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1、北師大版高中數(shù)學選修2-1第二章空間向量與立體幾何扶風縣法門高中姚連省第一課時 平面向量知識復習一、教學目標：復習平面向量的基礎知識，為學習空間向量作準備二、教學重點：平面向量的基礎知識。 教學難點：運用向量知識解決具體問題三、教學方法：探究歸納，講練結合四、教學過程（一）、基本概念 向量、向量的模、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量、相反向量、向量的加法、向量的減法、實數(shù)與向量的積、向量的坐標表示、向量的夾角、向量的數(shù)量積。（二）、基本運算 1、向量的運算及其性質運算類型幾何方法坐標方法運算性質向量的加法1平行四邊形法則2三角形法則向量的減法三角形法則向量的乘法1是一個向量,滿足

2、:20時,與同向;0時,與異向;=0時, =0向量的數(shù)量積是一個數(shù)1或時, =02且時, 2、平面向量基本定理：如果是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量，有且只有一對實數(shù)，使 ； 注意,的幾何意義3、兩個向量平行的充要條件： 的充要條件是： ；（向量表示） 若，則的充要條件是： ；（坐標表示） 4、兩個非零向量垂直的充要條件： 的充要條件是： ；（向量表示） 若，則的充要條件是： ；（坐標表示） （三）、課堂練習1O為平面上的定點，A、B、C是平面上不共線的三點，若( -)(+2)=0，則DABC是（）A以AB為底邊的等腰三角形 B以BC為底邊的等腰三角形C以AB為斜邊的

3、直角三角形 D以BC為斜邊的直角三角形2P是ABC所在平面上一點，若，則P是ABC的（）A外心 B內心 C重心 D垂心3在四邊形ABCD中，且0，則四邊形ABCD是（ ）A 矩形 B 菱形 C直角梯形 D等腰梯形4已知，、的夾角為，則以，為鄰邊的平行四邊形的一條對角線長為（）A B C D5O是平面上一定點,A,B,C是平面上不共線的三個點,動點P滿足，則P的軌跡一定通過ABC的( ) A外心 B內心 C重心 D垂心（四）、作業(yè)布置1設平面向量=(2，1)，=(，-1)，若與的夾角為鈍角，則的取值范圍是（ ）A B C D2若上的投影為 。3向量，且A，B，C三點共線，則k 4在直角坐標系xo

4、y中，已知點A(0,1)和點B(-3,4)，若點C在AOB的平分線上且|=2,則= 5在中，O為中線AM上一個動點，若AM=2，則的最小值是_。（五）、教后反思：第二課時 空間向量及其運算（一）一、教學目標：1、知識目標：空間向量；相等的向量；空間向量的加減與數(shù)乘運算及運算律；2、能力目標：（1）理解空間向量的概念，掌握其表示方法；（2）會用圖形說明空間向量加法、減法、數(shù)乘向量及它們的運算律；（3）能用空間向量的運算意義及運算律解決簡單的立體幾何中的問題3、德育目標：學會用發(fā)展的眼光看問題，認識到事物都是在不斷的發(fā)展、進化的，會用聯(lián)系的觀點看待事物二、教學重點：空間向量的加減與數(shù)乘運算及運算律

5、教學難點：應用向量解決立體幾何問題三、教學方法：討論式四、教學過程（）、復習引入師在必修四第二章平面向量中，我們學習了有關平面向量的一些知識，什么叫做向量？向量是怎樣表示的呢？生既有大小又有方向的量叫向量向量的表示方法有：用有向線段表示；用字母a、b等表示；用有向線段的起點與終點字母：師數(shù)學上所說的向量是自由向量，也就是說在保持向量的方向、大小的前提下可以將向量進行平移，由此我們可以得出向量相等的概念，請同學們回憶一下生長度相等且方向相同的向量叫相等向量.師學習了向量的有關概念以后，我們學習了向量的加減以及數(shù)乘向量運算：向量的加法：向量的減法：實數(shù)與向量的積：實數(shù)與向量a的積是一個向量，記作a

6、，其長度和方向規(guī)定如下：(1)|a|a|；(2)當0時，a與a同向；當0時，a與a反向； 當0時，a0.師關于向量的以上幾種運算，請同學們回憶一下，有哪些運算律呢？生向量加法和數(shù)乘向量滿足以下運算律：加法交換律：abba；加法結合律：(ab)ca（bc）；數(shù)乘分配律：(ab)ab師今天我們將在必修四第二章平面向量的基礎上，類比地引入空間向量的概念、表示方法、相同或向等關系、空間向量的加法、減法、數(shù)乘以及這三種運算的運算率，并進行一些簡單的應用請同學們閱讀課本P26P27（）新課探究：師如同平面向量的概念，我們把空間中具有大小和方向的量叫做向量例如空間的一個平移就是一個向量那么我們怎樣表示空間向

7、量呢？相等的向量又是怎樣表示的呢？生與平面向量一樣，空間向量也用有向線段表示，并且同向且等長的有向線段表示同一向量或相等的向量師由以上知識可知，向量在空間中是可以平移的空間任意兩個向量都可以用同一平面內的兩條有向線段表示因此我們說空間任意兩個向量是共面的師空間向量的加法、減法、數(shù)乘向量各是怎樣定義的呢？生空間向量的加法、減法、數(shù)乘向量的定義與平面向量的運算一樣：=a+b，（指向被減向量），a 師空間向量的加法與數(shù)乘向量有哪些運算律呢？請大家驗證這些運算律生空間向量加法與數(shù)乘向量有如下運算律：加法交換律：a + b = b + a；加法結合律：(a + b) + c =a + (b + c)；（

8、課件驗證）數(shù)乘分配律：(a + b) =a +b師空間向量加法的運算律要注意以下幾點：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量即：因此，求空間若干向量之和時，可通過平移使它們轉化為首尾相接的向量首尾相接的若干向量若構成一個封閉圖形，則它們的和為零向量即：兩個向量相加的平行四邊形法則在空間仍然成立因此，求始點相同的兩個向量之和時，可以考慮用平行四邊形法則例已知平行六面體（如圖），化簡下列向量表達式，并標出化簡結果的向量：說明：平行四邊形ABCD平移向量 a 到ABCD的軌跡所形成的幾何體，叫做平行六面體記作ABCDABCD平行六面體的六個面都是平行四邊形，每個面的邊叫

9、做平行六面體的棱解：（見課本P27）說明：由第2小題可知，始點相同且不在同一個平面內的三個向量之和，等于以這三個向量為棱的平行六面體的以公共始點為始點的對角線所表示的向量，這是平面向量加法的平行四邊形法則向空間的推廣（）、課堂練習：課本P27練習（）、課時小結：平面向量僅限于研究平面圖形在它所在的平面內的平移，而空間向量研究的是空間的平移，它們的共同點都是指“將圖形上所有點沿相同的方向移動相同的長度”，空間的平移包含平面的平移關于向量算式的化簡，要注意解題格式、步驟和方法（）、課后作業(yè)：課本習題2-1A組中 3、4；B組中1預習課本P92P96，預習提綱： 怎樣的向量叫做共線向量？兩個向量共線

10、的充要條件是什么？空間中點在直線上的充要條件是什么？什么叫做空間直線的向量參數(shù)表示式？怎樣的向量叫做共面向量？向量p與不共線向量a、b共面的充要條件是什么？空間一點P在平面MAB內的充要條件是什么？五、教后反思：第三課時 空間向量及其運算（二）一、教學目標：1理解共線向量定理和共面向量定理及它們的推論；2掌握空間直線、空間平面的向量參數(shù)方程和線段中點的向量公式二、教學重、難點：共線、共面定理及其應用三、教學方法：探究歸納，講練結合四、教學過程（一）復習：1空間向量的概念及表示；2、加減與數(shù)乘向量及運算律。（二）新課探析1共線（平行）向量：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這

11、些向量叫做共線向量或平行向量。讀作：平行于，記作：2共線向量定理：對空間任意兩個向量的充要條件是存在實數(shù)，使（唯一）推論：如果為經(jīng)過已知點，且平行于已知向量的直線，那么對任一點，點在直線上的充要條件是存在實數(shù)，滿足等式，其中向量叫做直線的方向向量。在上取，則式可化為或當時，點是線段的中點，此時和都叫空間直線的向量參數(shù)方程，是線段的中點公式3向量與平面平行：已知平面和向量，作，如果直線平行于或在內，那么我們說向量平行于平面，記作：通常我們把平行于同一平面的向量，叫做共面向量說明：空間任意的兩向量都是共面的4共面向量定理：如果兩個向量不共線，與向量共面的充要條件是存在實數(shù)使推論：空間一點位于平面內

12、的充分必要條件是存在有序實數(shù)對，使或對空間任一點，有上面式叫做平面的向量表達式（三）例題分析：例1已知三點不共線，對平面外任一點，滿足條件，試判斷：點與是否一定共面？解：由題意：，即，所以，點與共面說明：在用共面向量定理及其推論的充要條件進行向量共面判斷的時候，首先要選擇恰當?shù)某湟獥l件形式，然后對照形式將已知條件進行轉化運算【練習】：對空間任一點和不共線的三點，問滿足向量式 （其中）的四點是否共面？解：，點與點共面例2已知，從平面外一點引向量，（1）求證：四點共面；（2）平面平面解：（1）四邊形是平行四邊形，共面；（2），又， 所以，平面平面（四）、課堂練習：課本第31頁練習第2、3、4題（五

13、）、課堂小結：1共線向量定理和共面向量定理及其推論；2空間直線、平面的向量參數(shù)方程和線段中點向量公式（六）、作業(yè)1已知兩個非零向量不共線，如果，求證：共面2已知，若，求實數(shù)的值。3如圖，分別為正方體的棱的中點，求證：（1）四點共面；（2）平面平面4已知分別是空間四邊形邊的中點，（1）用向量法證明：四點共面；（2）用向量法證明：平面五、教后反思：第四課時 空間向量及其線性運算一、教學目標：1運用類比方法，經(jīng)歷向量及其運算由平面向空間推廣的過程；2了解空間向量的概念，掌握空間向量的線性運算及其性質；3理解空間向量共線的充要條件 二、教學重點：空間向量的概念、空間向量的線性運算及其性質； 教學難點：

14、空間向量的線性運算及其性質。三、教學方法：探究歸納，講練結合F1F2F3四、教學過程（一）、創(chuàng)設情景1、平面向量的概念及其運算法則；2、物體的受力情況分析（二）、探究新課1空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量注：空間的一個平移就是一個向量向量一般用有向線段表示同向等長的有向線段表示同一或相等的向量空間的兩個向量可用同一平面內的兩條有向線段來表示2空間向量的運算定義：與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘向量運算如下（如圖）運算律：加法交換律：加法結合律：數(shù)乘分配律：3平行六面體：平行四邊形ABCD平移向量到的軌跡所形成的幾何體，叫做平行六面體，并記作：ABCD，它的

15、六個面都是平行四邊形，每個面的邊叫做平行六面體的棱。4共線向量與平面向量一樣，如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量平行于記作當我們說向量、共線（或/）時，表示、的有向線段所在的直線可能是同一直線，也可能是平行直線5共線向量定理及其推論：共線向量定理：空間任意兩個向量、（），/的充要條件是存在實數(shù)，使.aBAOlP推論：如果為經(jīng)過已知點A且平行于已知非零向量的直線，那么對于任意一點O，點P在直線上的充要條件是存在實數(shù)t滿足等式 其中向量叫做直線的方向向量.（三）、知識運用1、例1 如圖，在三棱柱中，M是的中點，化簡下列各式，并在圖中標出化簡得到的向

16、量：（1）;ABCA1B1C1（2）;（3）解：（1）（2）（3）2、如圖，在長方體中，點E,F分別是的中點，設,試用向量表示和OA/CFED/B/ADB解：3、如圖，在空間四邊形中，分別是與的中點，求證：證明： 4、已知，把向量用向量表示解:， 5、如圖，在平行六面體中，設，分別是中點，（1）用向量表示； （2）化簡：；解: （1）（四）、課堂練習： 已知空間四邊形，連結，設分別是的中點，化簡下列各表達式，并標出化簡結果向量：（1）； （2）； （3）（四）、回顧總結：空間向量的相關的概念及空間向量的表示方法；平行六面體的概念；向量加法、減法和數(shù)乘運算 （五）、布置作業(yè)：課本習題2-2 A組

17、中2、3、4 B組題五、教后反思：第五課時 共面向量定理一、教學目標：1了解共面向量的含義，理解共面向量定理；2利用共面向量定理證明有關線面平行和點共面的簡單問題；二、教學重點：共面向量的含義，理解共面向量定理；教學難點：利用共面向量定理證明有關線面平行和點共面的簡單問題三、教學方法：探究討論法四、教學過程（一）、創(chuàng)設情景ABCDMN1、關于空間向量線性運算的理解BMNADC平面向量加法的三角形法則可以推廣到空間向量，只要圖形封閉，其中的一個向量即可以用其它向量線性表示。 從平面幾何到立體幾何，類比是常用的推理方法。（二）、探究新課1、 共面向量的定義一般地，能平移到同一個平面內的向量叫共面向

18、量；理解：若為不共線且同在平面內，則與共面的意義是在內或2、共面向量的判定平面向量中，向量與非零向量共線的充要條件是，類比到空間向量，即有 共面向量定理 如果兩個向量不共線，那么向量與向量共面的充要條件是存在有序實數(shù)組，使得這就是說，向量可以由不共線的兩個向量線性表示。（三）、知識運用ABCDEFNM1，例1 如圖，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，點M,N分別在對角線BD,AE上，且.求證：MN/平面CDE證明：= 又與不共線根據(jù)共面向量定理，可知共面。由于MN不在平面CDE中，所以MN/平面CDE.2、例2 設空間任意一點O和不共線的三點A、B、C，若點P滿足向量關系（其中x

19、+y+z=1）試問：P、A、B、C四點是否共面？解：由 可以得到 由A,B,C三點不共線，可知與不共線，所以,共面且具有公共起點A.從而P,A,B,C四點共面。 解題總結：推論：空間一點P位于平面MAB內的充要條件是存在有序實數(shù)對x，y使得：，或對空間任意一點O有：。（四）、課堂練習（1）已知非零向量不共線，如果，求證：A、B、C、D共面。（2）已知平行四邊形ABCD，從平面AC外一點O引向量，。求證：（1）四點E、F、G、H共面；（2）平面AC/平面EG。（3）課本練習（五）、回顧總結1、共面向量定理； 2、類比方法的運用。（六）、布置作業(yè)：練習冊P45中3、4、6、7五、教后反思：第六課時

20、 空間向量的基本定理一、教學目標：1知識目標：掌握空間向量基底的概念；了解空間向量的基本定理及其推論；了解空間向量基本定理的證明。2能力目標：理解空間任一向量可用空間三個不共面向量唯一線性表示，會在平行六面體、四面體為背景的幾何體中選用空間三個不共面向量作基底，表示其它向量。會作空間任一向量的分解圖。類比平面向量的基本定理學習空間向量基本定理，培養(yǎng)學生類比、聯(lián)想、維數(shù)轉換的思想方法和空間想象能力。3情感目標：創(chuàng)設適當?shù)膯栴}情境，從生活中的常見現(xiàn)象引入課題，開始就引起學生極大的學習興趣，讓學生容易切入課題，培養(yǎng)學生用數(shù)學的意識，體現(xiàn)新課程改革的理念之一，加強數(shù)學與生活實踐的聯(lián)系。二、教學難點：空

21、間向量的分解作圖，用不同的基底表示空間任一向量。靈活運用空間向量基本定理證明空間直線的平行、共面問題。教學重點： 運用空間向量基本定理表示空間任一向量，并能根據(jù)表達式判斷向量與基底的關系。三、教學方法：在多媒體和實物模型的環(huán)境下，學生分組自主與合作學習相結合，老師引導、參與學生活動和討論的民主式的教學。四、教學過程（一）、引入：對比平面向量的基本定理，生活實際需要向三維空間發(fā)展（播放美伊戰(zhàn)爭畫面，地面的坦克如何瞄準空中的飛機畫面），推廣到空間向量的基本定理。用向量來描述：若空間三個向量不共面，那么空間的任一向量都可以用這三個向量表示。我們研究一下怎么表示。（提示學生思考平面的任一向量怎么用平面

22、向量的基底表示）學生：、是平面內兩個不共線的向量，則該平面內的任一向量都可以表示為=1+2，其中1、2是一對唯一的實數(shù)。（二）、推廣:請學生猜測推廣到空間向量的基本定理如何？學生：空間向量的基本定理：如果空間三個向量、不共面，則空間的任一向量都可表示為x+y+z。師：若猜想正確，則給出證明，若猜想不正確，先給出定理，再證明。老師板演證明：設空間三個不共面的向量=，=，=，=是空間任一向量，過P作PDOC交平面OAB于D，則=+，由空間兩直線平行的充要條件知= z，由平面向量的基本定理知向量與、共面，則= x+y，所以，存在x,y,z使得= x+y+ z。這樣的實數(shù)x,y,z是否唯一呢？用反證法

23、證明：若另有不同于x,y,z的實數(shù)x1,y1,z1滿足= x1+y1+ z1，則x+y+ z= x1+y1+ z1，即(xx1) +(yy1) +(zz1) =又、不共面，則xx1=0，yy1=0，zz1=0，所以x,y,z是唯一的實數(shù)。這樣，就把平面向量的基本定理推廣到空間向量的基本定理。老師介紹相關概念：其中、叫做空間向量的一個基底，、都叫做基向量。師：對于空間向量的基底、的理解，要明確：空間任意不共面的三個向量都可以作為向量的基底，基底不唯一；三個向量不共面，隱含它們都是非零向量；基底是一個集合，一個向量組，一個向量不能構成基底，基向量是基底中的某一向量。通常選擇共點不共面的三個向量作為

24、空間向量的基底。若、是空間向量的一個基底，則由這三個基向量還能生成其它的基底嗎？引導學生舉例說明，結果不唯一，通過思考培養(yǎng)學生的發(fā)散思維。如: +、+、+；2+3、4、等構成向量的基底。能否由原來的基向量生成新的基底，取決于生成的新向量是否共面，即其中的一個向量能否用另兩個向量線性表示，請同學隨便說一組向量，大家判斷這組向量能否構成向量的基底。通過老師的引導，不僅讓學生理解空間向量的基本定理，還要讓學生學會把平面向量的知識遷移到空間向量來，用發(fā)展、聯(lián)系的觀點看以前在平面向量中成立的結論，空間向量比平面向量發(fā)展了什么，保留了什么，滲透辨證法的思想。特別地，當x=0,則與、共面；若y=0，則與、共

25、面；若z=0，則與、共面。當x=0, y=0時，與共線；當x=0, z=0時，與共線；當y=0, z=0時，與共線.說明每一次維數(shù)增加了，高維數(shù)的定理不但發(fā)展了低維數(shù)的定理，并包含了低維數(shù)的結論，使得原來的定理仍適用，這種發(fā)展是繼承的發(fā)展，是合理的發(fā)展。這不僅體現(xiàn)在平面向空間的遷移，也體現(xiàn)在數(shù)學中其它知識的遷移（如數(shù)系的發(fā)展）。（三）、類比：對比平面向量中成立的結論推廣到空間是什么相應的結論：平面向量中成立的結論空間向量中成立的結論(學生回答)向量與非零向量共線存在唯一實數(shù)使得=向量與非零向量共線存在唯一實數(shù)使得=（用來證明空間向量共線或直線平行）同一平面的任意兩個向量都共面向量、是空間不共線

26、的兩個向量，則向量與向量、共面存在唯一實數(shù)x,y使得= x+y（用來證明空間向量共面）若=，=，則+=，是平行四邊形的對角線AOCB若=，=，=，則+是平行六面體的體對角線向量、不共線，則P在AB上存在實數(shù)、使得=+且+=1OPBA（用來證明三點共線）向量、不共線，則P在平面ABC內存在實數(shù)、使得=+且+=1OPBCA（用來證明四點共面）（四）、例題：例1、在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，= ，=，=，P是CA1的中點，M是CD1的中點，N是C1D1的中點，點Q在CA1上，且CQ：QA1=4：1，用基底、表示以下向量：ABCDA1B1C1D1PMNQO（1），（2），（3）分析：所求的

27、向量與基底都共點，符合平行四邊形法則的特征，盡量將所求向量作為平行四邊形的對角線。解：（1）由P是CA1的中點，得=（+）=（+）=（+）（2）=+=+=（+）+=+法2：=+=+=+（3）=+=+=+（+）=+=(+)+例2、在例1中，設O是AC的中點，判斷AQ和OC1所在直線的位置關系。解：由例1得：=(+)+，=+=+=（+）+則和與（+）和共面，又，則AQ和OC1所在直線不能平行，只能相交。追問：要使AQ和OC1所在直線平行，則O應在AC的什么位置？分析：要使AQ和OC1所在直線平行，則=(+)+又=+，設=（+）則(+)+=（+）+，即+=+，由、不共面即空間向量基本定理的唯一性知：，所以，OC=AC 學生可能不一定用剛學過的不熟悉的向量法去做，而是用平面幾何的方法，根據(jù)平行線分線段成比例定理，也應加以肯定，讓學生自己從中體會向量幾何與平面幾何風格的不同，更深地了解向量幾何側重定量研究，即將空間任一向量放在空間坐標系中，用向量的基底表示，再進行運算，思路簡捷，不需要很強的演繹推理。A1AQCCC1OR請學生板演平面幾何證法：易證AA1QCC1R，則CR=A1Q=CQ，又，所以=