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1、3.3空間向量運算的坐標表示學(xué)習目標1.了解空間向量坐標的概念，會確定一些簡單幾何體的頂點坐標.2.掌握空間向量的坐標運算.3.會判斷兩向量平行或垂直.4.掌握空間向量的模、夾角公式和兩點間的距離公式知識點一空間向量的坐標運算空間向量a，b，其坐標形式為a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3).向量運算向量表示坐標表示加法abab(a1b1，a2b2，a3b3)減法abab(a1b1，a2b2，a3b3)數(shù)乘aa(a1，a2，a3)數(shù)量積ababa1b1a2b2a3b3知識點二空間向量的平行、垂直及模、夾角設(shè)a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，則名稱滿足條件向量表示形式坐標表

2、示形式abab(R)a1b1，a2b2，a3b3(R)abab0aba1b1a2b2a3b30模|a|a|夾角cosa，b(a0，b0)cosa，b1在空間直角坐標系中，向量的坐標與終點B的坐標相同()2設(shè)a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)且b0，則ab.()3四邊形ABCD是平行四邊形，則向量與的坐標相同()4設(shè)A(0,1，1)，O為坐標原點，則(0,1，1)()類型一空間向量坐標的計算例1(1)已知向量a(4，2，4)，b(6，3,2)，則(2a3b)(a2b)_.(2)已知ab(2，2)，ab(0，0)，則cosa，b等于()A.B.C.D.考點空間向量運算的坐標表示題點空間

3、向量的坐標運算答案(1)244(2)C解析(1)(2a3b)(a2b)2a23ab4ab6b226222672244.(2)由已知得a(1，)，b(1,0，)，故cosa，b.反思與感悟關(guān)于空間向量坐標運算的兩類問題(1)直接計算問題首先將空間向量用坐標表示出來，然后準確運用空間向量坐標運算公式計算(2)由條件求向量或點的坐標首先把向量坐標形式設(shè)出來，然后通過建立方程組，解方程組求出其坐標跟蹤訓(xùn)練1若向量a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)，且滿足條件(ca)2b2，則x_.考點空間向量運算的坐標表示題點空間向量的坐標運算答案2解析據(jù)題意，有ca(0,0,1x)，2b(2,4,

4、2)，故(ca)2b2(1x)2，解得x2.類型二空間向量平行、垂直的坐標表示例2已知空間三點A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)，設(shè)a，b.(1)若|c|3，c.求c；(2)若kab與ka2b互相垂直，求k.考點空間向量運算的坐標表示題點空間向量的坐標運算解(1)因為(2，1,2)，且c，所以設(shè)c(2，2)，得|c|3|3，解得1.即c(2，1,2)或c(2,1，2)(2)因為a(1,1,0)，b(1,0,2)，所以kab(k1，k,2)，ka2b(k2，k，4)又因為(kab)(ka2b)，所以(kab)(ka2b)0.即(k1，k,2)(k2，k，4)2k2k100.解得

5、k2或k.引申探究若將本例(2)中改為“若kab與ka2b互相垂直”，求k的值解由題意知kab(k1，k，2)，ka2b(k2，k,4)，(kab)(ka2b)，(kab)(ka2b)0，即(k1)(k2)k280，解得k2或k，故所求k的值為2或.反思與感悟(1)平行與垂直的判斷應(yīng)用向量的方法判定兩直線平行，只需判斷兩直線的方向向量是否共線判斷兩直線是否垂直，關(guān)鍵是判斷兩直線的方向向量是否垂直，即判斷兩向量的數(shù)量積是否為0.(2)平行與垂直的應(yīng)用適當引入?yún)?shù)(比如向量a，b平行，可設(shè)ab)，建立關(guān)于參數(shù)的方程選擇坐標形式，以達到簡化運算的目的跟蹤訓(xùn)練2在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是

6、棱D1D的中點，P，Q分別為線段B1D1，BD上的點，且3，若PQAE，求的值考點空間向量運算的坐標表示題點空間向量的坐標運算解如圖所示，以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系Dxyz，設(shè)正方體棱長為1，則A(1,0,0)，E，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，由題意，可設(shè)點P的坐標為(a，a,1)，因為3，所以3(a1，a1,0)(a，a，0)，所以3a3a，解得a，所以點P的坐標為.由題意可設(shè)點Q的坐標為(b，b,0)，因為PQAE，所以0，所以0，即0，解得b，所以點Q的坐標為.因為，所以(1，1,0)，所以1，故4.

7、類型三空間向量的夾角與長度的計算例3在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是DD1，BD，BB1的中點(1)求證：EFCF；(2)求異面直線EF與CG所成角的余弦值；(3)求CE的長考點空間向量運算的坐標表示題點空間向量在立體幾何中的應(yīng)用(1)證明以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz，則D(0,0,0)，E，C(0,1,0)，F(xiàn)，G.所以，.因為00，所以，即EFCF.(2)解因為10，|，|，所以cos，.又因為異面直線所成角的范圍是(0，90，所以異面直線EF與CG所成角的余弦值為.(3)解|CE|.反

8、思與感悟通過分析幾何體的結(jié)構(gòu)特征，建立適當?shù)淖鴺讼担贡M可能多的點落在坐標軸上，以便寫點的坐標時便捷建立坐標系后，寫出相關(guān)點的坐標，然后再寫出相應(yīng)向量的坐標表示，把向量坐標化，然后再利用向量的坐標運算求解夾角和距離問題跟蹤訓(xùn)練3如圖，在直三棱柱(側(cè)棱垂直于底面的棱柱)ABCA1B1C1中，CACB1，BCA90，棱AA12，N為A1A的中點(1)求BN的長；(2)求A1B與B1C所成角的余弦值考點空間向量運算的坐標表示題點空間向量在立體幾何中的應(yīng)用解如圖，以C為坐標原點，CA，CB，CC1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系Cxyz.(1)依題意得B(0,1,0)，N(1,0,1

9、)，|，線段BN的長為.(2)依題意得A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，(1,1，2)，(0，1，2)，(1)01(1)(2)(2)3.又|，|，cos，.又異面直線所成角為銳角或直角，故A1B與B1C所成角的余弦值為.1已知M(5，1,2)，A(4,2，1)，O為坐標原點，若，則點B的坐標應(yīng)為()A(1,3，3) B(9,1,1)C(1，3,3) D(9，1，1)考點空間向量運算的坐標表示題點空間向量的坐標運算答案B解析，(9,1,1)2若ABC的三個頂點坐標分別為A(1，2,1)，B(4,2,3)，C(6，1,4)，則ABC的形狀是()A銳角三角形B直角三角形C鈍角

10、三角形D等邊三角形考點空間向量運算的坐標表示題點空間向量的坐標運算答案A解析(3,4,2)，(5,1,3)，(2，3,1)由0，得A為銳角；由0，得C為銳角；由0，得B為銳角所以ABC為銳角三角形3已知a(2，3,1)，則下列向量中與a平行的是()A(1,1,1) B(4,6，2) C(2，3,5) D(2，3,5)考點空間向量運算的坐標表示題點空間向量的坐標運算答案B解析若b(4,6，2)，則b2(2，3,1)2a，所以ab.4已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，且kab與2ab互相垂直，則k的值是()A1B.C.D.考點空間向量運算的坐標表示題點空間向量的坐標運算答案D解析依題意得

11、(kab)(2ab)0，所以2k|a|2kab2ab|b|20，而|a|22，|b|25，ab1，所以4kk250，解得k.5已知A(2，5,1)，B(2，2,4)，C(1，4,1)，則向量與的夾角為_考點空間向量運算的坐標表示題點空間向量的坐標運算答案解析(0,3,3)，(1,1,0)，|3，|，0(1)31303，cos，又，0，.1在空間直角坐標系中，已知點A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則(x2x1，y2y1，z2z1)一個向量在空間直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點坐標減去它的起點坐標2兩點間的距離公式：若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)

12、，則|AB|.3空間向量的數(shù)量積和夾角有關(guān)，經(jīng)常以空間向量數(shù)量積為工具，解決立體幾何中與夾角相關(guān)的問題，把空間兩條直線所成的角問題轉(zhuǎn)化為兩條直線對應(yīng)向量的夾角問題，但要注意空間兩條直線所成的角與對應(yīng)向量的夾角的取值范圍一、選擇題1已知a(1，2,1)，ab(1,2，1)，則b等于()A(2，4,2) B(2,4，2)C(2,0，2) D(2,1，3)考點空間向量運算的坐標表示題點空間向量的坐標運算答案B2已知直線l的方向向量為a，平面內(nèi)兩共點向量，下列關(guān)系中能表示l的是()AaBakCapD以上均不能考點空間向量運算的坐標表示題點空間向量的坐標運算答案D3已知a(1,5，2)，b(m,2，m2

13、)，若ab，則m的值為()A0B6C6D6考點空間向量運算的坐標表示題點空間向量的坐標運算答案B解析ab，1m522(m2)0，解得m6.4已知a(1,0,1)，b(2，1,1)，c(3,1,0)，則|ab2c|等于()A3B2C.D5考點空間向量運算的坐標表示題點空間向量的坐標運算答案A解析ab2c(9,3,0)，|ab2c|3.5已知向量a(3，2,1)，b(2,4,0)，則4a2b等于()A(16,0,4) B(8，16,4) C(8,16,4) D(8,0,4)考點空間向量運算的坐標表示題點空間向量的坐標運算答案D解析4a2b4(3，2,1)2(2,4,0)(12，8,4)(4,8,0

14、)(8,0,4)6已知向量a(2x,1,3)，b(1，2y,9)，若a與b為共線向量，則()Ax1，y1Bx，yCx，yDx，y考點空間向量運算的坐標表示題點空間向量的坐標運算答案C解析a(2x,1,3)與b(1，2y,9)共線，(y0)，x，y.7若A(m1，n1,3)，B(2m，n，m2n)，C(m3，n3,9)三點共線，則mn的值為()A0B1C1D2考點空間向量運算的坐標表示題點空間向量的坐標運算答案A解析因為(m1,1，m2n3)，(2，2,6)，由題意得，所以，所以m0，n0，所以mn0.二、填空題8已知a(2，3,0)，b(k,0,3)，a，b120，則k_.考點空間向量運算的坐

15、標表示題點空間向量的坐標運算答案解析ab2k，|a|，|b|，且k0，cos120，k.9已知向量a(1,2,3)，b(x，x2y2，y)，并且a，b同向，則xy的值為_考點空間向量運算的坐標表示題點空間向量的坐標運算答案4解析由題意知ab，所以，即把代入得x2x20，即(x2)(x1)0，解得x2或x1.當x2時，y6；當x1時，y3.當時，b(2，4，6)2a，向量a，b反向，不符合題意，所以舍去當時，b(1,2,3)a，a與b同向，所以此時xy4.10已知A(1，1,2)，B(5，6,2)，C(1,3，1)，則在上的投影為_考點空間向量運算的坐標表示題點空間向量的坐標運算答案4解析(5，

16、6,2)(1，1,2)(4，5,0)，(1,3，1)(1，1,2)(0,4，3)，在方向上的投影為4.11已知向量a(5,3,1)，b，若a與b的夾角為鈍角，則實數(shù)t的取值范圍為_考點空間向量運算的坐標表示題點空間向量的坐標運算答案解析由已知得ab5(2)3t13t，因為a與b的夾角為鈍角，所以ab0，即3t0，所以t.若a與b的夾角為180，則存在0，使ab(0)，即(5,3,1)，所以所以t，故t的取值范圍是.三、解答題12如圖，在四棱錐PABCD中，底面是邊長為2的菱形，DAB60，對角線AC與BD相交于點O，PO平面ABCD，PB與平面ABCD所成角為60.(1)求四棱錐PABCD的體

17、積；(2)若E是PB的中點，求異面直線DE與PA所成角的余弦值考點空間向量運算的坐標表示題點空間向量的坐標運算解(1)四邊形ABCD是邊長為2的菱形，且DAB60，OAOC，BOOD1，S菱形ABCD222.在RtPOB中，PBO60，POOBtan60.VPABCDS菱形ABCDPO22.(2)如圖，以O(shè)為坐標原點，OB，OC，OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系Oxyz，則B(1,0,0)，C(0，0)，D(1,0,0)，A(0，0)，P(0,0，)E，.00()，|，|.cos，.異面直線所成的角為銳角或直角，異面直線DE與PA所成角的余弦值為.13已知a(1,5，1)，

18、b(2,3,5)(1)當(ab)(a3b)時，求實數(shù)的值；(2)當(a3b)(ab)時，求實數(shù)的值考點空間向量運算的坐標表示題點空間向量的坐標運算解a(1,5，1)，b(2,3,5)，a3b(1,5，1)3(2,3,5)(1,5，1)(6,9,15)(7，4，16)，ab(1,5，1)(2,3,5)(，5，)(2,3,5)(2,53，5)(1)(ab)(a3b)，解得.(2)(a3b)(ab)，(7，4，16)(2,53，5)0，即7(2)4(53)16(5)0，解得.四、探究與拓展14已知三角形的頂點是A(1，1,1)，B(2,1，1)，C(1，1，2)則這個三角形的面積為_考點空間向量運算

19、的坐標表示題點空間向量的坐標運算答案解析由題意得(1,2，2)，(2,0，3)，|3，|，(1,2，2)(2,0，3)264，cos Acos，sin A，SABC|sin A.15已知a，b，c為正數(shù)，且abc1，求證：4.考點空間向量運算的坐標表示題點空間向量的坐標運算證明設(shè)m(，)，n(1,1,1)，則|m|4，|n|，由題意知mn|m|n|，即4.當且僅當，即abc時，取“”號予少家漢東，漢東僻陋無學(xué)者，吾家又貧無藏書。州南有大姓李氏者，其于堯輔頗好學(xué)。予為兒童時，多游其家，見有弊筐貯故書在壁間，發(fā)而視之，得唐昌黎先生文集六卷，脫落顛倒無次序，因乞李氏以歸。讀之，見其言深厚而雄博，然予猶少，未能悉究其義徒見其浩然無涯，若可愛。 是時天下學(xué)者楊、劉之作，號為時文，能者取科第，擅名聲，以夸榮當世，未嘗有道韓文者。予亦方舉進士，以禮部詩賦為事。年十有七試于州，為有司所黜。因取所藏韓氏之文復(fù)閱之，則喟然嘆曰：學(xué)者當至于是而止爾！因怪時人之不道，而顧己亦未暇學(xué)，徒時時獨念于予心，以謂方從進士干祿以養(yǎng)親，茍得祿矣，當盡力于斯文，以償其素志。