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1、12.312.3角平分線角平分線的性質(zhì)的性質(zhì)福田河中學(xué)福田河中學(xué) 八年級數(shù)學(xué)組八年級數(shù)學(xué)組 夏夏玉焰玉焰 什么是角的平分線？怎樣畫一什么是角的平分線？怎樣畫一個角的平分線？個角的平分線？BOAC如圖，如圖，ABAD，BCDC，沿著，沿著AC畫一條射線畫一條射線AE，AE就是就是BAC的角平分線，你知道為什么嗎的角平分線，你知道為什么嗎？DCBAE分別以，為分別以，為圓心大于圓心大于 的長的長為半徑作弧兩弧在為半徑作弧兩弧在AOB的內(nèi)部交于的內(nèi)部交于如何用尺如何用尺如何用尺如何用尺規(guī)規(guī)作角的平分作角的平分作角的平分作角的平分線線？A A作法：作法：以為圓心，適當(dāng)以為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，交于，

2、長為半徑作弧，交于，交于交于作射線作射線OC則則射線即為所求射線即為所求 探索1將角AOB對折,再折出一個直角三角形(使第一條折痕為斜邊),然后展開,觀察兩次折疊形成的三條折痕,你能得到什么結(jié)論?OABAOBED角平分線上的點(diǎn)到角的兩角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。邊的距離相等。在在AOB的平分線的平分線OC上上任取一點(diǎn)任取一點(diǎn)P，然后，作，然后，作點(diǎn)點(diǎn)P到到AOB兩邊的垂線兩邊的垂線段段PD、PE，畫一畫，量，畫一畫，量一量，從中你有什么新一量，從中你有什么新發(fā)現(xiàn)？你能說明其中的發(fā)現(xiàn)？你能說明其中的道理嗎？道理嗎？BOACDPE命題：在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等命題：在角平分線上

3、的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等題設(shè)：一個點(diǎn)在一個角的平分線上題設(shè)：一個點(diǎn)在一個角的平分線上結(jié)論：它到角的兩邊的距離相等結(jié)論：它到角的兩邊的距離相等已知：已知：OC是是AOB的平分線，點(diǎn)的平分線，點(diǎn)P在在OC上，上，PD OA，PE OB，垂足分別是，垂足分別是D、E.求證：求證：PD=PE.AOBPED角平分線的性質(zhì)角平分線的性質(zhì)定理：在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等定理：在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等用符號語言表示為：用符號語言表示為：AOBPED121=2 PD OA，PE OB PD=PE.隨堂練習(xí)隨堂練習(xí)BOACDPE1.如圖，如圖，OC是是 AOB的平分線，的平分線，PD=PEP

4、D OA，PE OB2.2.如如圖所示，在圖所示，在ABC中，中，C=90，AD是是BAC的平分線交的平分線交BC于于D，BC=15，且，且CD：DB=1：2，則點(diǎn)，則點(diǎn)D到到AB的距離為的距離為_。動腦筋動腦筋3.在在Rt ABC中，中，BD平分平分ABC，DE AB于于E，則則：圖中相等的線段有哪些？相等的角呢圖中相等的線段有哪些？相等的角呢？哪條線段與哪條線段與DE相等？為什么？相等？為什么？若若AB10，BC8，AC6，求求BE，AE的長和的長和AED的周長。的周長。EDCBA練一練3在在ABC中，中，AC BC，AD為為BAC的平分線，的平分線，DE AB，AB7，AC3，求，求BE

5、的長。的長。EDCBA 4.4.ABCABC中中,C=90,C=900 0,AD,AD平分平分 CAB,CAB,且且BC=8,BD=5,BC=8,BD=5,求點(diǎn)求點(diǎn)D D到到ABAB的距離是多少？的距離是多少？ABCDE（點(diǎn)（點(diǎn)D D到到ABAB的距離是的距離是3）如圖，由如圖，由 于點(diǎn)于點(diǎn) D，于點(diǎn)于點(diǎn) E，PD=PE，可以得到什么結(jié)論可以得到什么結(jié)論？OBPE PD OA 到一個角的兩邊的距離相等到一個角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，的點(diǎn)，在這個角的平分線上。在這個角的平分線上。已知：如圖，已知：如圖，垂足分別是，垂足分別是 A、B，PD=PE，求證：點(diǎn)求證：點(diǎn)P在在 的角平分線上的角平分線上。B

6、ADOPE 到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的點(diǎn) 在角在角的平分線上。的平分線上。已知：如圖，已知：如圖，垂足分別是垂足分別是 D、E，PD=PE，求證：點(diǎn)求證：點(diǎn)P在在 的角平分線上的角平分線上。證明：作射線OP 點(diǎn)點(diǎn)P在在 角的平分線上角的平分線上 在 RtPDO 和RtPEO 中，（HL）（全等三角形的對應(yīng)角相等）OP =OP（公共邊公共邊）PD =PE （已已 知知 ）角平分線角平分線的判定的判定BADOPE角平分線的判定角平分線的判定的應(yīng)用書寫格式：的應(yīng)用書寫格式：OP 是是 的平分線的平分線PD=PE （到一個角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個角的平分線上）DEOPAB角平

7、分線的性質(zhì)：角平分線的性質(zhì)：在角的平分線上的點(diǎn)到這在角的平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等。個角的兩邊的距離相等。角平分線的判定角平分線的判定到一個角的兩邊的距離相等的到一個角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，點(diǎn)，在這個角的平分線上。在這個角的平分線上。BADOPECPD=PEOP 是是 的平分線的平分線OP 是是 的平分線的平分線PD=PE用途：證線段相等用途：證線段相等用途：判定一條射線是角平分線用途：判定一條射線是角平分線例例1.1.如圖，在如圖，在ABCABC中，中，DD是是BCBC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，DEABDEAB，DFACDFAC，垂足分別是，垂足分別是E E、F F，且且BEBECFCF。求

8、證：。求證：ADAD是是ABCABC的角平分線的角平分線。A AB BC CE EF FD D4.已知：如圖，已知：如圖，C=C=90，AC=AC .求證求證（1）ABC=ABC ；（；（2）BC=BC .（要求不（要求不用三角形全等的判定）用三角形全等的判定）BCAC5 5已知已知：如圖，：如圖，BEBEACAC于于E E，CFCFABAB于于F F，BEBE、CFCF相交于相交于DD，BD=CD BD=CD。求證：求證：ADAD平分平分BAC BAC。ABCFED課堂練習(xí)課堂練習(xí)例例 已知：如圖，已知：如圖，ABC的角平分線的角平分線BM、CN相相 交于點(diǎn)交于點(diǎn)P.求證：點(diǎn)求證：點(diǎn)P到三邊

9、到三邊AB、BC、CA的距離相等的距離相等.證明：過點(diǎn)證明：過點(diǎn)P作作PD、PE、PF分別分別垂直于垂直于AB、BC、CA，垂足為，垂足為D、E、FBM是是ABC的角平分線，點(diǎn)的角平分線，點(diǎn)P在在BM上（已知）上（已知）PD=PE（在角平分線上的點(diǎn)到角的兩在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等）邊的距離相等）同理同理 PE=PF.PD=PE=PF.即點(diǎn)即點(diǎn)P到邊到邊AB、BC、CA的距離相等的距離相等DEFABCPMN練習(xí)：練習(xí)：如如圖，三條公路相交，現(xiàn)在要修建一加圖，三條公路相交，現(xiàn)在要修建一加油站，使加油站到三條公路的距離相等，油站，使加油站到三條公路的距離相等，問加油站該選在什么位置上？問加油站該選在什么位置上？拓展與延伸1、已知:BDAM于點(diǎn)D,CEAN于點(diǎn)E,BD,CE交點(diǎn)F,CF=BF,求證:點(diǎn)F在A的平分線上.A A A A A A ADNE BFMCA2、已知已知PA=PB，1+2=1800，求證：求證：OP平分平分AOBAOBP12EF