小小親清輔導(dǎo)班 一、數(shù)列 1.數(shù)列的定義：按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每個(gè)數(shù)稱為該數(shù)列的項(xiàng). ⑴數(shù)列中的數(shù)是按一定“次序”排列的，在這里，只強(qiáng)調(diào)有“次序”，而不強(qiáng)調(diào)有“規(guī)律”．因此，如果組成兩個(gè)數(shù)列的數(shù)相同而次序不同，那么它們就是不同的數(shù)列． ⑵在數(shù)列中同一個(gè)數(shù)可以重復(fù)出現(xiàn)． ⑶項(xiàng)a與項(xiàng)數(shù)n是兩個(gè)根本不同的概念． ⑷數(shù)列可以看作一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集(或它的有限子集)的函數(shù)當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)對應(yīng)的一列函數(shù)值，但函數(shù)不一定是數(shù)列 2.通項(xiàng)公式：如果數(shù)列的第項(xiàng)與序號之間可以用一個(gè)式子表示,那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，即. 3.遞推公式：如果已知數(shù)列的第一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任何一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，即或，那么這個(gè)式子叫做數(shù)列的遞推公式. 如數(shù)列中，，其中是數(shù)列的遞推公式. 4.數(shù)列的前項(xiàng)和與通項(xiàng)的公式 ①； ②. 5. 數(shù)列的表示方法：解析法、圖像法、列舉法、遞推法. 6. 數(shù)列的分類：有窮數(shù)列，無窮數(shù)列；遞增數(shù)列，遞減數(shù)列，擺動數(shù)列，常數(shù)數(shù)列；有界數(shù)列，無界數(shù)列. ①遞增數(shù)列:對于任何,均有. ②遞減數(shù)列:對于任何,均有. ③擺動數(shù)列:例如: ④常數(shù)數(shù)列:例如:6,6,6,6,……. ⑤有界數(shù)列:存在正數(shù)使. ⑥無界數(shù)列:對于任何正數(shù),總有項(xiàng)使得. 1、已知，則在數(shù)列的最大項(xiàng)為__（答：）； 2、數(shù)列的通項(xiàng)為，其中均為正數(shù)，則與的大小關(guān)系為___（答：）； 3、已知數(shù)列中，，且是遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)的取值范圍（答：）；4、一給定函數(shù)的圖象在下列圖中，并且對任意，由關(guān)系式得到的數(shù)列滿足，則該函數(shù)的圖象是 （）（答：A） 二、 等差數(shù)列 1、 等差數(shù)列的定義：如果數(shù)列從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫等差數(shù)列的公差。即.(或). 2、 （1）等差數(shù)列的判斷方法： ①定義法：為等差數(shù)列。 ② 中項(xiàng)法： 為等差數(shù)列。 ③通項(xiàng)公式法：（a,b為常數(shù)）為等差數(shù)列。 ④前n項(xiàng)和公式法：（A,B為常數(shù)）為等差數(shù)列。 如設(shè)是等差數(shù)列，求證：以bn= 為通項(xiàng)公式的數(shù)列為等差數(shù)列。 （2）等差數(shù)列的通項(xiàng)：或。公式變形為:. 其中a=d, b= －d. 如1、等差數(shù)列中，，，則通項(xiàng)　　　?。ù穑海?；2、首項(xiàng)為-24的等差數(shù)列，從第10項(xiàng)起開始為正數(shù)，則公差的取值范圍是______（答：） （3）等差數(shù)列的前和：，。公式變形為：，其中A=，B=.注意：已知n,d, ,, 中的三者可以求另兩者，即所謂的“知三求二”。 如 數(shù)列 中，，，前n項(xiàng)和，則＝＿，＝＿（答：，）；（2）已知數(shù)列 的前n項(xiàng)和，求數(shù)列的前項(xiàng)和（答：）. （4）等差中項(xiàng)：若成等差數(shù)列，則A叫做與的等差中項(xiàng)，且。 提醒：（1）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前和公式中，涉及到5個(gè)元素：、、、及，其中、稱作為基本元素。只要已知這5個(gè)元素中的任意3個(gè)，便可求出其余2個(gè)，即知3求2。（2）為減少運(yùn)算量，要注意設(shè)元的技巧，如奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為…，…（公差為）；偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為…，,…（公差為2） 3.等差數(shù)列的性質(zhì)： （1）當(dāng)公差時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的一次函數(shù)，且斜率為公差；前和是關(guān)于的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0. 等差數(shù)列{a}中，是n的一次函數(shù)，且點(diǎn)（n，）均在直線y =x + (a－)上 （2）若公差，則為遞增等差數(shù)列，若公差，則為遞減等差數(shù)列，若公差，則為常數(shù)列。 （3）對稱性：若是有窮數(shù)列，則與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之和都等于首末兩項(xiàng)之和.當(dāng)時(shí),則有，特別地，當(dāng)時(shí)，則有. 如1、等差數(shù)列中，，則＝____（答：27）； 2、在等差數(shù)列中，，且，是其前項(xiàng)和，則A、都小于0，都大于0　　B、都小于0，都大于0　　C、都小于0，都大于0　　D、都小于0，都大于0　（答：B） (4) 項(xiàng)數(shù)成等差,則相應(yīng)的項(xiàng)也成等差數(shù)列.即成等差.若、是等差數(shù)列，則、 (、是非零常數(shù))、、（公差為）．，…也成等差數(shù)列，而成等比數(shù)列；若是等比數(shù)列，且，則是等差數(shù)列. 如 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為25，前2n項(xiàng)和為100，則它的前3n和為 。（答：225） （5）在等差數(shù)列中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí)， ；；. 項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)， ； ；。 如1、在等差數(shù)列中，S11＝22，則＝______（答：2）； 2、項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)和為80，偶數(shù)項(xiàng)和為75，求此數(shù)列的中間項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)（答：5；31）. （6）單調(diào)性：設(shè)d為等差數(shù)列的公差，則 d>0是遞增數(shù)列；d<0是遞減數(shù)列；d=0是常數(shù)數(shù)列 (7)若等差數(shù)列、的前和分別為、，且，則. 如設(shè){}與{}是兩個(gè)等差數(shù)列，它們的前項(xiàng)和分別為和，若，那么___________（答：） （8）設(shè)a，a，a為等差數(shù)列中的三項(xiàng)，且a與a，a與a的項(xiàng)距差之比=（≠－1），則a=． （9）在等差數(shù)列{ a}中，S= a，S= b (n＞m)，則S=(a－b)． 8、已知成等差數(shù)列，求的最值問題： ① 若,d<0且滿足,則最大； ②若,d>0且滿足,則最小. “首正”的遞減等差數(shù)列中，前項(xiàng)和的最大值是所有非負(fù)項(xiàng)之和；“首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中，前項(xiàng)和的最小值是所有非正項(xiàng)之和。法一：由不等式組確定出前多少項(xiàng)為非負(fù)（或非正）；法二：因等差數(shù)列前項(xiàng)是關(guān)于的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性。上述兩種方法是運(yùn)用了哪種數(shù)學(xué)思想？（函數(shù)思想），由此你能求一般數(shù)列中的最大或最小項(xiàng)嗎？ 如1、等差數(shù)列中，，，問此數(shù)列前多少項(xiàng)和最大？并求此最大值。（答：前13項(xiàng)和最大，最大值為169）； 2、若是等差數(shù)列，首項(xiàng)， ，則使前n項(xiàng)和成立的最大正整數(shù)n是 （答：4006） (10)如果兩等差數(shù)列有公共項(xiàng)，那么由它們的公共項(xiàng)順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，且新等差數(shù)列的公差是原兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù). 注意：公共項(xiàng)僅是公共的項(xiàng)，其項(xiàng)數(shù)不一定相同，即研究. 三、等比數(shù)列 1、等比數(shù)列的有關(guān)概念：如果數(shù)列從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫等比數(shù)列的公比。即 （或 2、等比數(shù)列的判斷方法：定義法，其中或 。 如1、一個(gè)等比數(shù)列{}共有項(xiàng)，奇數(shù)項(xiàng)之積為100，偶數(shù)項(xiàng)之積為120，則為____（答：）； 2、數(shù)列中，=4+1 ()且=1，若 ，求證：數(shù)列｛｝是等比數(shù)列。 3、等比數(shù)列的通項(xiàng)：或。 如 設(shè)等比數(shù)列中，，，前項(xiàng)和＝126，求和公比. （答：，或2） 4、等比數(shù)列的前和：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。如 等比數(shù)列中，＝2，S99=77，求（答：44） 提醒：等比數(shù)列前項(xiàng)和公式有兩種形式，為此在求等比數(shù)列前項(xiàng)和時(shí)，首先要判斷公比是否為1，再由的情況選擇求和公式的形式，當(dāng)不能判斷公比是否為1時(shí)，要對分和兩種情形討論求解。 5、等比中項(xiàng)：如果a、G、b三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)，即G=.提醒：不是任何兩數(shù)都有等比中項(xiàng)，只有同號兩數(shù)才存在等比中項(xiàng)，且有兩個(gè)。如已知兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)為A，等比中項(xiàng)為B，則A與B的大小關(guān)系為______（答：A＞B） 提醒：（1）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式中，涉及到5個(gè)元素：、、、及，其中、稱作為基本元素。只要已知這5個(gè)元素中的任意3個(gè)，便可求出其余2個(gè)，即知3求2；（2）為減少運(yùn)算量，要注意設(shè)元的技巧，如奇數(shù)個(gè)數(shù)成等比，可設(shè)為…，…（公比為）；但偶數(shù)個(gè)數(shù)成等比時(shí)，不能設(shè)為…，…，因公比不一定為正數(shù)，只有公比為正時(shí)才可如此設(shè)，且公比為。如有四個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)成等比數(shù)列，且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是16，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和為12，求此四個(gè)數(shù)。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16） 6、等比數(shù)列的性質(zhì)： （1）對稱性：若是有窮數(shù)列，則與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之積都等于首末兩項(xiàng)之積.即當(dāng)時(shí)，則有，特別地，當(dāng)時(shí)，則有. 如 1、在 等比數(shù)列中，， 公比q是整數(shù)，則=___（答：512）； 2、各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則 （答：10）。 (2) 若{ a}是公比為q的等比數(shù)列，則{| a|}、{a}、{ka}、{}也是等比數(shù)列，其公比分別為| q |}、{q}、{q}、{}。若成等比數(shù)列，則、成等比數(shù)列； 若是等比數(shù)列，且公比，則數(shù)列 ，…也是等比數(shù)列。當(dāng)，且為偶數(shù)時(shí)，數(shù)列 ，…是常數(shù)數(shù)列0，它不是等比數(shù)列. 若是等比數(shù)列，且各項(xiàng)均為正數(shù)，則成等差數(shù)列。若項(xiàng)數(shù)為3n的等比數(shù)列(q≠－1)前n項(xiàng)和與前n項(xiàng)積分別為S與T，次n項(xiàng)和與次n項(xiàng)積分別為S與T，最后n項(xiàng)和與n項(xiàng)積分別為S與T，則S，S，S成等比數(shù)列，T，T，T亦成等比數(shù)列 如1、已知且，設(shè)數(shù)列滿足，且，則　　　　　. （答：）； 2、在等比數(shù)列中，為其前n項(xiàng)和，若，則的值為______（答：40） (3) 單調(diào)性：若，或則為遞增數(shù)列；若,或 則為遞減數(shù)列；若，則為擺動數(shù)列；若，則為常數(shù)列. (4) 當(dāng)時(shí)，，這里，但，這是等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的一個(gè)特征，據(jù)此很容易根據(jù)，判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列。如若是等比數(shù)列，且，則＝ （答：－1） (5) .如設(shè)等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，若成等差數(shù)列，則的值為_____（答：－2） (6) 在等比數(shù)列中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，；項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，. (7)如果數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列是非零常數(shù)數(shù)列，故常數(shù)數(shù)列僅是此數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條件。 如設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為（）， 關(guān)于數(shù)列有下列三個(gè)命題：①若，則既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列；②若，則是等差數(shù)列；③若，則是等比數(shù)列。這些命題中，真命題的序號是 （答：②③） ⑧等差數(shù)列中，Sm+n=Sm+Sn+mnd；等比數(shù)列中，Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn； 四、難點(diǎn)突破 1．并不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式，一個(gè)數(shù)列有通項(xiàng)公式在形式上也不一定唯一．已知一個(gè)數(shù)列的前幾項(xiàng)，這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式更不是唯一的． 2．等差(比)數(shù)列的定義中有兩個(gè)要點(diǎn)：一是“從第2項(xiàng)起”，二是“每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差(比)等于同一個(gè)常數(shù)”．這里的“從第2項(xiàng)起”是為了使每一項(xiàng)與它前面一項(xiàng)都確實(shí)存在，而“同一個(gè)常數(shù)”則是保證至少含有3項(xiàng)．所以，一個(gè)數(shù)列是等差(比)數(shù)列的必要非充分條件是這個(gè)數(shù)列至少含有3項(xiàng)． 3．?dāng)?shù)列的表示方法應(yīng)注意的兩個(gè)問題：⑴{ a}與a是不同的，前者表示數(shù)列a，a，…，a，…，而后者僅表示這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)；⑵數(shù)列a，a，…，a，…，與集合{ a，a，…，a，…，}不同，差別有兩點(diǎn)：數(shù)列是一列有序排布的數(shù)，而集合是一個(gè)有確定范圍的整體；數(shù)列的項(xiàng)有明確的順序性，而集合的元素間沒有順序性． 4．注意設(shè)元的技巧時(shí)，等比數(shù)列的奇數(shù)個(gè)項(xiàng)與偶數(shù)個(gè)項(xiàng)有區(qū)別，即： ⑴對連續(xù)奇數(shù)個(gè)項(xiàng)的等比數(shù)列，若已知其積為S，則通常設(shè)…，aq， aq， a，aq，aq，…； ⑵對連續(xù)偶數(shù)個(gè)項(xiàng)同號的等比數(shù)列，若已知其積為S，則通常設(shè)…，aq， aq， aq，aq，…． 5．一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列的必要條件是該數(shù)列各項(xiàng)均不為0，因此，在研究等比數(shù)列時(shí)，要注意a≠0，因?yàn)楫?dāng)a= 0時(shí)，雖有a= a· a成立，但{a}不是等比數(shù)列，即“b= a · c”是a、b、 c成等比數(shù)列的必要非充分條件；對比等差數(shù)列{a}，“2b = a + c”是a、b、 c成等差數(shù)列的充要條件，這一點(diǎn)同學(xué)們要分清． 6．由等比數(shù)列定義知，等比數(shù)列各項(xiàng)均不為0，因此，判斷一數(shù)列是否成等比數(shù)列，首先要注意特殊情況“0”．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式蘊(yùn)含著分類討論思想，需分分q = 1和q≠1進(jìn)行分類討論，在具體運(yùn)用公式時(shí)，常常因考慮不周而出錯．