《高中數(shù)學(xué) 第1章 空間幾何體 1.3 空間幾何體的表面積與體積 1.3.2 球的體積和表面積教材梳理素材 新人教A版必修2（通用）.doc》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第1章 空間幾何體 1.3 空間幾何體的表面積與體積 1.3.2 球的體積和表面積教材梳理素材 新人教A版必修2（通用）.doc（3頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)趨R文網(wǎng)上搜索。

1、1.3.2 球的體積和表面積皰丁巧解牛知識(shí)巧學(xué)一、球的體積1.公式：V=.2.推導(dǎo)：求一個(gè)底面半徑和高都等于R的圓柱，挖去一個(gè)以上底面為底面，下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐后，所得幾何體的體積.由于圓柱的底面圓的半徑為R且其高也為R，則V圓柱=R2R=R3，所挖去的圓錐的底面半徑和高也都是R，則V圓錐=.于是V剩余=V柱-V錐=. 再求一個(gè)半徑為R的半球的體積.它的底面積與組合體的底面積相等，它的高與組合體的高都等于R，即這兩個(gè)幾何體有相等的高與底面積.用一個(gè)平行于底面的平面去截這兩個(gè)幾何體，可以證明其面積總相等，由祖暅原理，知這兩個(gè)幾何體體積相等.所以整個(gè)球的體積公式為V=. 早在小學(xué)時(shí)我們就知道一

2、個(gè)實(shí)驗(yàn)：取一個(gè)半徑為R的半球，再取一個(gè)圓桶和一個(gè)圓錐，它們的底面半徑與高都是R，將圓錐放入圓桶內(nèi)，再將半球里裝滿細(xì)沙，把這些細(xì)沙倒入圓桶內(nèi)，這時(shí)圓桶恰好裝滿. 這個(gè)實(shí)驗(yàn)啟示我們，一個(gè)半球(半徑為R)的體積等于一個(gè)圓柱(底面半徑和高都等于R)與一個(gè)圓錐(底面半徑和高都等于R)的體積的差，即V半球=V圓柱-V圓錐=,所以知V球=2.二、球的表面積 公式：S=4R2,即球的表面積等于它的大圓面積的4倍. 對(duì)于球的表面積公式的推導(dǎo)我們后面將要學(xué)習(xí)，實(shí)際用的是微分與積分的思想,即先把球體近似地分割成小的準(zhǔn)錐體,當(dāng)這種分割足夠小時(shí)可以看作錐體,通過(guò)求它們的體積和,求出球的表面積.球的體積和表面積公式中均含

3、有，如不加特殊說(shuō)明，我們結(jié)果中保留即可.問(wèn)題探究問(wèn)題 若球的大圓的面積擴(kuò)大為原來(lái)的3倍，則它的體積擴(kuò)大為原來(lái)的幾倍？探究:球的表面積、體積的計(jì)算中，由于它們都僅與半徑有關(guān)，從而只要由條件理順半徑間的關(guān)系，即可確定體積或表面積之間的關(guān)系.如本題可設(shè)變化前后兩球半徑為r、R，則有，所以,.所以體積擴(kuò)大為原來(lái)的倍.典題熱題例1 已知過(guò)球面上三點(diǎn)A、B、C的截面到球心的距離等于球半徑的一半,且AC=BC=6,AB=4,求球面面積與球的體積.思路解析：可以用球的截面性質(zhì),借助題設(shè)給定的等量關(guān)系,建立關(guān)于球半徑的方程來(lái)解題.解：如圖1-3-20,設(shè)球心為O,球半徑為R,作OO1平面ABC于O1,圖1-3-

4、20 由于OA=OB=OC=R,則O1是ABC的外心. 設(shè)M是AB的中點(diǎn),由于AC=BC,則O1CM. 設(shè)O1M=x,易知O1MAB,則O1A=,O1C=CM-O1M=. 又O1A=O1C,.解得x=. 則O1A=O1B=O1C=. 在RtOO1A中,O1O=,OO1A=90,OA=R. 由勾股定理,得()2+()2=R2. 解得R=. 故S球面=4R2=54,V球=.方法歸納 計(jì)算球的表面積和體積的關(guān)鍵是求出球的半徑，這里就要充分利用球的截面的性質(zhì)進(jìn)行求解.已知條件中的等量關(guān)系往往是建立方程的依據(jù),這種解題的方程思想值得重視.例2 矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC將矩形ABCD折成

5、一個(gè)直二面角B-AC-D，則四面體ABCD的外接球的體積為( )A. B. C. D.思路解析：四面體ABCD的外接球的球心到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，所以球心應(yīng)為線段AC的中點(diǎn)，設(shè)球的半徑為r，因?yàn)锳C=5，所以r=，代入球的體積公式可得V球=.答案：C例3 有三個(gè)球,第一個(gè)球內(nèi)切于正方體,第二個(gè)球與這個(gè)正方體各條棱相切,第三個(gè)球過(guò)這個(gè)正方體的各個(gè)頂點(diǎn),求這三個(gè)球的表面積之比.思路解析：作出截面圖,分別求出三個(gè)球的半徑.由正方體的對(duì)稱性，球心一定和正方體的中心重合，可以畫出球的大圓的平面圖來(lái)分析.解：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a.(1)正方體的內(nèi)切球球心是正方體的中心,切點(diǎn)是六個(gè)面正方形的中心,經(jīng)過(guò)四個(gè)切點(diǎn)及球心作截面如圖1-3-21,所以有2r1=a,r1=.所以S1=4r12=a2.圖1-3-21(2)球與正方體的各棱的切點(diǎn)是每條棱的中點(diǎn),過(guò)球心作正方體的對(duì)角面得截面,如圖,2r2=,r2=,所以S2=2a2.(3)正方體的各個(gè)頂點(diǎn)在球面上,過(guò)球心作正方體的對(duì)角面得截面,如圖1-3-22所示,圖1-3-22 所以有2r3=,r3=. 所以S3=3a2. 綜上可得S1S2S3=123.深化升華 球的組合體問(wèn)題,關(guān)鍵是正確地作出截面圖,用圓的知識(shí)把立體問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題來(lái)解決.這一轉(zhuǎn)化，往往是利用球的大圓來(lái)實(shí)現(xiàn)的.