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1、2.2.3 向量數乘運算及其幾何意義課后集訓基礎達標1.四邊形ABCD中，=，則四邊形ABCD是（ ）A.平行四邊形 B.梯形 C.菱形 D.矩形解析：由=得且|=|，所以|,所以ABCD是梯形.答案：B2.4（a-b）-3（a+b）-b等于（ ）A.a-2b B.a C.a-6b D.a-8b解析：4（a-b）-3（a+b）-b=4a-4b-3a-3b-b=a-8b.選D.答案：D3.已知=a，=b，C為上距A較近的一個三等分點，D為上距C較近的一個三等分點，則用a，b表示的表達式為( )A. B. C. D.解析：如右圖所示，=-=b-a.BC=AB.CD=BC，=()=9(b-a).=(

2、b-a), =+=a+=a+(b-a)+(b-a)=.應選A.答案：A4.設e1、e2是兩個不共線的向量，則向量a=2e1-e2與向量b=e1+e2(R)共線，當且僅當的值為（ ）A.0 B.-1 C.-2 D.-解析：向量a=2e1-e2與向量b=e1+e2共線則存在唯一實數m.使得2e1-e2=m(e1+e2),即2 e1-e2=me1+me2.解得：應選D.答案：D5.若O為ABCD的中心，=2e1, =3e2，則e2-e1等于（ ）A. B. C. D.解析：e2-e1=(3e2-2e1)=(-)=(-)=.答案：B6.下列四個命題中正確命題的個數是（ ）對于實數m和向量a，b，恒有m

3、(a-b)=ma-mb對于實數m，n和向量a，恒有（m-n）a=ma-na 若ma=mb(mR),則有a=b若ma=na,(m,nR,a0),則m=nA.1 B.2 C.3 D.4解析：m(a-b)=ma+（-b）=ma+m(-b)=ma-mb.正確.根據向量對實數的分配律知顯然正確.若m0，則有a=b，若m=0,a與b不一定相等.不正確.若ma=na,則（m-n）a=0,a0,m-n=0m=n.正確.應選C.答案：C綜合運用7.點C在線段AB上，且=，則=_（ ）A. B. C.- D.-解析：由=得與同向且|=|，所以|=(|+|),所以|=|,|又因為與反向,=-.答案：D8.在四邊形A

4、BCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,其中a、b不共線，則四邊形ABCD為（ ）A.梯形 B.平行四邊形 C.菱形 D.矩形解析：=+=-8a-2b=2（-4a-b）=2,所以且|,所以四邊形ABCD是梯形.答案：A9.如下圖，在梯形ABCD中，=a，=b，=c,=d,E、F分別為AB、CD的中點，則下列表達中成立的是（ ）A.=（a+b+c+d） B.=（c+d-a-b）C.=（a+b-c-d） D.=（a-b+c-d）解析：E、F分別是AB、CD的中點，EF=（AD+BC），=（+）.=d-a,=c-b，=（d-a+c-b）.應選B.答案：B拓展探究10.（1）如右圖，在AB

5、C中，D為BC邊上的中點.求證：=（+）.（2）G為ABC重心，O為平面內不同于G的任意一點，則=（+）.（1）證法1：=+，=+，又D為中點+=0.2=+,即=(+).證法2：延長AD至E，使DE=AD，又BD=DC，四邊形ABCD為平行四邊形.=+.又=+，=，=（+）.（2）證明：=+，=+，=+.又G為ABC重心，+=0.+=+，即=（+）.備選習題11.已知向量a與b反向，且|a|=r,|b|=R,b=a,則值等于（ ）A. B.- C.- D.解析：向量a與向量b反向，b=a中的0.=-.應選C.答案：C12.若|a-b|=|a|+|b|（b0）成立，則a、b應滿足的條件是（ ）A

6、.b=a且 (0,+) B.a=b且0,+)C.b=a且(-,0) D.a=b且(-,0解析：由于|a-b|=|a|+|b|（b0）所以a與b共線且反向或a=0由兩向量共線的條件得a=b,當a0時，0,當a=0時 ，=0,(-,0.應選D.答案：D13.如右圖=，=，求證：=.證明：=-=-=（-）=，=.14.設e1、e2是兩個不共線向量，已知=2e1+me2,=e1+3e2.若A、B、C三點共線，求實數m的值.解：A、B、C三點共線，、共線存在實數，使=,即2e1+me2=(e1+3e2)=e1+3e2,解得=2,m=6.15.已知ABCD中的對角線AC與BD相交于點O，E為AD的中點，F(xiàn)為CD的中點，設=a，=b.試用a、b表示、.解：如下圖所示，E是AD的中點，O是AC的中點，OE=CD.=2.F是CD的中點，=a，同理=b.=+=-=b-a.=-, =+=a+=a+b,=-(a+b).16.設O為ABC內任一點，D、E、F分別為AB、BC、CA的中點.求證：+=+.證明：如下圖所示，=+，=+，=+，+=+.D、E、F分別為所在邊中點.=, =,=.+=(+)=0.即有+=+.