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1、第三章,平面問題的直角坐標解答,3.1 逆解法和半逆解法 多項式解答,在常體力情況下，按應(yīng)力求解平面問題，可歸納為求解一個應(yīng)力函數(shù)，它必須滿足1.在區(qū)域內(nèi)的相容方程2.在邊界上的應(yīng)力邊界條件(假設(shè)全部為應(yīng)力邊界條件)3.在多連體中，還須滿足位移單值條件。,(在s上),求出應(yīng)力函數(shù) 后，便可求出應(yīng)力分量.,然后再求應(yīng)變分量和位移分量。,由于相容方程 是四階偏微分方程，它的通解不能寫成有限項數(shù)的形式，一般不能直接求解問題。只能采取逆解法和半逆解法。,(1)先設(shè)定滿足 的應(yīng)力函數(shù)；,(2)根據(jù) 求出應(yīng)力分量；,(3)在給定的邊界形狀下，根據(jù)應(yīng)力邊界條件，由應(yīng)力反推出相應(yīng)的面力，即,反過來得知所選取的

2、應(yīng)力函數(shù)可以解決的問題。（可解決的正是上述面力對應(yīng)的問題）,一.逆解法,下面用逆解法求解幾個簡單問題的解答。假定體力可忽略不計( fx = fy = 0 )，應(yīng)力函數(shù)取為多項式。,1.取應(yīng)力函數(shù)為一次式 = a + bx + cy,應(yīng)力函數(shù) 滿足相容方程,由 得應(yīng)力分量,不論彈性體為何形狀，也不論坐標軸如何選擇，由應(yīng)力邊界條件 總是得出,一次式 = a + bx + cy對應(yīng)無體力，無面力，無應(yīng)力的狀態(tài)。把應(yīng)力函數(shù)加上一個線性函數(shù)，不影響應(yīng)力。,2.取應(yīng)力函數(shù)為二次式 = ax2 + bxy + cy2,應(yīng)力函數(shù) 滿足相容方程,現(xiàn)分別考察每一項所能解決的問題。,對應(yīng) = ax2，應(yīng)力分量是,如

3、圖矩形板和坐標軸，當板內(nèi)應(yīng)力為x = 0, y = 2a, xy=yx = 0, 由應(yīng)力邊界條件可知，左右兩邊沒有面力，上下兩邊有均布面力2a。,可見，應(yīng)力函數(shù) = ax2 能解決矩形板在 y 方向受均布力的問題。,如圖矩形板和坐標軸，當板內(nèi)應(yīng)力為x = 0, y = 0, xy=yx =b, 由應(yīng)力邊界條件可知，左右上下兩邊分別有與面相切的面力 b。,可見，應(yīng)力函數(shù) = bxy 能解決矩形板受均布剪力的問題。,對應(yīng) = bxy，應(yīng)力分量是,對應(yīng) = cy2，應(yīng)力分量是,應(yīng)力函數(shù) = cy2 能解決矩形板在 x方向受均布 力的問題。, = ax2 + bxy + cy2 表示常量的正應(yīng)力和切應(yīng)

4、力。,4.如果取應(yīng)力函數(shù)為四次或四次以上的多項式，則其中的系數(shù)必須滿足一定的條件。,應(yīng)力函數(shù) 滿足相容方程,對應(yīng) = ay3，應(yīng)力分量是,對于圖示矩形板和坐標軸當 時， 上下兩邊沒有面力；左右兩邊沒有 y 方向面力，只有按直線變化的的水平面力，而每一邊的水平面力合成為一個力偶。,可見，應(yīng)力函數(shù) = ay3 能解決矩形梁純彎曲問題。,3.取應(yīng)力函數(shù)為三次式 = ay3,逆解法沒有針對具體問題進行求解, 而是找出滿足相容方程的應(yīng)力函數(shù), 來考察它們能解決什么問題。這種方法可以積累彈性力學(xué)的基本解答。,二. 半逆解法,半逆解法是針對實際問題來求解的，半逆解法的具體步驟如下：,1. 根據(jù)彈性受力情況和

5、邊界條件等，假設(shè)部分或全部應(yīng)力分量的函數(shù)形式；,2. 根據(jù) 由應(yīng)力推出應(yīng)力函數(shù) 的形式；,3.將 代入相容方程，求出 的具體表達式；,4. 將 代入 求出對應(yīng)的應(yīng)力分量。,5. 將應(yīng)力代入邊界條件,在s上,考察它們是否滿足全部邊界條件(對于多連體，還須滿足位移單值條。如果所有的條件均能滿足，上述解答就是正確的解答。否則，就要修改假設(shè)，重新進行求解。,思考題：逆解法與半逆解法有何區(qū)別？,3.2 矩形梁的純彎曲,（d）,滿足。 （c）,的邊界條件無法精確滿足。,式（d）的第一式是自然滿足的,當 時，即使 在邊界上面力不同于 的分布，其誤差僅影響梁的兩端部分上的應(yīng)力。,結(jié)論,如果區(qū)域內(nèi)的平衡微分方程

6、已經(jīng)滿足，且除了最后一個小邊界外，其余的應(yīng)力邊界條件也都分別滿足，則我們可以推論出，最后一個小邊界上的三個積分的應(yīng)力邊界條件（即主矢量，主矩的條件）必然是滿足的，因此可以不必進行校核。,3-3 位移分量的求出,矩形梁純彎曲時的應(yīng)力分量：,如何求位移分量？,平面應(yīng)力問題物理方程：,平面問題幾何方程：,移項得：,積分,積分,代入位移函數(shù)得：,純彎曲問題的討論：,鉛直線段的轉(zhuǎn)角：,同一橫截面上的各鉛直線段的轉(zhuǎn)角相同,說明橫截面保持平面。,純彎曲問題的討論：,梁的各縱向纖維曲率：,由小變形假設(shè)知：,如果梁是簡支梁，則在鉸支座O處沒有水平位移和鉛直位移，在連桿支座A處沒有鉛直位移，因此約束條件是,M o

7、 x A M y,代入,得,和材料力學(xué)中的結(jié)果相同 。,梁軸的撓度方程是,M o x M y 如果梁是懸臂梁，左端自由右端固定，則在梁的右端。對于y的任何值，都要求 在多項式解答中，這個條件無法滿足，工程實際上，也沒有完全固定的約束條件。,現(xiàn)在，和材料力學(xué)中一樣，假定右端截面的中點不移動，該點的水平線段不轉(zhuǎn)動。這樣，約束條件是 代入式中，得出下列三個方程來決定,求解之后，得,代入式中，得出該懸臂梁的位移分量,梁軸的撓度方程是 也和材料力學(xué)的解答相同。 對于平面應(yīng)變情況下的梁，需在以上形變公式和位移公式中，把 換為 ，把 換為 。例如，梁的縱向纖維的曲率公式,應(yīng)該變換為,此問題用半逆解法，步驟如

8、下：,1. 假設(shè)應(yīng)力分量的函數(shù)形式,由材料力學(xué)知：彎應(yīng)力x 主要是由彎矩 M 引起的，切應(yīng)力xy 主要是由剪力Fs引起的，擠壓應(yīng)力y 主要是由直接載荷 q 引起的。,因q不隨x變，因而可以假設(shè)y不隨 x 變，也就是假設(shè) y 只是 y 的函數(shù)：y = f (y),3.4 簡支梁受均布載荷,3. 由相容方程求解應(yīng)力函數(shù),將 y = f (y) 代入,對 x 積分，得,其中 f (y), f1(y), f2(y) 都是待定的 y 的函數(shù)。,2. 推求應(yīng)力函數(shù)的形式,將 代入 得,有,這是 x 的二次方程，但相容方程要求它有無數(shù)多的根(全梁的 x 都應(yīng)該滿足它), 可見它的系數(shù)和自由項都必須等于零，即

9、,前兩個方程要求,這里 f1(y) 的常數(shù)項被略去，這是因為這一項在 的表達式中成為 x 的一次項，不影響應(yīng)力分量。,第三個方程要求,即,其中的一次項和常數(shù)項都被略去，因為它們不影響應(yīng)力分量。,得應(yīng)力函數(shù),4. 由應(yīng)力函數(shù)求應(yīng)力分量,將 代入,將,代入,注意到y(tǒng)z面是梁和載荷的對稱面, 所以, 應(yīng)力分布應(yīng)對稱于yz面。這樣, x, y應(yīng)該是 x 的偶函數(shù), 而 xy 應(yīng)該是 x 的奇函數(shù)。,E = F = G = 0,于是，有,5. 考察邊界條件（確定待定系數(shù)),通常梁的跨度遠大于梁的深度，梁的上下兩個邊界是主要邊界。在主要邊界上應(yīng)力邊界條件必須完全滿足；次要邊界上如果邊界條件不能完全滿足，可

10、引用圣維南原理用三個積分條件來代替。,先來考慮上下兩個主要邊界條件：,將y, xy代入主要邊界條件，得,聯(lián)立求解，得,將上述結(jié)果代入右邊三式，得,現(xiàn)在考慮左右兩邊的次要邊界條件；,由于問題的對稱性，只需考慮其中一邊，如右邊。邊界條件：當 x=l 時，h/2 y h/2, x=0,這是不可能滿足的，除非 q=H=K=0,應(yīng)用圣維南原理，用三個積分條件代替邊界條件。,將右邊sx, txy 代入上式,由前兩式得：,第三式自然滿足。,代入并整理，得,各應(yīng)力沿y方向分布,6. 比較彈性力學(xué)和材料力學(xué)關(guān)于簡支梁受均布載荷的解答,取梁寬 d=1 時，I = h3/12, S = h2/8 y2/2,代入右式

11、：,長度遠大于深度( lh )的長梁，應(yīng)力各項的數(shù)量級：,擠壓應(yīng)力y 的第一項與 q 同階大小,為更次要應(yīng)力。材料力學(xué)中不考慮。,彎應(yīng)力x 的第一 項與 同階大小,為主要應(yīng)力。與材料力學(xué)解答相同。第二項是材料力學(xué)沒有的，是修正項，但只是 q 級。,切應(yīng)力xy 與 同階大小, 為次要應(yīng)力。與材料力學(xué)解答完全相同。,因此, 對于長梁( 長度 ：深度 4 ), 材料力學(xué)的解答雖是近似的, 但已足夠精確, 符合工程上的要求。,7. 彈性力學(xué)和材料力學(xué)解法上的區(qū)別,彈性力學(xué)的解法：嚴格滿足區(qū)域內(nèi)的平衡微分方程，幾何方程和物體方程，以及邊界上的全部邊界條件(小邊界上盡管應(yīng)用了圣維南原理，應(yīng)力邊界條件是近似

12、滿足的，但只影響小邊界附近的局部區(qū)域)。,由此可見，彈性力學(xué)與材料力學(xué)解答的區(qū)別，只反映在最小的q量級上，而 , ,量級的值完全相同。,材料力學(xué)的解方法: 在許多方面都作了近似處理，只能得到近似解答。,例如，在幾何條件中，材料力學(xué)引用了平面截面假設(shè)，由此導(dǎo)出位移，形變和應(yīng)力沿橫向均為線性分布；在平衡條件中，材料力學(xué)考慮的是有限大部分的物體( h dx b)的平衡條件，而不是微分體的平衡條件；材料力學(xué)中忽略了sy 的影響，并且在主要邊界上沒有嚴格考慮邊界條件。這些都使得材料力學(xué)的解答成為近似解答。,一般地說，材料料力學(xué)的解法只適用于解決桿狀結(jié)構(gòu)的問題，對于非桿狀結(jié)構(gòu)的問題只能用彈性力學(xué)的解法來求

13、解。,設(shè)有楔形體, 左面鉛直, 右邊與鉛直方向成角, 下端無限長, 受到重力和液體壓力, 楔形體密度為1,液體密度為2 , 試求應(yīng)力分量。,解：采用半逆解法,1.應(yīng)用量綱分析方法假設(shè)應(yīng)力分量的函數(shù)形式,(1)在楔形體的任意一點，每個應(yīng)力分量都由兩部分組成：一部分由重力引起，與1g 成正比，第二部分由液體壓力引起，與2g成正比。,3.5 楔形體受重力和液體壓力,因應(yīng)力與1g 和2g 成正比，而應(yīng)力量綱（L-1MT-2) 只比1g和2g量綱(L-2MT-2)高一次冪的長度量綱，因此，應(yīng)力只能是1g和2g與x,y 的一次式相乘, A1gx,B2gx, C1gy, D2gy的組合,A,B,C,D 是量

14、剛一的量，只與 有關(guān)，應(yīng)力只能是x,y的純一次式。,(2)由應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量的關(guān)系式可知，應(yīng)力函數(shù)比應(yīng)力分量的長度量綱高二次, 應(yīng)是x,y的純?nèi)问健Ｒ虼耍僭O(shè),2.此應(yīng)力函數(shù) 自然滿足相容方程,3.將此應(yīng)力函數(shù) 代入,fx = 0, fy = 1g,(1) x=0 時，應(yīng)力邊界條件：,4.考察邊界條件,將右式代入邊界條件，得：,解出 d ,c, 得,代入右式，得,(2)右面是斜邊界，它的邊界線方程是,斜面上無面力,右面斜邊界應(yīng)力邊界條件：,將右式代入邊界條件，得：,由圖可見,將上式代入式(a), 解得,將上式代入右式，得李維解答：,各應(yīng)力分量沿 x 軸的變化:,各應(yīng)力分量沿 x 軸的變化:,x沿 x 軸沒有變化, 此結(jié)果不能由材料力學(xué)公式求得。,y沿 x 軸按直線變化, 在左面和右面它分別是：,與材料力學(xué)中偏心受壓公式算得得結(jié)果相同。,xy沿 x 軸也按直線變化, 在左面和右面它分別是：,與等截面梁的切應(yīng)力變化規(guī)律不同。,以上所得解答，一向被當作是三角形重力壩中應(yīng)力的基本解答，但必須注意以下三點： （1）嚴格來說，這不是一個平面問題，但如果此壩分縫，可看成平面應(yīng)力問題。 （2）這里假定楔形體在下端是無限長，可以自由地變形。 （3）壩頂總有一定的寬度，而不會是一個頂尖。 重力壩的精確應(yīng)力分析目前大都采用有限元法。,Thanks,