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1、第二章：動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程達(dá)朗伯原理達(dá)朗伯原理：用靜力學(xué)平衡問題的方法解決動(dòng)力學(xué)問題拉格朗日方程拉格朗日方程：用虛位移描述的動(dòng)力學(xué)普遍方程，不出現(xiàn)約束反力，但虛位移之間不獨(dú)立，將動(dòng)力學(xué)普遍方程用廣義坐標(biāo)來表示，就可推出拉格朗日方程。2.1 動(dòng)力學(xué)普遍方程設(shè)一質(zhì)點(diǎn)系由設(shè)一質(zhì)點(diǎn)系由n各質(zhì)點(diǎn)組成，第各質(zhì)點(diǎn)組成，第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量質(zhì)量mi，作用在其上的主動(dòng)力作用在其上的主動(dòng)力Fi，約反力約反力合力合力FNi，慣性力慣性力Fgi=-miai,由達(dá)朗伯原理：由達(dá)朗伯原理：上式稱之為動(dòng)力學(xué)普遍方程。在理想約束上式稱之為動(dòng)力學(xué)普遍方程。在理想約束下，作用在質(zhì)點(diǎn)系上的主動(dòng)力和慣性力在下，作用在質(zhì)

2、點(diǎn)系上的主動(dòng)力和慣性力在任意虛位移上所作虛功之和為零任意虛位移上所作虛功之和為零例題：離心調(diào)速器如圖所示，已知mA=mB=m=15kg,套筒mC=10kg，桿長(zhǎng)l=0.25m，e=0.03m,彈簧剛度k=14700N/m，正常角速度時(shí)=30，彈簧不受力。試求=60 時(shí)的角速度。例題：如圖所示，質(zhì)量m1的勻質(zhì)圓柱A與質(zhì)量為m2的物體B相連，物體B與水平面間的摩擦系數(shù)fs，忽略滑輪質(zhì)量，開始式系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，求A,B兩物體質(zhì)心的加速度a1,a2該系統(tǒng)為兩自由度系統(tǒng)：廣義坐標(biāo)：x,例題 圖所示，水平桿AB兩端各系一根繩索，繩索繞過定滑輪C,D,在自由端分別懸掛重物E（m2)和F(m1),令系統(tǒng)無初

3、速度釋放，試求重物F的初加速度。已知杠桿臂長(zhǎng)比：AO:OB=k，杠桿初時(shí)水平，桿與滑輪質(zhì)量忽略不計(jì)設(shè)質(zhì)點(diǎn)系有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)，受s個(gè)完整非定長(zhǎng)約束，系統(tǒng)有N=3n-s個(gè)自由度，用N個(gè)廣義坐標(biāo) 表示質(zhì)點(diǎn)系位置，則質(zhì)點(diǎn)系位置可表示為：下面來推導(dǎo)拉格朗日方程：證明（1）2.2 拉格朗日方程對(duì)下式兩邊求導(dǎo)：證明（2）Lagrangri方程它是N個(gè)二階常微分方程，初始條件為t=0時(shí)刻的廣義坐標(biāo)和廣義初速度舉例：如圖所示，輪系，已知r2=1.5r1，曲柄OA質(zhì)量m，齒輪的質(zhì)量分別為m1和m2，齒輪視為勻質(zhì)圓盤，在曲柄上作用一力矩M1，求系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程。該系統(tǒng)為單自由度系統(tǒng)，取廣義坐標(biāo)系統(tǒng)動(dòng)能：速度分析：兩種不同主

4、動(dòng)力下的拉格朗日方程（1）主動(dòng)力為有勢(shì)力當(dāng)主動(dòng)力為有勢(shì)力時(shí)，廣義力可由勢(shì)能函數(shù)確定：（2）主動(dòng)力為有勢(shì)力和非有勢(shì)力例題：如圖所示，物塊重m彈簧系數(shù)k，定滑輪質(zhì)量M,均勻分布在輪緣上，摩擦忽略，求重物的振動(dòng)周期。系統(tǒng)動(dòng)能：該系統(tǒng)為單自由度系統(tǒng)，取滑輪轉(zhuǎn)角未廣義坐標(biāo)例題：設(shè)有一與彈簧相連滑塊A，質(zhì)量m1，彈簧系數(shù)k，下面掛一擺長(zhǎng)度l，質(zhì)量m2，求系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程。2.3 動(dòng)能的廣義速度表達(dá)式例題：質(zhì)量為M的質(zhì)點(diǎn)沿光滑斜面運(yùn)動(dòng)，而斜面又沿水平面以速度v勻速運(yùn)動(dòng)，求質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能表達(dá)式2.4 拉格朗日方程的初積分廣義能量積分例題：如圖所示，勻質(zhì)桿質(zhì)量m長(zhǎng)度l，與質(zhì)量m1勻質(zhì)圓盤在中心鉸接，圓盤在水平導(dǎo)軌上

5、無摩擦滾動(dòng)，其中心通過彈性系數(shù)k的彈簧固定在墻上，用拉格朗日推導(dǎo)運(yùn)動(dòng)微分方程，寫出能量積分。該系統(tǒng)為兩自由度系統(tǒng)，圓盤中心水平位移x和擺角為廣義坐標(biāo)循環(huán)積分：例題1，質(zhì)量m的質(zhì)點(diǎn)在重力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，取直角坐標(biāo)x,y,z為廣義坐標(biāo),質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能：例題2，質(zhì)量m的質(zhì)點(diǎn)在有心力作用下運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡是一平面曲線，取平面極坐標(biāo)，為廣義坐標(biāo),質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能：例3：如圖所示，置于水平面上的薄球殼只滾不滑，質(zhì)量M，半徑a，內(nèi)放一質(zhì)量m的勻質(zhì)桿，該系統(tǒng)由靜止開始運(yùn)動(dòng)，開始瞬間棒與水平成角，試證明棒與水平線夾角滿足下列關(guān)系：2.5 碰撞問題的拉格朗日方程例題：如圖所示結(jié)構(gòu)。兩勻質(zhì)桿OA和AB質(zhì)量均為m，長(zhǎng)均為l，鉸接于A處。開

6、始時(shí)兩鉛垂桿靜止，今在AB桿中點(diǎn)D作用與桿垂直的水平?jīng)_量，求沖擊后兩桿的角速度。取2.6 拉格朗日方程的應(yīng)用舉例例題：如圖所示，質(zhì)量m1半徑R的勻質(zhì)圓柱沿水平面純滾動(dòng)，上面作用以力矩M=Mocost的力偶，軸上裝一物理擺，擺對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量JO，擺的質(zhì)心在點(diǎn)A，OA=h，點(diǎn)O通過水平彈簧連接在固定的支座上，彈簧系數(shù)k，初始時(shí)系統(tǒng)靜止，彈簧無變形，=0，試推出系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程，并求出初始時(shí)刻鉸鏈O的反力，設(shè)m1=40kg,擺的質(zhì)量m2=0.25m1；MO=m1gR，JO=0.1m1R2，h=0.6R例題：如圖所示，在光滑的水平桌面上有一小孔，長(zhǎng)度為l的質(zhì)量不計(jì)的細(xì)繩穿過，一端系質(zhì)量m的小球A，另一

7、端系相同質(zhì)量的小球B，OA長(zhǎng)度用計(jì)，當(dāng)OA=a時(shí)，給小球A大小為v0，垂直于OA的初速度，OA與x軸夾角計(jì)，試（1）列出以表示小球A的運(yùn)動(dòng)微分方程；（2）求小球A在任意位置的速率。例題 如圖所示兩個(gè)半徑為R的勻質(zhì)圓柱共重P1，剛性地固連在無重的細(xì)軸上，組成車輪，重量為P2的重物A連在長(zhǎng)度l的細(xì)桿上，另外一端裝在輪軸上，質(zhì)量不計(jì)，假定擺離鉛垂線的夾角很小，節(jié)點(diǎn)C處無摩擦，圓柱純滾動(dòng)，試求該系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)如圖所示，質(zhì)量為m的小球在質(zhì)量不計(jì)的光滑桿上自由滑動(dòng)，桿OA鉸接在勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)的圓盤上，并以勻角速度 =k向下傾斜，試推導(dǎo)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程，并求出維持和k為常數(shù)時(shí)所需加在鉛直軸上的力矩M例題：兩輪用勻質(zhì)桿連接，兩輪只滾動(dòng)不滑動(dòng)，桿重P，輪重不計(jì)；彈簧系數(shù)k彈簧在=0未伸長(zhǎng)，求系統(tǒng)平衡位置。