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1、一、數(shù)列1.數(shù)列的定義：按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每個(gè)數(shù)稱為該數(shù)列的項(xiàng).數(shù)列中的數(shù)是按一定“次序”排列的，在這里，只強(qiáng)調(diào)有“次序”，而不強(qiáng)調(diào)有“規(guī)律”因此，如果組成兩個(gè)數(shù)列的數(shù)相同而次序不同，那么它們就是不同的數(shù)列在數(shù)列中同一個(gè)數(shù)可以重復(fù)出現(xiàn)項(xiàng)a與項(xiàng)數(shù)n是兩個(gè)根本不同的概念數(shù)列可以看作一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集(或它的有限子集)的函數(shù)當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值，但函數(shù)不一定是數(shù)列2.通項(xiàng)公式：如果數(shù)列的第項(xiàng)與序號(hào)之間可以用一個(gè)式子表示,那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，即. 3.遞推公式：如果已知數(shù)列的第一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任何一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系可

2、以用一個(gè)式子來(lái)表示，即或，那么這個(gè)式子叫做數(shù)列的遞推公式. 如數(shù)列中，其中是數(shù)列的遞推公式.4.數(shù)列的前項(xiàng)和與通項(xiàng)的公式； .5. 數(shù)列的表示方法：解析法、圖像法、列舉法、遞推法.6. 數(shù)列的分類：有窮數(shù)列，無(wú)窮數(shù)列；遞增數(shù)列，遞減數(shù)列，擺動(dòng)數(shù)列，常數(shù)數(shù)列；有界數(shù)列，無(wú)界數(shù)列.遞增數(shù)列:對(duì)于任何,均有.遞減數(shù)列:對(duì)于任何,均有.擺動(dòng)數(shù)列:例如: 常數(shù)數(shù)列:例如:6,6,6,6,.有界數(shù)列:存在正數(shù)使.無(wú)界數(shù)列:對(duì)于任何正數(shù),總有項(xiàng)使得.1、已知，則在數(shù)列的最大項(xiàng)為_(kāi)（答：）；2、數(shù)列的通項(xiàng)為，其中均為正數(shù)，則與的大小關(guān)系為_(kāi)（答：）；3、已知數(shù)列中，且是遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)的取值范圍（答：）；4、

3、一給定函數(shù)的圖象在下列圖中，并且對(duì)任意，由關(guān)系式得到的數(shù)列滿足，則該函數(shù)的圖象是（）（答：A） 二、 等差數(shù)列1、 等差數(shù)列的定義：如果數(shù)列從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫等差數(shù)列的公差。即.(或).2、 （1）等差數(shù)列的判斷方法：定義法：為等差數(shù)列。 中項(xiàng)法： 為等差數(shù)列。通項(xiàng)公式法：（a,b為常數(shù)）為等差數(shù)列。前n項(xiàng)和公式法：（A,B為常數(shù)）為等差數(shù)列。如設(shè)是等差數(shù)列，求證：以bn= 為通項(xiàng)公式的數(shù)列為等差數(shù)列。（2）等差數(shù)列的通項(xiàng)：或。公式變形為:. 其中a=d, b= d.如1、等差數(shù)列中，則通項(xiàng)（答：）；2、首項(xiàng)為-24的等差數(shù)列，

4、從第10項(xiàng)起開(kāi)始為正數(shù)，則公差的取值范圍是_（答：）（3）等差數(shù)列的前和：，。公式變形為：，其中A=，B=.注意：已知n,d, , 中的三者可以求另兩者，即所謂的“知三求二”。如 數(shù)列 中，前n項(xiàng)和，則，（答：，）；（2）已知數(shù)列 的前n項(xiàng)和，求數(shù)列的前項(xiàng)和（答：）.（4）等差中項(xiàng)：若成等差數(shù)列，則A叫做與的等差中項(xiàng)，且。提醒：（1）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前和公式中，涉及到5個(gè)元素：、及，其中、稱作為基本元素。只要已知這5個(gè)元素中的任意3個(gè)，便可求出其余2個(gè)，即知3求2。（2）為減少運(yùn)算量，要注意設(shè)元的技巧，如奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為，（公差為）；偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為，,（公差為2）3.等差數(shù)列

5、的性質(zhì)：（1）當(dāng)公差時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的一次函數(shù)，且斜率為公差；前和是關(guān)于的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0. 等差數(shù)列a中，是n的一次函數(shù)，且點(diǎn)（n，）均在直線y =x + (a)上（2）若公差，則為遞增等差數(shù)列，若公差，則為遞減等差數(shù)列，若公差，則為常數(shù)列。（3）對(duì)稱性：若是有窮數(shù)列，則與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之和都等于首末兩項(xiàng)之和.當(dāng)時(shí),則有，特別地，當(dāng)時(shí)，則有.如1、等差數(shù)列中，則_（答：27）；2、在等差數(shù)列中，且，是其前項(xiàng)和，則A、都小于0，都大于0B、都小于0，都大于0C、都小于0，都大于0D、都小于0，都大于0（答：B）(4) 項(xiàng)數(shù)成等差,則相應(yīng)的項(xiàng)也成等差數(shù)列.即成等差.若、是等

6、差數(shù)列，則、 (、是非零常數(shù))、（公差為），也成等差數(shù)列，而成等比數(shù)列；若是等比數(shù)列，且，則是等差數(shù)列.如 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為25，前2n項(xiàng)和為100，則它的前3n和為 。（答：225）（5）在等差數(shù)列中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí)， ；. 項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)， ； ；。 如1、在等差數(shù)列中，S1122，則_（答：2）；2、項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)和為80，偶數(shù)項(xiàng)和為75，求此數(shù)列的中間項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)（答：5；31）.（6）單調(diào)性：設(shè)d為等差數(shù)列的公差，則 d0是遞增數(shù)列；d0是遞減數(shù)列；d=0是常數(shù)數(shù)列(7)若等差數(shù)列、的前和分別為、，且，則.如設(shè)與是兩個(gè)等差數(shù)列，它們的前項(xiàng)和分別為和，若，那么_（答：）（

7、8）設(shè)a，a，a為等差數(shù)列中的三項(xiàng)，且a與a，a與a的項(xiàng)距差之比=（1），則a=（9）在等差數(shù)列 a中，S= a，S= b (nm)，則S=(ab)8、已知成等差數(shù)列，求的最值問(wèn)題： 若,d0且滿足,則最小. “首正”的遞減等差數(shù)列中，前項(xiàng)和的最大值是所有非負(fù)項(xiàng)之和；“首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中，前項(xiàng)和的最小值是所有非正項(xiàng)之和。法一：由不等式組確定出前多少項(xiàng)為非負(fù)（或非正）；法二：因等差數(shù)列前項(xiàng)是關(guān)于的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性。上述兩種方法是運(yùn)用了哪種數(shù)學(xué)思想？（函數(shù)思想），由此你能求一般數(shù)列中的最大或最小項(xiàng)嗎？如1、等差數(shù)列中，問(wèn)此數(shù)列前多少項(xiàng)和最大？并求此最大

8、值。（答：前13項(xiàng)和最大，最大值為169）；2、若是等差數(shù)列，首項(xiàng)，則使前n項(xiàng)和成立的最大正整數(shù)n是 （答：4006）(10)如果兩等差數(shù)列有公共項(xiàng)，那么由它們的公共項(xiàng)順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，且新等差數(shù)列的公差是原兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù). 注意：公共項(xiàng)僅是公共的項(xiàng)，其項(xiàng)數(shù)不一定相同，即研究.三、等比數(shù)列1、等比數(shù)列的有關(guān)概念：如果數(shù)列從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫等比數(shù)列的公比。即 （或2、等比數(shù)列的判斷方法：定義法，其中或。如1、一個(gè)等比數(shù)列共有項(xiàng)，奇數(shù)項(xiàng)之積為100，偶數(shù)項(xiàng)之積為120，則為_(kāi)（答：）；2、數(shù)列中，=4+1 (

9、)且=1，若 ，求證：數(shù)列是等比數(shù)列。3、等比數(shù)列的通項(xiàng)：或。如 設(shè)等比數(shù)列中，前項(xiàng)和126，求和公比. （答：，或2）4、等比數(shù)列的前和：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。如 等比數(shù)列中，2，S99=77，求（答：44）提醒：等比數(shù)列前項(xiàng)和公式有兩種形式，為此在求等比數(shù)列前項(xiàng)和時(shí)，首先要判斷公比是否為1，再由的情況選擇求和公式的形式，當(dāng)不能判斷公比是否為1時(shí)，要對(duì)分和兩種情形討論求解。5、等比中項(xiàng)：如果a、G、b三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)，即G=.提醒：不是任何兩數(shù)都有等比中項(xiàng)，只有同號(hào)兩數(shù)才存在等比中項(xiàng)，且有兩個(gè)。如已知兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)為A，等比中項(xiàng)為B，則A與B的大小關(guān)系為_(kāi)（答：AB

10、）提醒：（1）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式中，涉及到5個(gè)元素：、及，其中、稱作為基本元素。只要已知這5個(gè)元素中的任意3個(gè)，便可求出其余2個(gè)，即知3求2；（2）為減少運(yùn)算量，要注意設(shè)元的技巧，如奇數(shù)個(gè)數(shù)成等比，可設(shè)為，（公比為）；但偶數(shù)個(gè)數(shù)成等比時(shí)，不能設(shè)為，因公比不一定為正數(shù)，只有公比為正時(shí)才可如此設(shè)，且公比為。如有四個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)成等比數(shù)列，且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是16，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和為12，求此四個(gè)數(shù)。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）6、等比數(shù)列的性質(zhì)：（1）對(duì)稱性：若是有窮數(shù)列，則與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之積都等于首末兩項(xiàng)之積.即當(dāng)時(shí)，則有，特

11、別地，當(dāng)時(shí)，則有. 如 1、在 等比數(shù)列中， 公比q是整數(shù)，則=_（答：512）；2、各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則 （答：10）。(2) 若 a是公比為q的等比數(shù)列，則| a|、a、ka、也是等比數(shù)列，其公比分別為| q |、q、q、。若成等比數(shù)列，則、成等比數(shù)列； 若是等比數(shù)列，且公比，則數(shù)列 ，也是等比數(shù)列。當(dāng)，且為偶數(shù)時(shí)，數(shù)列 ，是常數(shù)數(shù)列0，它不是等比數(shù)列. 若是等比數(shù)列，且各項(xiàng)均為正數(shù)，則成等差數(shù)列。若項(xiàng)數(shù)為3n的等比數(shù)列(q1)前n項(xiàng)和與前n項(xiàng)積分別為S與T，次n項(xiàng)和與次n項(xiàng)積分別為S與T，最后n項(xiàng)和與n項(xiàng)積分別為S與T，則S，S，S成等比數(shù)列，T，T，T亦成等比數(shù)列如1、已知

12、且，設(shè)數(shù)列滿足，且，則. （答：）；2、在等比數(shù)列中，為其前n項(xiàng)和，若，則的值為_(kāi)（答：40）(3) 單調(diào)性：若，或則為遞增數(shù)列；若,或 則為遞減數(shù)列；若，則為擺動(dòng)數(shù)列；若，則為常數(shù)列.(4) 當(dāng)時(shí)，這里，但，這是等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的一個(gè)特征，據(jù)此很容易根據(jù)，判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列。如若是等比數(shù)列，且，則 （答：1）(5) .如設(shè)等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，若成等差數(shù)列，則的值為_(kāi)（答：2）(6) 在等比數(shù)列中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，；項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，.(7)如果數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列是非零常數(shù)數(shù)列，故常數(shù)數(shù)列僅是此數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條件。如設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為（），

13、 關(guān)于數(shù)列有下列三個(gè)命題：若，則既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列；若，則是等差數(shù)列；若，則是等比數(shù)列。這些命題中，真命題的序號(hào)是 （答：）等差數(shù)列中，Sm+n=Sm+Sn+mnd；等比數(shù)列中，Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn；四、難點(diǎn)突破1并不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式，一個(gè)數(shù)列有通項(xiàng)公式在形式上也不一定唯一已知一個(gè)數(shù)列的前幾項(xiàng)，這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式更不是唯一的2等差(比)數(shù)列的定義中有兩個(gè)要點(diǎn)：一是“從第2項(xiàng)起”，二是“每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差(比)等于同一個(gè)常數(shù)”這里的“從第2項(xiàng)起”是為了使每一項(xiàng)與它前面一項(xiàng)都確實(shí)存在，而“同一個(gè)常數(shù)”則是保證至少含有3項(xiàng)所以，一個(gè)數(shù)列是等差(比)數(shù)列的必要非充分

14、條件是這個(gè)數(shù)列至少含有3項(xiàng)3數(shù)列的表示方法應(yīng)注意的兩個(gè)問(wèn)題： a與a是不同的，前者表示數(shù)列a，a，a，而后者僅表示這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)；數(shù)列a，a，a，與集合 a，a，a，不同，差別有兩點(diǎn)：數(shù)列是一列有序排布的數(shù)，而集合是一個(gè)有確定范圍的整體；數(shù)列的項(xiàng)有明確的順序性，而集合的元素間沒(méi)有順序性4注意設(shè)元的技巧時(shí)，等比數(shù)列的奇數(shù)個(gè)項(xiàng)與偶數(shù)個(gè)項(xiàng)有區(qū)別，即：對(duì)連續(xù)奇數(shù)個(gè)項(xiàng)的等比數(shù)列，若已知其積為S，則通常設(shè)，aq， aq， a，aq，aq，；對(duì)連續(xù)偶數(shù)個(gè)項(xiàng)同號(hào)的等比數(shù)列，若已知其積為S，則通常設(shè)，aq， aq， aq，aq，5一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列的必要條件是該數(shù)列各項(xiàng)均不為0，因此，在研究等比數(shù)列時(shí)，要注意a0，因?yàn)楫?dāng)a= 0時(shí)，雖有a= a a成立，但a不是等比數(shù)列，即“b= a c”是a、b、 c成等比數(shù)列的必要非充分條件；對(duì)比等差數(shù)列a，“2b = a + c”是a、b、 c成等差數(shù)列的充要條件，這一點(diǎn)同學(xué)們要分清6由等比數(shù)列定義知，等比數(shù)列各項(xiàng)均不為0，因此，判斷一數(shù)列是否成等比數(shù)列，首先要注意特殊情況“0”等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式蘊(yùn)含著分類討論思想，需分分q = 1和q1進(jìn)行分類討論，在具體運(yùn)用公式時(shí)，常常因考慮不周而出錯(cuò)