《高中數(shù)學第二章平面向量2.2平面向量的線性運算2.2.3向量數(shù)乘運算及其幾何意義互動課堂學案.doc-匯文網(wǎng)》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學第二章平面向量2.2平面向量的線性運算2.2.3向量數(shù)乘運算及其幾何意義互動課堂學案.doc-匯文網(wǎng)（4頁珍藏版）》請在匯文網(wǎng)上搜索。

1、2.2.3 向量數(shù)乘運算及其幾何意義互動課堂疏導引導1.向量數(shù)乘的定義及幾何意義（1）實數(shù)與a的積是一個向量，記作a，它的長|a|=|a|.它的方向是這樣定義的：當a0時，0，a與a同向；0，a與a反向；當=0或a=0時，0a=0或0=0.(2)根據(jù)向量數(shù)乘的定義,a與a為共線向量，兩者方向相同或相反（a0，0），在此前提下，a可以理解為把a的長度擴大（|1）或縮?。▅1）.由此可得向量數(shù)乘的幾何意義：就是把向量a沿著a的方向或a的反方向放大或縮小.疑難疏引a中的實數(shù)，叫做向量a的系數(shù)，此系數(shù)決定著a與a的模的關(guān)系及方向相同或相反.向量數(shù)乘的特殊情況：當=0時，a=0;當a=0時，a=0.實數(shù)

2、與向量可以求積，并且結(jié)果為一向量，但不能進行加、減運算，如+a，-a根本無意義.2.向量數(shù)乘的運算律向量數(shù)乘滿足下列運算律：設、為實數(shù)，則（1）（+）a=a+a;(2)(a)=()a;(3)(a+b)=a+b.疑難疏引 向量數(shù)乘的運算律與中學代數(shù)中實數(shù)乘法的運算律極為相似，只是向量的數(shù)乘分配律由于因子的不同，可分為（+）a=a+a和（a+b）=a+b.但兩者也有區(qū)別：中學代數(shù)中的實數(shù)運算的結(jié)果是一個數(shù)，只滿足一種分配律，而向量的數(shù)乘的結(jié)果是一個向量，滿足兩種分配律.3.向量的線性運算向量的加法、減法和向量數(shù)乘運算，通常叫做向量的線性運算，也叫做向量的初等運算.案例1 （1）計算下列各式:2(a

3、+b)-3(a-b);3(a-2b+c)-(2c+b-a);(a-b)-(2a+4b)+(2a+13b).(2)設x、y是未知向量.解方程5(x+a)+3(x-b)=0,解方程組【探究】 要解決（1）中的問題，需要用到數(shù)乘向量的運算律.包括：數(shù)乘向量的分配律及向量加、減法的運算律，其運算過程，類似“合并同類項”.（2）是解關(guān)于未知向量的方程或方程組，它與解關(guān)于未知數(shù)的方程或方程組是類似的，在計算過程中應遵守向量加、減法及向量數(shù)乘的運算律.【解】（1）2(a+b)-3(a-b)=2a+2b-3a+3b=-a+5b.3(a-2b+c)-(2c+b-a)=3a-6b+3c-2c-b+a=4a-7b+

4、c.(a-b)-(2a+4b)+(2a+13b)=a-b-a-b+a+b=(-+)a +(-+)b=0a+0b=0.(2)原方程可變?yōu)?x+5a+3x-3b=0,8x=-5a+3b.x=.把第1個方程的-2倍與第2個方程相加，得y=-2a+b,從而y=-a+b.代入原來第2個方程得x=-a+b.【規(guī)律總結(jié)】 向量的線性運算的最終結(jié)果是向量.進行向量線性運算的理論依據(jù)是向量數(shù)乘的運算法則.4.利用向量數(shù)乘的定義和運算律解決幾何問題 利用向量數(shù)乘的定義或運算律可以解決一些幾何問題，例如在探求線段相等、三角形相似等問題上.案例2 如圖2-2-19，在ABC中，M、N分別是AB、AC的中點，求證：MN

5、BC，且MN=BC.圖2-2-19【探究】把平面問題轉(zhuǎn)化為向量問題解決非常方便，本題只需證明.【證明】 M、N分別是AB、AC的中點，=-=-=（-）=.，且=|，即MNBC，且MN=BC.【規(guī)律總結(jié)】 利用平面向量的知識證明平面幾何問題，這是向量的一個重要應用，但應注意向量與線段是不同的，它既有大小，又有方向.活學巧用1.已知a、b為兩非零向量，試判斷下列說法的正誤，并說明理由.（1）2a與a的方向相同，且2a的模是a的模的兩倍；（2）-2a與5a的方向相反，且-2a的模是5a的模的倍；（3）-2a與2a是一對相反向量；（4）a-b與-（b-a）是一對相反向量.解析：（1）正確.20,2a與

6、a的方向相同.又|2a|=2|a|，（1）的說法正確.（2）正確.50,5a與a方向相同，且|5a|=5|a|，而-20,-2a與a的方向相反，且|-2a|=2|a|，5a與-2a的方向相反，且-2a是5a模的.故（2）的說法正確.（3）正確.按照相反向量的定義可以判斷.（4）錯誤.因為-（b-a）與b-a是一對相反向量，而a-b與b-a是一對相反向量，故a-b與-（b-a）為相等向量.2.已知m、n為非零實數(shù)，a、b為非零向量，則下列命題正確的個數(shù)為（ ）m(a-b)=ma-mb (m-n)a=ma-na 若ma=mb,則a=b 若ma=na,則m=nA.4 B.3 C.2 D.1解析：、分

7、別是向量數(shù)乘運算律中的分配律，因此正確；由于m0，故ma=mb能推出a=b，正確；由于a0，故ma=na可得m=n.正確.答案：A3.計算下列各式：（1）3(2a-b)-2(4a-3b);(2)(4a+3b)-(3a-b)-b;(3)2(3a-4b+c)-3(2a+b-3c).分析：在計算過程中，要利用數(shù)乘向量的分配律，且在計算過程中要注意“合并同類項”的應用.解：（1）3(2a-b)-2(4a-3b)=6a-3b-8a+6b=-2a+3b.(2) (4a+3b)-(3a-b)-b=a+b-a+b-b=(-)a+(1+-)b=a.(3)2(3a-4b+c)-3(2a+b-3c)=6a-8b+2

8、c-6a-3b+9c=(6-6)a-(8+3)b+(2+9)c=-11b+11c.4.已知a、b不共線.（1）實數(shù)x、y滿足等式3xa+(10-y)b=(4y+7)a+2xb,求出x、y的值；（2）把滿足3x-2y=a,-4x+3y=b的向量x、y用a、b表示出來.分析：由于a、b不共線，故（1）式成立時，需滿足等式左右a、b的系數(shù)相等，即3x=4y+7,10-y=2x.解方程組即得x、y.第（2）題實際上是解兩個向量方程構(gòu)成的方程組，其中x、y為未知向量，a、b為已知向量.解：（1）a、b為不共線向量，要使等式3xa+(10-y)b=(4y+7)a+2xb成立，則有解得(2)4+3得y=4a+3b.再將代入中得x=3a+2b.5.用向量證明：梯形中位線平行于底且等于上、下兩底和的一半.已知：如圖2-2-20，梯形ABCD中，E、F是兩腰AD、BC的中點，求證：EFCDAB且EF=（AB+CD）.圖2-2-20分析：用向量證明，只需證明且|=（|+|）.證明：E、F分別是、的中點，=-，=-,即=+，=+.=（+）=（+）.又，設=.=(+)=.又E、F、D、C四點不共線,EFDC.同理,EFAB.|=（|+|）.EF=（AB+DC）.