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1、（浙江專用）2018版高考數(shù)學大一輪復習 第五章 平面向量、復數(shù) 5.2 平面向量基本定理及坐標表示教師用書1平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量a，有且只有一對實數(shù)1、2，使a1e12e2.其中，不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底2平面向量的坐標運算(1)向量加法、減法、數(shù)乘及向量的模設a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐標的求法若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(x2

2、x1，y2y1)，|.3平面向量共線的坐標表示設a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0.a、b共線x1y2x2y10.【知識拓展】1若a與b不共線，ab0，則0.2設a(x1，y1)，b(x2，y2)，如果x20，y20，則ab.【思考辨析】判斷下列結論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)平面內的任何兩個向量都可以作為一組基底()(2)若a，b不共線，且1a1b2a2b，則12，12.()(3)平面向量的基底不唯一，只要基底確定后，平面內的任何一個向量都可被這組基底唯一表示()(4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件可表示成.()(5)當向量的起點在坐標原點時，向

3、量的坐標就是向量終點的坐標()1設e1，e2是平面內一組基底，那么()A若實數(shù)1，2使1e12e20，則120B空間內任一向量a可以表示為a1e12e2(1，2為實數(shù))C對實數(shù)1，2，1e12e2不一定在該平面內D對平面內任一向量a，使a1e12e2的實數(shù)1，2有無數(shù)對答案A2(2015課標全國)已知點A(0,1)，B(3,2)，向量(4，3)，則向量等于()A(7，4) B(7,4)C(1,4) D(1,4)答案A解析(3,1)，(4，3)，(4，3)(3,1)(7，4)3(2016寧波期末)已知向量a(2,3)，b(1,2)，若manb與a2b共線，則_.答案解析由已知條件可得manb(2

4、m,3m)(n,2n)(2mn,3m2n)，a2b(2,3)(2,4)(4，1)manb與a2b共線，即n2m12m8n，.4(教材改編)已知ABCD的頂點A(1，2)，B(3，1)，C(5,6)，則頂點D的坐標為_答案(1,5)解析設D(x，y)，則由，得(4,1)(5x,6y)，即解得題型一平面向量基本定理的應用例1(1)在平行四邊形ABCD中，e1，e2，則_.(用e1，e2表示)(2) 如圖，在ABC中，BO為邊AC上的中線，2，設，若(R)，則的值為()A. B.C. D2答案(1)e1e2(2)C解析(1)如圖，2()e2(e2e1)e1e2.(2)因為2，所以.又，可設m，所以(

5、1).因為，所以，1.思維升華平面向量基本定理應用的實質和一般思路(1)應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算(2)用向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決在梯形ABCD中，ABCD，AB2CD，M，N分別為CD，BC的中點，若，則等于()A. B. C. D.答案D解析因為()22，所以，所以.題型二平面向量的坐標運算例2(1)已知a(5，2)，b(4，3)，若a2b3c0，則c等于()A. B.C. D.(2)(2016麗江模擬)已知向量a(1，2)，b(m,4)

6、，且ab，則2ab等于()A(4,0) B(0,4)C(4，8) D(4,8)答案(1)D(2)C解析(1)由已知3ca2b(5,2)(8，6)(13，4)所以c.(2)因為向量a(1，2)，b(m,4)，且ab，所以142m0，即m2，所以2ab2(1，2)(2,4)(4，8)思維升華向量的坐標運算主要是利用加、減、數(shù)乘運算法則進行計算若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求出向量的坐標，解題過程中要注意方程思想的運用及正確使用運算法則(1)(2016北京東城區(qū)模擬)向量a，b，c在正方形網格中的位置如圖所示，若cab(，R)，則_.(2)已知四邊形ABCD的三個頂點A(0,2)，B(1，2)，

7、C(3，1)，且2，則頂點D的坐標為()A(2，) B(2，)C(3,2) D(1,3)答案(1)4(2)A解析(1)以向量a和b的交點為原點建立如圖所示的平面直角坐標系(設每個小正方形邊長為1)，則A(1，1)，B(6,2)，C(5，1)，a(1,1)，b(6,2)，c(1，3)cab，(1，3)(1,1)(6,2)，即解得2，4.(2)設D(x，y)，(x，y2)，(4,3)，又2，故選A.題型三平面向量坐標的應用命題點1利用向量共線求向量或點的坐標例3已知點A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，則AC與OB的交點P的坐標為_答案(3,3)解析方法一由O，P，B三點共線，可設(4，4)

8、，則(44,4)又(2,6)，由與共線，得(44)64(2)0，解得，所以(3,3)，所以點P的坐標為(3,3)方法二設點P(x，y)，則(x，y)，因為(4,4)，且與共線，所以，即xy.又(x4，y)，(2,6)，且與共線，所以(x4)6y(2)0，解得xy3，所以點P的坐標為(3,3)命題點2利用向量共線求參數(shù)例4(1)(2016臺州模擬)已知向量a(1sin ，1)，b(，1sin )，若ab，則銳角_.(2)設(2,4)，(a,2)，(b,0)，a0，b0，O為坐標原點，若A，B，C三點共線，則的最小值為_答案(1)45(2)解析(1)由ab，得(1sin )(1sin )，所以co

9、s2，cos 或cos ，又為銳角，45.(2)由已知得(a2，2)，(b2，4)，又，所以(a2，2)(b2，4)，即整理得2ab2，所以(2ab)()(3)(32 )(當且僅當ba時，等號成立)思維升華平面向量共線的坐標表示問題的常見類型及解題策略(1)利用兩向量共線求參數(shù)如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時，利用“若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件是x1y2x2y1”解題比較方便(2)利用兩向量共線的條件求向量坐標一般地，在求與一個已知向量a共線的向量時，可設所求向量為a(R)，然后結合其他條件列出關于的方程，求出的值后代入a即可得到所求的向量命題點3利用平面向量的

10、坐標求最值例5(2016浙大附中模擬)在平行四邊形ABCD中，BAD，AB1，AD，P為平行四邊形內一點，AP，若(，R)，則的最大值為_答案1解析以點A為原點建立如圖所示的直角坐標系，則A(0,0)，B(1,0)，D(，)，所以(1,0)，(，)設，的夾角為(0)，則P(cos ，sin )，所以(cos ，sin )，則由題意有(cos ，sin )(1,0)(，)，所以所以所以sin cos sin sin cos sin()因為0，所以，所以sin()的最大值為1，即的最大值為1.(1)已知梯形ABCD，其中ABCD，且DC2AB，三個頂點A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，則點

11、D的坐標為_(2)(2016溫州二模) 如圖，矩形ABCD中，AB3，AD4，M，N分別為線段BC，CD上的點，且滿足1，若xy，則xy的最小值為_答案(1)(2,4)(2)解析(1)在梯形ABCD中，ABCD，DC2AB，2.設點D的坐標為(x，y)，則(4,2)(x，y)(4x,2y)，(2,1)(1,2)(1，1)，(4x,2y)2(1，1)，即(4x,2y)(2，2)，解得故點D的坐標為(2,4)(2)設CNn，CMm，則1，設sin ，cos (0，)因為xyx()y()x()y()xy(1)x(1)y，又，所以所以所以xy1111，其中(cos ，sin )，所以(xy)min1.

12、10解析法(坐標法)在向量中的應用典例(14分)給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為.如圖所示，點C在以O為圓心的上運動若xy，其中x，yR，求xy的最大值思想方法指導建立平面直角坐標系，將向量坐標化，將向量問題轉化為函數(shù)問題更加凸顯向量的代數(shù)特征規(guī)范解答解以O為坐標原點，所在的直線為x軸建立平面直角坐標系，如圖所示，則A(1,0)，B(，)6分設AOC(0，)，則C(cos ，sin )，由xy，得所以xcos sin ，ysin ，10分所以xycos sin 2sin()，12分又0，所以當時，xy取得最大值2.14分1(2016寧波六校二模)在平行四邊形ABCD中，a，b，2，則

13、等于()Aba BbaCba Dba答案C解析因為，2，所以ba，故選C.2已知點M(5，6)和向量a(1，2)，若3a，則點N的坐標為()A(2,0) B(3,6)C(6,2) D(2,0)答案A解析設N(x，y)，則(x5，y6)(3,6)，x2，y0.3已知向量a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)若為實數(shù)，(ab)c，則等于()A. B. C1 D2答案B解析ab(1，2)，c(3,4)，且(ab)c，故選B.4(2016余姚一模)已知平行四邊形ABCD中，(3,7)，(2,3)，對角線AC與BD交于點O，則的坐標為()A(，5) B(，5)C(，5) D(，5)答案D解析(2,3)

14、(3,7)(1,10)，(，5)，(，5)5在ABC中，點D在BC邊上，且2，rs，則rs等于()A. B. C3 D0答案D解析因為2，所以()，則rs0，故選D.6已知|1，|，0，點C在AOB內，且與的夾角為30，設mn(m，nR)，則的值為()A2 B.C3 D4答案C解析0，以OA為x軸，OB為y軸建立直角坐標系(圖略)，(1,0)，(0，)，mn(m，n)tan 30，m3n，即3，故選C.7在ABCD中，AC為一條對角線，(2,4)，(1,3)，則向量的坐標為_答案(3，5)解析，(1，1)，(3，5)8設0，向量a(sin 2，cos )，b(cos ，1)，若ab，則tan

15、_.答案解析ab，sin 21cos20，2sin cos cos20，0，cos 0，2sin cos ，tan .9在平行四邊形ABCD中，E和F分別是CD和BC的中點若，其中，R，則_.答案解析選擇，作為平面向量的一組基底，則，又()()，于是得解得所以.*10.如圖所示，A，B，C是圓O上的三點，線段CO的延長線與BA的延長線交于圓O外的一點D，若mn，則mn的取值范圍是_答案(1,0)解析由題意得，k(k0)，又|k|1，1k0.又B，A，D三點共線，(1)，mnkk(1)，mk，nk(1)，mnk，從而mn(1,0)11(2016紹興期末)正ABC的邊長為1，向量xy，且x0，y1

16、，xy，則動點P所形成的平面區(qū)域的面積為_答案解析如圖所示，(x，y)|xy，x0，y1表示的區(qū)域為平行四邊形ABDC，因為當xy1時，xy，此時點P在BC上運動；當xy時，xy，此時點P在B1C1上運動，且B1，C1分別為AB，AC的中點，當xy時，xy，此時點P在B2C2上運動，且AB2AC2，所以(x，y)|xy表示平行四邊形ABDC中夾在B1C1和B2C2之間的部分，其面積為3.12已知A(1,1)，B(3，1)，C(a，b)(1)若A，B，C三點共線，求a，b的關系式；(2)若2，求點C的坐標解(1)由已知得(2，2)，(a1，b1)，A，B，C三點共線，.2(b1)2(a1)0，即ab2.(2)2，(a1，b1)2(2，2)解得點C的坐標為(5，3)*13. 如圖所示，G是OAB的重心，P，Q分別是邊OA、OB上的動點，且P，G，Q三點共線(1)設，將用，表示；(2)設x，y，證明：是定值(1)解()(1).(2)證明一方面，由(1)，得(1)(1)xy；另一方面，G是OAB的重心，().由得3(1)33(定值)