個(gè)區(qū)間.又 在 上單調(diào)遞增，故方程 有唯一零點(diǎn). 故答案為：A.【分析】根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，再對(duì)其求導(dǎo)并把數(shù)值代入到導(dǎo)函數(shù)的解析式，由此計(jì)算出，然后由零點(diǎn)存在性定理即可得出答案。4【答案】C【解析】【解答】 與 的夾角為鈍角，則要滿足 ，即 ，解得： 且 因?yàn)?是 的真子集所以 是“ 與 的夾角為鈍角”的必要不充分條件故答案為：C【分析】由數(shù)量積的夾角公式結(jié)合已知條件即可求出，由此得出m的取值范圍，然后由集合之間的關(guān)系，結(jié)合充分和

7、必要條件的定義即可得出答案。5【答案】D【解析】【解答】函數(shù)圖象如下圖所示：關(guān)于 的方程 有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，說(shuō)明函數(shù) 和 有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，由數(shù)形結(jié)合思想可知： ，故答案為：D【分析】由已知條件結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的圖象即可得出函數(shù)f(x)的圖象，然后由數(shù)形結(jié)合法結(jié)合方程根的情況即可求出m的取值范圍。6【答案】A【解析】【解答】由 ， ，所以 ，又 ，所以 ，A對(duì). 由 ， ，則 或者 ，則B不符合題意.由 ， ，所以 ，又 ，則 或 ，C不符合題意.由 ， ，則 、 、 ，D不符合題意.故答案為：A.【分析】根據(jù)題意由空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可得

8、出答案。7【答案】B【解析】【解答】 ， ， ， ， ， ，故答案為：B 【分析】由任意角的三角函數(shù)的定義，代入數(shù)值計(jì)算出，并把數(shù)值代入到二倍角的正余弦公式，計(jì)算出結(jié)果即可。8【答案】C【解析】【解答】作 于 ，作 交 于 ，連 ， ， ， ， 面 ， 面 ， ， 面 ， ， ， 四邊形 為矩形， 且 ， 且 ， 面 ， ， 為 的中點(diǎn)， ， ，故答案為：C.【分析】由已知條件結(jié)合線面垂直的判定定理即可得出 面 ，再由線面垂直的性質(zhì)定理即可得出線線垂直，結(jié)合題意即可得出四邊形 為矩形，由矩形的幾何性質(zhì)即可得出，然后由線面垂直的性質(zhì)定理即可得出線線垂直，結(jié)合三角形中的幾何計(jì)算關(guān)系把數(shù)值代入到三角

9、形的面積公式，計(jì)算出結(jié)果即可。9【答案】B,C【解析】【解答】設(shè) ，則 ，即 ，又 是 與 的等比中項(xiàng)，所以 ，即 ，化簡(jiǎn)得 .因?yàn)?，所以 .聯(lián)立 ，解得 ， . 所以 ，A不符合題意；又 ，B對(duì)；由等差數(shù)列的前 項(xiàng)和公式可得 ，所以當(dāng) 或 時(shí) 有最大值，C對(duì)；又 ，所以當(dāng) 時(shí)， ，故 的最大值為20，D不符合題意.故答案為：BC.【分析】根據(jù)題意由等差數(shù)列的項(xiàng)的性質(zhì)和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，結(jié)合等比數(shù)列的項(xiàng)的性質(zhì)整理化簡(jiǎn)計(jì)算出首項(xiàng)與公差的值，由此判斷出選項(xiàng)A錯(cuò)誤、B正確；然后由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出的最大值，從而判斷出選項(xiàng)C正確、D錯(cuò)誤，由此即可得出答案。10【答

10、案】A,C,D【解析】【解答】對(duì)于A選項(xiàng)，將函數(shù) 的圖象向右平移 個(gè)單位， 可得到函數(shù) 的圖象，所以， ，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)， ，B不符合題意；對(duì)于C選項(xiàng)，函數(shù) 的最小正周期為 ，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng) 時(shí)， ，D對(duì).故答案為：ACD.【分析】根據(jù)題意結(jié)合函數(shù)平移的性質(zhì)即可求出，由此判斷出選項(xiàng)A正確；再由特殊點(diǎn)法代入數(shù)值計(jì)算出結(jié)果由此判斷出選項(xiàng)B錯(cuò)誤；結(jié)合正弦函數(shù)的周期公式，代入數(shù)值計(jì)算出結(jié)果，由此判斷出選項(xiàng)C正確；由正弦函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合整體思想即可求出x的取值范圍，由此得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而判斷出選項(xiàng)D正確，從而得出答案。11【答案】B,C,D【解析】【解答】解：對(duì)于A：由正四棱柱的性質(zhì)得 ，

11、所以 （或其補(bǔ)角）就是異面直線 與 所成的角，而正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為2，高為4，所以 ，在 中， ， 所以 ，A不正確；對(duì)于B：三棱錐 的外接球與正四棱柱 的外接球是同一個(gè)，且外接球的半徑為 ，所以外接球的表面積為 ，B符合題意；對(duì)于C：由正四棱柱的性質(zhì)得 ，又因?yàn)?面 ， 面 ，所以 面 ，同理證得 面 ，又 ， 面 ，所以平面 平面 ，C符合題意；對(duì)于D：設(shè)點(diǎn) 到平面 的距離為d，則 ，由A選項(xiàng)的解析得 ，又 ，所以 ，解得 ，D符合題意，故答案為：BCD【分析】由異面直線的定義結(jié)合正方體的簡(jiǎn)單性質(zhì)即可判斷出選項(xiàng)A錯(cuò)誤；根據(jù)題意即可得出由此即可三棱錐 的外接球與正四棱柱 的外接球是同一個(gè)，

12、結(jié)合已知條件即可求出球的半徑，然后把數(shù)值代入到球的表面積公式計(jì)算出結(jié)果由此判斷出選項(xiàng)B正確；由正四棱柱的性質(zhì)得線線平行，然后由線面平行和面面平行的判定定理即可得證出結(jié)論，由此判斷出選項(xiàng)C正確；由已知條件結(jié)合等體積法即可得出點(diǎn) 到平面 的距離，由此判斷出選項(xiàng)D正確，從而得出答案。12【答案】A,D【解析】【解答】對(duì)A， ，當(dāng)且僅當(dāng) 等號(hào)成立，A符合題意； 對(duì)B， ，當(dāng)且僅當(dāng) 等號(hào)成立，B不符合題意；對(duì)C， ，當(dāng)且僅當(dāng) 等號(hào)成立，C不符合題意；對(duì)D， ，即 ，當(dāng)且僅當(dāng) 等號(hào)成立，D符合題意.故答案為：AD.【分析】根據(jù)題意整理化簡(jiǎn)原式，然后由基本不等式求出代數(shù)式的最值，由此對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可得出答

13、案。13【答案】【解析】【解答】 ， ， ，故答案為： 【分析】由已知條件結(jié)合向量模的運(yùn)算性質(zhì)，即可得出答案。14【答案】72【解析】【解答】由 ，故 ， 又 ，故 ， ，即 ， ，所以 ，即 ，解得 ，故答案為：72. 【分析】由已知條件即可得出，整理化簡(jiǎn)得到，即，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算出t的取值。15【答案】acb【解析】【解答】解：由題得 ， 所以 ，所以 ，所以函數(shù)的最小正周期為4.所以 ， ， .所以acb.故答案為：acb【分析】由已知條件即可得出函數(shù)的最小正周期，結(jié)合周期的定義代入數(shù)值計(jì)算出結(jié)果，由此即可得出答案。16【答案】15-2n；218【解析】【解答】 ，則 ， 兩式作差

14、得到 ，當(dāng) 時(shí) 成立，故得到 ；當(dāng) 時(shí)， ，當(dāng) 時(shí)， 故得到： ， .故答案為： ； .【分析】根據(jù)題意由數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列前n項(xiàng)和公式之間的關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后由數(shù)列的前n項(xiàng)和的定義整理化簡(jiǎn)即可得出，代入數(shù)值計(jì)算出結(jié)果即可。17【答案】（1）解：在 中，由余弦定理得， 所以 所以 所以小島 、 、 ， 圍成的三角形的面積為 .（2）解：因?yàn)?、 、 ， 四點(diǎn)共圓，所以 與角 互補(bǔ)， 所以 ， 因?yàn)?，且 為鈍角，所以 所以 在 ，由正弦定理得： 所以 所以小島 與小島 之間的距離為5nmile.【解析】【分析】(1)由已知條件結(jié)合余弦定理代入數(shù)值即可得出的值，然后由同角三角函數(shù)的基

15、本關(guān)系式計(jì)算出，再把數(shù)值代入到三角形的面積公式計(jì)算出結(jié)果即可。 (2)根據(jù)題意由圓的幾何性質(zhì)計(jì)算出，由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式計(jì)算出的值，然后把數(shù)值代入到兩角和的正弦公式計(jì)算出的值，結(jié)合正弦定理計(jì)算出結(jié)果即可。18【答案】（1）證明：取 中點(diǎn) ，連接 交 于 ，連接 ， 在三棱柱中， 為 中點(diǎn)， ， ，點(diǎn) 為 的中點(diǎn)， 且 ， 且 ，四邊形 為平行四邊形， ，又 平面 ， 平面 ， 平面 .（2）解：由（1）得，點(diǎn) 到平面 的距離即為直線 到平面 的距離，連接 ，則 ， 平面 ， ， 平面 ， ， ， 兩兩垂直，以 為原點(diǎn)， ， ， 所在直線分別為 軸、 軸、 軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

16、，則 ， ， ， ， ，設(shè)平面 的一個(gè)法向量為 ， 即 取 ，則 ， ， ，又 ，所以點(diǎn) 到平面 的距離為 ，即直線 到平面 的距離為 .【解析】【分析】(1)根據(jù)題意作出輔助線由中點(diǎn)的性質(zhì)即可得出線線平行，由此得出四邊形 為平行四邊形，結(jié)合四邊形的幾何性質(zhì)即可得出線線平行，然后由線面平行的判定定理即可得證出結(jié)論。 (2) 由（1）得，點(diǎn) 到平面 的距離即為直線 到平面 的距離即可得出線線垂直，由此建立空間直角坐標(biāo)系求出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)以及向量和平面法向量的坐標(biāo)，再由數(shù)量積的坐標(biāo)公式即可求出平面的法向量的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)到平面的距離公式代入數(shù)值計(jì)算出結(jié)果即可。19【答案】（1）解：由題意 ， 當(dāng) 時(shí)，

17、 ，兩式相減得： ，即： ，所以 時(shí)， 為等比數(shù)列又因?yàn)?時(shí)， ，所以 ，所以，對(duì)所有 ， 是以2為首項(xiàng)，8為公比的等比數(shù)列，所以 （2）解：由題知： 所以 所以 所以滿足 恒成立的最小 值為674.【解析】【分析】(1)根據(jù)題意由數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列前n項(xiàng)和公式之間的關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，由此即可判斷出數(shù)列為等比數(shù)列，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式即可。(2)由(1)的結(jié)論即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后由裂項(xiàng)相消法計(jì)算出，整理化簡(jiǎn)得出，從而求出m的最小值。20【答案】解：若選擇條件由 ，根據(jù)正弦定理得 ，所以 ，即 ，也即 ，因?yàn)?，所以 （1）式又因?yàn)?，即 ，所以 ，又由（1）式， ，所以 ，所

18、以 ， ，所以 ， ，因?yàn)?，所以 ， ，在 中， ，所以 .若選擇條件因?yàn)?， ，且 ，所以 ，即 ，所以 ，又 ，所以 （1）式，又因?yàn)?，即 ，所以 （2）式，又 ， ，所以 ，所以 ，所以 ，也即 ，所以 ，即 ，又 ， ，所以 ，所以 ， ，所以 ， ，又 ，所以 ， ，在 中， ，所以 .【解析】【分析】 若選擇條件 ，根據(jù)題意由正弦定理和兩角和的正弦公式整理化簡(jiǎn)即可得出，由角的取值范圍即可得出，再由已知條件整理化簡(jiǎn)即可得出，由此計(jì)算出角的大小，從而點(diǎn)到邊的大小，然后由余弦定理代入數(shù)值計(jì)算出結(jié)果即可。若選擇條件 ，由向量和共線向量的坐標(biāo)公式整理化簡(jiǎn)得出，然后把結(jié)果代入到余弦定理計(jì)算

19、出角C的大小，再由已知條件結(jié)合兩角和的正弦公式計(jì)算出，由此得出，由角的取值范圍結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求出角的大小，再把結(jié)果代入到余弦公式計(jì)算出結(jié)果即可。21【答案】（1）證明：取 中點(diǎn) ，連接 ， ， 因?yàn)?， 為 中點(diǎn)所以 因?yàn)槠矫?平面 所以 平面 平面 所以 因?yàn)?，所以 ， ，所以四邊形 為平行四邊形，所以 所以 因?yàn)?，所以 平面 所以 （2）解：連結(jié) ，可得四邊形 為平行四邊形， ， 所以四邊形 為正方形，所以 ， 所以 因?yàn)槠矫?平面 ，所以 平面 所以 即為 與平面 所成角，所以 ，所以 ，所以 為等邊三角形，所以 以 為原點(diǎn)，分別以 ， ， 所在直線為正方向建立空間直角坐標(biāo)

20、系如圖，可得 ， ， ， ， 為平面 的法向量， 又因?yàn)?， ，設(shè)平面 的法向量為 ，則 ，所以 ，令 ，解得： ， ，所以 所以平面 與平面 所成角的余弦值 所以平面 與平面 所成角的余弦值為 【解析】【分析】(1)根據(jù)題意作出輔助線，由中點(diǎn)的性質(zhì)即可得出線線平行，再由面面垂直的性質(zhì)定理即可得出線面垂直，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)定理和線面垂直的判定定理即可得證出結(jié)論。(2)由已知條件即可得出線線垂直和線線相等，由此即可得出 四邊形 為正方形結(jié)合正方形的幾何性質(zhì)即可得出線線垂直，再由面面垂直的性質(zhì)定理即可得出線面垂直，然后由線面角的定義由由已知條件即可得出 即為 與平面 所成角 ，結(jié)合三角形中的幾何

21、計(jì)算關(guān)系代入數(shù)值計(jì)算出邊的大小，建立空間直角坐標(biāo)系求出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)以及向量和平面法向量的坐標(biāo)，再由數(shù)量積的坐標(biāo)公式即可求出平面的法向量的坐標(biāo)，同理即可求出平面的法向量；結(jié)合空間數(shù)量積的運(yùn)算公式代入數(shù)值即可求出夾角的余弦值，由此得到平面 與平面 所成角的余弦值 。22【答案】（1）解：由題知：若 ， ，其定義域?yàn)?， 所以 ，由 ，得 ，所以當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， ，所以 在 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減，所以 （2）證明：由題知： ， 由（1）知， 在 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減，因?yàn)?，當(dāng) 時(shí)， ，則 在 無(wú)零點(diǎn)，當(dāng) 時(shí)， ，又因?yàn)?且 ，所以 在 上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，所以， 有且只有一個(gè)零點(diǎn).

22、（3）證明：因?yàn)?等價(jià)于 ， 由（1）知：若 ， ，且 在 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減，且 ，所以 ， ，即 ，令 ， ，所以 ， ， ，所以 在 上單調(diào)遞增， ，所以 ， ，又因?yàn)?且 ，所以 ，又因?yàn)?， ，且 在 上單調(diào)遞減，所以 ，即 .【解析】【分析】(1)由a的取值即可得出函數(shù)的解析式，然后對(duì)其求導(dǎo)結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)即可得出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可求出函數(shù)的最值。(2)由(1)的結(jié)論結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及零點(diǎn)的定義，對(duì)x分情況討論，即可求出函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。(3)由已知條件即可得出，然后由(1)的結(jié)論結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可得出再令，對(duì)其求導(dǎo)結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)即可得出函數(shù)的單調(diào)性，由函數(shù)的單調(diào)性整理得出，求解出從而得出答案。