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1、1.4角平分線的性角平分線的性質與判定質與判定ADBCE 楊楊 平平 不利用工具，請你將一張用紙不利用工具，請你將一張用紙片做的角分成兩個相等的角。你有什片做的角分成兩個相等的角。你有什么辦法？么辦法？AOBC活活 動動1 再再再再打打打打開開開開紙紙紙紙片片片片 ，看看看看看看看看折折折折痕與這個角有何關系？痕與這個角有何關系？痕與這個角有何關系？痕與這個角有何關系？（對折）（對折）1、如如圖圖，是是一一個個角角平平分分儀儀，其中其中AB=AD,BC=DC。將將點點A放放在在角角的的頂頂點點,AB和和AD沿沿著著角角的的兩兩邊邊放放下下,沿沿AC畫畫一一條條射射線線AE,AE就就是是角角平平

2、分分線線，你能說明它的道理嗎你能說明它的道理嗎?活活 動動2ADBCE 如如果果前前面面活活動動中中的的紙紙片片換換成成木木板板、鋼板等沒法折的角，又該怎么辦呢？鋼板等沒法折的角，又該怎么辦呢？p2、證明：在ACD和和ACB中中 AD=AB（已知）（已知）DC=BC（已知）（已知）CA=CA（公共邊）（公共邊）ACD ACB（SSS）CAD=CAB（全等三角形的（全等三角形的 對應邊相等）對應邊相等）AC平分平分DAB（角平分線的定義）（角平分線的定義）ADBCE 根據角平分儀的制作原理怎樣作根據角平分儀的制作原理怎樣作一個角的平分線？（不用角平分儀或一個角的平分線？（不用角平分儀或量角器）量

3、角器）OABCE活活 動動3NOMCENM分別以，為圓心大于 的長為半徑作弧兩弧在AOB的內部交于演示如何用尺如何用尺規(guī)規(guī)作角的平分作角的平分線線？A A作法：以為圓心，適當長為半徑作弧，交于，交于作射線OC則射線即為所求 探究角平分線的性質 (1)實驗實驗：將：將AOB對折，再折出一個直角對折，再折出一個直角三角形（使第一條折痕為斜邊），然后展開，觀三角形（使第一條折痕為斜邊），然后展開，觀察兩次折疊形成的三條折痕，你能得出什么結論察兩次折疊形成的三條折痕，你能得出什么結論？活活 動動4 (2)(2)猜猜想想:角角的的平平分分線線上上的的點點到到角角的的兩邊的距離相等兩邊的距離相等.題設：一

4、個點在一個角的平分線上題設：一個點在一個角的平分線上結論：它到角的兩邊的距離相等結論：它到角的兩邊的距離相等證明：證明：OC平分平分 AOB（已知）（已知）1=2（角平分線的定義）（角平分線的定義）PD OA，PE OB（已知）（已知）PDO=PEO=90（垂直的定義）（垂直的定義）在在PDO和和PEO中中 PDO=PEO（已證）（已證）1=2（已證）（已證）OP=OP（公共邊）（公共邊）PDO PEO（AAS）PD=PE（全等三角形的對應邊相等）（全等三角形的對應邊相等）P PA AOOB BC CE EDD12已知：如圖，已知：如圖，OCOC平分平分AOBAOB，點，點P P在在OCOC上

5、，上，PDPDOAOA于點于點D D，PEOBPEOB于點于點E E求證求證:PD=PE:PD=PE探究角平分線的性質探究角平分線的性質活活 動動4(3)驗證驗證猜想猜想角平分線上角平分線上的點到角兩的點到角兩邊的距離相邊的距離相等。等。(4)得到得到角角平分線的平分線的性質：性質：活活 動動4 利利用用此此性性質質怎怎樣書寫推理過程樣書寫推理過程?1=2,PD OA，PE OB（已知）（已知）PD=PE（全等三角（全等三角形的對應邊相等）形的對應邊相等）P PA AO OB BC CE ED D12 如圖，如圖，AD平分平分BAC（已知）（已知）=，()在在角角的的平平分分線線上上的的點點到

6、到這這個角的兩邊的距離相等。個角的兩邊的距離相等。BD CD（）如圖，如圖，DCAC，DBAB （已知）（已知）=，()在在角角的的平平分分線線上上的的點點到到這這個角的兩邊的距離相等。個角的兩邊的距離相等。BD CD（）AD平分平分BAC,DCAC，DBAB （已知）（已知）=，（）DBDC在在角角的的平平分分線線上上的的點點到到這這個個角的兩邊的距離相等。角的兩邊的距離相等。不必再證全等不必再證全等，OABED思考：思考：如圖所示如圖所示OC是是AOB 的平分線的平分線,P 是是OC上任意上任意一點一點,問問PE=PD?為為 什么什么?CPPD,PE沒有垂直沒有垂直O(jiān)A,OB,它們不是角它

7、們不是角平分線上任一點這個角兩邊的距離平分線上任一點這個角兩邊的距離,所以不一定相等所以不一定相等思考：思考：要在區(qū)建一個集貿市場，使它到公路，鐵要在區(qū)建一個集貿市場，使它到公路，鐵路距離相等且離公路，鐵路的交叉處路距離相等且離公路，鐵路的交叉處米，應建在何處？（比例尺米，應建在何處？（比例尺 1：20 000）公路鐵路活活 如如 圖圖：在在 ABC中中，C=90 AD是是BAC的的平平分分線線，DEAB于于 E，F(xiàn)在在 AC上上，BD=DF；求證：求證：CF=EBACDEBF 分分析析:要要證證CF=EB,首首先先我我們們想想到到的的是是要要證證它它們所在的兩個三角形全等們所在的兩個三角形全

8、等,即即RtCDF RtEDB.現(xiàn)現(xiàn)已已有有一一個個條條件件BD=DF(斜斜邊邊相相等等),還還需需要我們找什么條件要我們找什么條件DC=DE(因為角的平分線的性質因為角的平分線的性質)再用再用HL證明證明.試試自己寫試試自己寫證明。你一證明。你一定行！定行！做一做做一做駛向勝利的彼岸w已知已知:如圖如圖,在在ABCABC中中,AD,AD是它的角平分線是它的角平分線,且且BD=CD,DEAB,DFAC,BD=CD,DEAB,DFAC,垂足分別是垂足分別是E,F.E,F.w求證求證:EB=FC.:EB=FC.老師期望老師期望:做完題目后做完題目后,一定要一定要“悟悟”到點東到點東西西,納入到自己

9、的認知結構中去納入到自己的認知結構中去.BAEDCF例 已知：如圖，ABC的角平分線BM、CN相交于點P.求證：點P到三邊AB、BC、CA的距離相等.證明：過點證明：過點P作作PD、PE、PF分別分別垂直于垂直于AB、BC、CA，垂足為，垂足為D、E、FBM是是ABC的角平分線，的角平分線，點點P在在BM上（已知）上（已知）PD=PE（在角平分線上的點到角的在角平分線上的點到角的兩邊的距離相等）兩邊的距離相等）同理同理 PE=PF.PD=PE=PF.即點即點P到邊到邊AB、BC、CA的距離相等的距離相等DEFABCPMN變式：變式：如圖，如圖，的的的外角的平的外角的平分線與分線與的外角的平分線

10、相交于的外角的平分線相交于點求證：點到三邊，點求證：點到三邊，所在直線的距離相等所在直線的距離相等F FGH一、過程小結：一、過程小結：情境情境觀察觀察作圖作圖應用應用探究探究再應用再應用二、知識小結：二、知識小結：本本節(jié)節(jié)課課學學習習了了那那些些知知識識？有有哪哪些些運運用用？你你學了嗎？做了嗎？用了嗎？學了嗎？做了嗎？用了嗎？回味無窮w定理定理 角平分線上的點到這個角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等角的兩邊距離相等.wOCOC是是AOBAOB的平分線的平分線,P,P是是OCOC上任意一點上任意一點,PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂足分別是垂足分別是D,E(D,E(已知已知)PD

11、=PE(PD=PE(角平分線上的點到這個角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等角的兩邊距離相等).).w用尺規(guī)作角的平分線用尺規(guī)作角的平分線.小結 拓展OCB1A2PDE 到一個角的兩邊的距離相等到一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角平分線上。的點，在這個角平分線上。已知：已知：PD OA，PE OB，垂足分別是，垂足分別是D、E，PD=PE.求證：求證：點點P在在AOB的平分線上。的平分線上。角平分線的判定定理角平分線的判定定理AOBPDEC用符號語言表示為：用符號語言表示為：PD=PE PD OA，PE OB 1=2.由上面兩個定理可知：到角的兩邊的距離由上面兩個定理可知：到角的兩邊的距離相

12、等的點，都在這個角平分線上；反過來，相等的點，都在這個角平分線上；反過來，角平分線上的點到角的兩邊的距離相等。角平分線上的點到角的兩邊的距離相等。角的平分線是到角的兩邊距離相角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合等的所有點的集合.練一練練一練填空：填空：(1).1=2,DCAC,DEAB _(_)(1).DCAC,DEAB,DC=DE_(_ _)ACDEB121=2DC=DE到一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角平分線上。到一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角平分線上。在角平分線上的點到角的兩邊的距離相等在角平分線上的點到角的兩邊的距離相等2.已知：如圖，已知：如圖，C=C=90 AC=

13、AC 求證求證（1）ABC=ABC ；（2）BC=BC .（要求不用三角形全等的判定）（要求不用三角形全等的判定）BCAC例例1 1 已知：在等腰已知：在等腰RtABCRtABC中，中，AC AC BCBC C C9090，ADAD平分平分 BACBAC，DEABDEAB于點于點E E。求證：求證：BDBDDE DE ACAC 變式變式 已知已知AB 15cm,求求DBE的周長的周長EDCBA利用結論，解決問題練一練 1、如圖，為了促進當?shù)芈糜伟l(fā)展，某地要在三條公路圍成的一塊平地上修建一個度假村.要使這個度假村到三條公路的距離相等,應在何處修建?想一想 在確定度假村的位置時,一定要畫出三個角的平分線嗎?你是怎樣思考的?你是如何證明的?拓展與延伸2、直線表示三條相互交叉的公路,現(xiàn)要建一個貨物中轉站,要求它到三條公路的距離相等,則可供選擇的地址有:()A.一處 B.兩處 C.三處 D.四處分析:由于沒有限制在何處選址,故要求的地址共有四處。拓展與延伸3、已知:BDAM于點D,CEAN于點E,BD,CE交點F,CF=BF,求證:點F在A的平分線上.A A A A A A ADNE BFMCA