《2018年高考數(shù)學一輪復習第七章立體幾何課時達標45立體幾何中的向量方法(二)_求空間角和距離理.doc-匯文網(wǎng)》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2018年高考數(shù)學一輪復習第七章立體幾何課時達標45立體幾何中的向量方法(二)_求空間角和距離理.doc-匯文網(wǎng)（8頁珍藏版）》請在匯文網(wǎng)上搜索。

1、2018年高考數(shù)學一輪復習 第七章 立體幾何 課時達標45 立體幾何中的向量方法(二)求空間角和距離 理解密考綱空間角涉及異面直線所成的角、直線與平面所成的角以及二面角，距離主要是點到直線的距離或點到平面的距離，這些知識有時在選擇題或填空題中考查，有時在解答題立體幾何部分的第(2)問或第(3)問考查，難度適中一、選擇題1已知三棱錐SABC中，SA，SB，SC兩兩互相垂直，底面ABC上一點P到三個面SAB，SAC，SBC的距離分別為，1，則PS的長度為(D)A9B CD3解析：由條件可分別以SA，SB，SC為x軸、y軸，z軸建立空間直角坐標系Sxyz，則點S的坐標為(0,0,0)，點P的坐標為(

2、，1，)，由兩點之間的距離公式可得PS3.2在直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，則異面直線BA1與AC1所成的角等于(C)A30B45C60D90解析：不妨設ABACAA11，建立空間直角坐標系如圖所示，則B(0，1,0)，A1(0,0,1)，A(0,0,0)，C1(1,0,1)，所以(0,1,1)，(1,0,1)，所以cos，所以，60，所以異面直線BA1與AC1所成的角等于60.3在正方體ABCDA1B1C1D1中，點E為BB1的中點，則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為(B)ABCD解析：以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz，設棱長為1

3、，則A1(0,0,1)，E，D(0,1,0)，所以(0,1，1)，.設平面A1ED的一個法向量為n1(1，y，z)，則所以所以n1(1,2,2)因為平面ABCD的一個法向量為n2(0,0,1)，所以cosn1，n2，即所成的銳二面角的余弦值為.4若直線l的方向向量為a(1,0,2)，平面的法向量為u(2,0，4)，則(B)AlBlClDl與斜交解析：u2a，ua，則l.5已知三棱柱ABCA1B1C1的側棱與底面垂直，體積為，底面是邊長為的正三角形若P為底面A1B1C1的中心，則PA與平面ABC所成角的大小為(B)ABCD解析：如圖所示，由棱柱的體積為，底面正三角形的邊長為，可求得棱柱的高為.設

4、P在平面ABC上射影為O，則可求得AO長為1，故AP的長為2.故PAO，即PA與平面ABC所成的角為.6已知三棱錐SABC中，底面ABC是邊長等于2的等邊三角形，SA底面ABC，SA3，那么直線AB與平面SBC所成角的正弦值為(D)ABCD解析：如圖所示，過點A作ADBC于點D，連接SD；作AGSD于點G，連接GB.SA底面ABC，ABC為等邊三角形，BCSA，BCAD.BC平面SAD.又AG平面SAD，AGBC又AGSD，AG平面SBCABG即為直線AB與平面SBC所成的角AB2，SA3，AD，SD2.在RtSAD中，AG，sinABG.二、填空題7(2016云南檢測)在正三棱柱ABCA1B

5、1C1中，AB1，點D在棱BB1上，若BD1，則AD與平面AA1C1C所成角的正切值為.解析：如圖，設AD與平面AA1C1C所成的角為，E為AC的中點，連接BE，則BEAC，所以BE平面AA1C1C，可得()1cos (為與的夾角)，所以cos sin ，所以所求角的正切值為tan .8如圖所示，在空間直角坐標系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，則直線BC1與直線AB1夾角的余弦值為.解析：不妨令CB1，則CACC12，可得O(0,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，A(2,0,0)，B1(0,2,1)，所以(0,2，1)，(2,2,1)，所以cos，0.所以與的夾

6、角即為直線BC1與直線AB1的夾角，所以直線BC1與直線AB1夾角的余弦值為.9正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)分別為BB1，CD的中點，則點F到平面A1D1E的距離為.解析：以A為坐標原點，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示則A1(0,0,1)，E，F(xiàn)，D1(0,1,1)，(0,1,0)設平面A1D1E的一個法向量為n(x，y，z)，則即令z2，則x1.n(1,0,2)又，點F到平面A1D1E的距離為d.三、解答題10如圖，直三棱柱ABCA1B1C1的各條棱長均為a，D是側棱CC1的中點(1)求證：平面AB1D平面ABB1A1；(2)

7、求異面直線AB1與BC所成角的余弦值；(3)求平面AB1D與平面ABC所成二面角(銳角)的大小解析：(1)證明：取AB1的中點E，AB的中點F，連接DE，EF，CF.E，F(xiàn)分別是AB1，AB的中點，EFBB1，且EFBB1.三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，D是CC1的中點，CDEF，且CDEF，四邊形CDEF為平行四邊形，DECF.ABC是正三角形，CFAB.三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，BB1CF，而BB1ABB，CF平面ABB1A1.DECF，DE平面ABB1A1.DE平面AB1D，平面AB1D平面ABB1A1.(2)建立如圖所示的空間直角坐標系，則A，C(0，a,0)，D，B1

8、(0,0，a)，B(0,0,0)，(0，a,0)，設異面直線AB1與BC所成角為，則cos ，故異面直線AB1與BC所成角的余弦值為.(3)由(2)得，.設n(1，y，z)為平面AB1D的一個法向量由得即n.顯然平面ABC的一個法向量為m(0,0,1)則cosm，n，故m，n.即所求二面角的大小為.11如圖，在三棱錐PABQ中，PB平面ABQ，BABPBQ，D，C，E，F(xiàn)分別是AQ，BQ，AP，BP的中點，AQ2BD，PD與EQ交于點G，PC與FQ交于點H，連接GH.(1)求證：ABGH；(2)求平面PAB與平面PCD所成角的正弦值解析：(1)證明：連接EF.D，C，E，F(xiàn)分別是AQ，BQ，A

9、P，BP的中點，EFAB，DCAB，EFDC又DC平面PCD，EF平面PCD，又EF平面EFQ，且平面EFQ平面PCDGH，EFGH.又EFAB，ABGH.(2)在ABQ中，AQ2BD，ADDQ，ABQ90，即ABBQ.又PB平面ABQ，BA，BQ，BP兩兩垂直以B為坐標原點，分別以BA，BQ，BP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設BABQBP2，則B(0,0,0)，A(2,0,0)，Q(0,2,0)，D(1,1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,2)，(1，1,2)，(0，1,2)設平面PCD的法向量為n(x，y，z)，由得取z1，得n(0,2,1)又(0,2,0

10、)為平面PAB的一個法向量，cosn，平面PAB與平面PCD所成角的正弦值為.12如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，E為CD的中點(1)求證：B1EAD1.(2)在棱AA1上是否存在一點P，使得DP平面B1AE？若存在，求AP的長；若不存在，說明理由(3)若二面角AB1EA1的大小為30，求AB的長解析：(1)證明：如圖，以點A為原點建立空間直角坐標系，設ABa，則A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E，B1(a,0,1)，(0,1,1)，(a,0,1)，011(1)10，故B1EAD1.(2)假設在棱AA1上存在一點P(0,0，t)，使得DP平面B1AE，則(0，1，t)設平面B1AE的一個法向量為n(x，y，z)，則有即取x1，可得n.要使DP平面B1AE，只要n，at0，解得t.又DP平面B1AE，存在點P使DP平面B1AE，此時AP.(3)連接A1D，B1C，由AA1AD1，得A1DAD1.B1CA1D，AD1B1C由(1)知B1EAD1，而B1CB1EB1，AD1平面DCB1A1，即是平面A1B1E的一個法向量(0,1,1)，cos，n.二面角AB1EA1的大小是30，a2，即AB2.