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1、第第 3 講立體幾何中的向量方法講立體幾何中的向量方法考情解讀1.以多面體(特別是棱柱、棱錐或其組合體)為載體，考查空間中平行與垂直的證明，常出現(xiàn)在解答題的第(1)問中，考查空間想象能力，推理論證能力及計算能力，屬低中檔問題.2.以多面體(特別是棱柱、棱錐或其組合體)為載體，考查空間角(主要是線面角和二面角)的計算，是高考的必考內(nèi)容，屬中檔題.3.以已知結論尋求成立的條件(或是否存在問題)的探索性問題，考查邏輯推理能力、空間想象能力以及探索能力，是近幾年高考命題的新亮點，屬中高檔問題1直線與平面、平面與平面的平行與垂直的向量方法設直線 l 的方向向量為 a(a1，b1，c1)平面、的法向量分別

2、為(a2，b2，c2)，v(a3，b3，c3)(以下相同)(1)線面平行l(wèi)aa0a1a2b1b2c1c20.(2)線面垂直laaka1ka2，b1kb2，c1kc2.(3)面面平行vva2a3，b2b3，c2c3.(4)面面垂直vv0a2a3b2b3c2c30.2直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角計算設直線 l，m 的方向向量分別為 a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)平面、的法向量分別為(a3，b3，c3)，v(a4，b4，c4)(以下相同)(1)線線夾角設 l，m 的夾角為(0)，則2cos.|ab|a|b|a1a2b1b2c1c2|a2 1b2 1c2 1a2 2b2 2

3、c2 2(2)線面夾角設直線 l 與平面 的夾角為(0)，2則 sin|cosa，|.|a|a|(3)面面夾角設半平面、的夾角為(0)，則|cos|cos，v|.|v|v|提醒求二面角時，兩法向量的夾角有可能是二面角的補角，要注意從圖中分析3求空間距離直線到平面的距離，兩平行平面的距離均可轉(zhuǎn)化為點到平面的距離，點 P 到平面 的距離：d(其中 n 為 的法向量，M 為 內(nèi)任一點).|PM n|n|熱點一利用向量證明平行與垂直例 1如圖，在直三棱柱 ADEBCF 中，面 ABFE 和面 ABCD 都是正方形且互相垂直，M 為 AB 的中點，O 為 DF 的中點運用向量方法證明：(1)OM平面 B

4、CF；(2)平面 MDF平面 EFCD.思維啟迪從 A 點出發(fā)的三條直線 AB、AD，AE 兩兩垂直，可建立空間直角坐標系證明方法一由題意，得 AB，AD，AE 兩兩垂直，以 A 為原點建立如圖所示的空間直角坐標系設正方形邊長為 1，則 A(0,0,0)，B(1，0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，F(xiàn)(1,0,1)，M，O.(12，0，0)(12，12，12)(1)，(1,0,0)，OM(0，12，12)BA 0,.OM BA OM BA 棱柱 ADEBCF 是直三棱柱，AB平面 BCF，是平面 BCF 的一個法向量，BA 且 OM平面 BCF，OM平面 BCF.(2)設平面 MDF

5、 與平面 EFCD 的一個法向量分別為n1(x1，y1，z1)，n2(x2，y2，z2)(1，1,1)，(1,0,0)，DF DM(12，1，0)DC 由 n1n10，DF DM 得Error!解得Error!令 x11，則 n1.(1，12，12)同理可得 n2(0,1,1)n1n20，平面 MDF平面 EFCD.方法二(1)OM OF FB BM 12DF BF 12BA ()12DB BF BF 12BA 12BD 12BF 12BA ()12BC BA 12BF 12BA.12BC 12BF 向量與向量，共面，OM BF BC 又 OM平面 BCF，OM平面 BCF.(2)由題意知，B

6、F，BC，BA 兩兩垂直，CD BA FC BC BF 0，OM CD(12BC 12BF)BA()OM FC(12BC 12BF)BC BF 220.12BC 12BF OMCD，OMFC，又 CDFCC，OM平面 EFCD.又 OM平面 MDF，平面 MDF平面 EFCD.思維升華(1)要證明線面平行，只需證明向量與平面 BCF 的法向量垂直；另一個思路則OM 是根據(jù)共面向量定理證明向量與，共面(2)要證明面面垂直，只要證明這兩個平面OM BF BC 的法向量互相垂直；也可根據(jù)面面垂直的判定定理證明直線 OM 垂直于平面 EFCD，即證 OM垂直于平面 EFCD 內(nèi)的兩條相交直線，從而轉(zhuǎn)化

7、為證明向量與向量、垂直O(jiān)M FC CD 如圖，在四棱錐 PABCD 中，PA平面 ABCD，底面 ABCD是菱形，PAAB2，BAD60，E 是 PA 的中點(1)求證：直線 PC平面 BDE；(2)求證：BDPC；證明設 ACBDO.因為BAD60，AB2，底面 ABCD 為菱形，所以 BO1，AOCO，ACBD.3如圖，以 O 為坐標原點，以 OB，OC 所在直線分別為 x 軸，y 軸，過點 O 且平行于 PA 的直線為 z 軸，建立空間直角坐標系 Oxyz，則 P(0，2)，A(0，0)，B(1,0,0)，C(0，0)，D(3331,0,0)，E(0，1)3(1)設平面 BDE 的法向量

8、為 n1(x1，y1，z1)，因為(1，1)，(2,0,0)，由Error!BE 3BD 得Error!令 z1，得 y11，所以 n1(0,1，)33又(0,2，2)，所以n10220，PC 3PC 33即n1，又 PC平面 BDE，PC 所以 PC平面 BDE.(2)因為(0,2，2)，(2,0,0)，PC 3BD 所以0.PC BD 故 BDPC.熱點二利用向量求空間角例 2如圖，五面體中，四邊形 ABCD 是矩形，ABEF，AD平面 ABEF，且 AD1，AB EF2，AFBE2，P、Q 分別為 AE、BD 的中122點(1)求證：PQ平面 BCE；(2)求二面角 ADFE 的余弦值思

9、維啟迪(1)易知 PQ 為ACE 的中位線；(2)根據(jù) AD平面 ABEF 構建空間直角坐標系(1)證明連接 AC，四邊形 ABCD 是矩形，且 Q 為 BD 的中點，Q 為 AC 的中點，又在AEC 中，P 為 AE 的中點，PQEC，EC面 BCE，PQ面 BCE，PQ平面 BCE.(2)解如圖，取 EF 的中點 M，則 AFAM，以 A 為坐標原點，以AM、AF、AD 所在直線分別為 x，y，z 軸建立空間直角坐標系則 A(0,0,0)，D(0,0,1)，M(2,0,0)，F(xiàn)(0,2,0)可得(2,0,0)，(2,2,0)，(0,2，1)AM MF DF 設平面 DEF 的法向量為 n(

10、x，y，z)，則Error!.故Error!，即Error!.令 x1，則 y1，z2，故 n(1,1,2)是平面 DEF 的一個法向量AM面 ADF，為平面 ADF 的一個法向量AM cosn，.AM nAM|n|AM|2 10 10 26 266由圖可知所求二面角為銳角，二面角 ADFE 的余弦值為.66思維升華(1)運用空間向量坐標運算求空間角的一般步驟：建立恰當?shù)目臻g直角坐標系；求出相關點的坐標；寫出向量坐標；結合公式進行論證、計算；轉(zhuǎn)化為幾何結論(2)求空間角注意：兩條異面直線所成的角 不一定是直線的方向向量的夾角，即 cos|cos|.兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，有可

11、能為兩法向量夾角的補角直線和平面所成的角的正弦值等于平面法向量與直線方向向量夾角的余弦值的絕對值，即注意函數(shù)名稱的變化(2013山東)如圖所示，在三棱錐 PABQ 中，PB平面ABQ，BABPBQ，D，C，E，F(xiàn) 分別是 AQ，BQ，AP，BP 的中點，AQ2BD，PD 與 EQ 交于點 G，PC 與 FQ 交于點 H，連接 GH.(1)求證：ABGH；(2)求二面角 DGHE 的余弦值(1)證明因為 D，C，E，F(xiàn) 分別是 AQ，BQ，AP，BP 的中點，所以 EFAB，DCAB.所以 EFDC.又 EF平面 PCD，DC平面 PCD，所以 EF平面 PCD.又 EF平面 EFQ，平面 EF

12、Q平面 PCDGH，所以 EFGH.又 EFAB，所以 ABGH.(2)解方法一在ABQ 中，AQ2BD，ADDQ，所以ABQ90，即 ABBQ.因為 PB平面 ABQ，所以 ABPB.又 BPBQB，所以 AB平面 PBQ.由(1)知 ABGH，所以 GH平面 PBQ.又 FH平面 PBQ，所以 GHFH.同理可得 GHHC，所以FHC 為二面角 DGHE 的平面角設 BABQBP2，連接 FC，在 RtFBC 中，由勾股定理得FC，2在 RtPBC 中，由勾股定理得PC.5又 H 為PBQ 的重心，所以 HC PC.同理 FH.135353在FHC 中，由余弦定理得 cosFHC59592

13、2 59.即二面角 DGHE 的余弦值為.4545方法二在ABQ 中，AQ2BD，ADDQ，所以ABQ90又 PB平面 ABQ，所以 BA，BQ，BP 兩兩垂直以 B 為坐標原點，分別以 BA，BQ，BP 所在直線為 x 軸，y 軸，z 軸，建立如圖所示的空間直角坐標系設 BABQBP2，則 E(1,0,1)，F(xiàn)(0,0,1)，Q(0,2,0)，D(1,1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,2)所以(1,2，1)，(0,2，1)，(1，1，2)，(0，1,2)EQ FQ DP CP 設平面 EFQ 的一個法向量為 m(x1，y1，z1)，由 m0，m0，EQ FQ 得Error!取 y11，

14、得 m(0,1,2)設平面 PDC 的一個法向量為 n(x2，y2，z2)，由 n0，n0，DP CP 得Error!取 z21，得 n(0,2,1)所以 cosm，n.mn|m|n|45因為二面角 DGHE 為鈍角，所以二面角 DGHE 的余弦值為.45熱點三利用空間向量求解探索性問題例 3如圖，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABBC2AA1，ABC90，D 是 BC 的中點(1)求證：A1B平面 ADC1；(2)求二面角 C1ADC 的余弦值；(3)試問線段 A1B1上是否存在點 E，使 AE 與 DC1成 60角？若存在，確定 E 點位置；若不存在，說明理由(1)證明連接 A1C，交

15、 AC1于點 O，連接 OD.由 ABCA1B1C1是直三棱柱，得四邊形 ACC1A1為矩形，O 為 A1C的中點又 D 為 BC 的中點，所以 OD 為A1BC 的中位線，所以 A1BOD.因為 OD平面 ADC1，A1B平面 ADC1，所以 A1B平面 ADC1.(2)解由 ABCA1B1C1是直三棱柱，且ABC90，得 BA，BC，BB1兩兩垂直以 BC，BA，BB1所在直線分別為 x，y，z 軸，建立如圖所示的空間直角坐標系 Bxyz.設 BA2，則 B(0,0,0)，C(2,0,0)，A(0,2,0)，C1(2,0,1)，D(1,0,0)，所以(1，2,0)，1(2，2,1)AD A

16、C 設平面 ADC1的法向量為 n(x，y，z)，則有Error!所以Error!取 y1，得 n(2,1，2)易知平面 ADC 的一個法向量為 v(0,0,1)所以 cosn，v.nv|n|v|23因為二面角 C1ADC 是銳二面角，所以二面角 C1ADC 的余弦值為.23(3)解假設存在滿足條件的點 E.因為點 E 在線段 A1B1上，A1(0,2,1)，B1(0,0,1)，故可設 E(0，1)，其中 02.所以(0，2,1)，1(1,0,1)AE DC 因為 AE 與 DC1成 60角，所以|cos，1|，AE DC|AE DC 1|AE|DC 1|12即，解得 1 或 3(舍去)122

17、1 212所以當點 E 為線段 A1B1的中點時，AE 與 DC1成 60角思維升華空間向量最適合于解決這類立體幾何中的探索性問題，它無需進行復雜的作圖、論證、推理，只需通過坐標運算進行判斷解題時，把要成立的結論當作條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否存在”問題轉(zhuǎn)化為“點的坐標是否有解，是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等，所以為使問題的解決更簡單、有效，應善于運用這一方法 如圖，在三棱錐 PABC 中，ACBC2，ACB90，APBPAB，PCAC，點 D 為 BC 的中點(1)求二面角 APDB 的余弦值；(2)在直線 AB 上是否存在點 M，使得 PM 與平面 PAD 所成角的正弦值為，16若存在，求

18、出點 M 的位置；若不存在，說明理由解(1)ACBC，PAPB，PCPC，PCAPCB，PCAPCB，PCAC，PCCB，又 ACCBC，PC平面 ACB，且 PC，CA，CB 兩兩垂直，故以 C 為坐標原點，分別以 CB，CA，CP 所在直線為 x，y，z 軸建立空間直角坐標系，則C(0,0,0)，A(0,2,0)，D(1,0,0)，P(0,0,2)，(1，2,0)，(1,0，2)，AD PD 設平面 PAD 的一個法向量為 n(x，y，z)，Error!，取 n(2,1,1)，平面 PDB 的一個法向量為(0,2,0)，CA cosn，CA 66設二面角 APDB 的平面角為，且 為鈍角，

19、cos，二面角 APDB 的余弦值為.6666(2)方法一存在，M 是 AB 的中點或 A 是 MB 的中點設 M(x,2x,0)(xR)，(x,2x，2)，PM|cos，n|，PM|x|x22x24 616解得 x1 或 x2，M(1,1,0)或 M(2,4,0)，在直線 AB 上存在點 M，且當 M 是 AB 的中點或 A 是 MB 的中點時，使得 PM 與平面 PAD 所成角的正弦值為.16方法二存在，M 是 AB 的中點或 A 是 MB 的中點設，AM AB 則(2，2,0)(2，2，0)(R)，AM(2，22，2)，PM PA AM|cos，n|.PM|2|222224 616解得

20、或 1.12M 是 AB 的中點或 A 是 MB 的中點在直線 AB 上存在點 M，且當 M 是 AB 的中點或 A 是 MB 的中點時，使得 PM 與平面 PAD所成角的正弦值為.16空間向量在處理空間問題時具有很大的優(yōu)越性，能把“非運算”問題“運算”化，即通過直線的方向向量和平面的法向量，把立體幾何中的平行、垂直關系，各類角、距離以向量的方式表達出來，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為空間向量的運算問題應用的核心是充分認識形體特征，進而建立空間直角坐標系，通過向量的運算解答問題，達到幾何問題代數(shù)化的目的，同時注意運算的準確性提醒三點：(1)直線的方向向量和平面的法向量所成角的余弦值的絕對值是線面角的正弦

21、值，而不是余弦值(2)求二面角除利用法向量外，還可以按照二面角的平面角的定義和空間任意兩個向量都是共面向量的知識，我們只要是在二面角的兩個半平面內(nèi)分別作和二面角的棱垂直的向量，并且兩個向量的方向均指向棱或者都從棱指向外，那么這兩個向量所成的角的大小就是二面角的大小如圖所示(3)對于空間任意一點 O 和不共線的三點 A，B，C，且有xyz(x，y，zR)，OP OA OB OC 四點 P，A，B，C 共面的充要條件是 xyz1.空間一點 P 位于平面 MAB 內(nèi)存在有序?qū)崝?shù)對 x，y，使xy，或?qū)臻g任一定MP MA MB 點 O，有序?qū)崝?shù)對 x，y，使xy.OP OM MA MB 真題感悟(2

22、014北京)如圖，正方形 AMDE 的邊長為 2，B，C 分別為 AM，MD 的中點，在五棱錐 PABCDE 中，F(xiàn) 為棱 PE 的中點，平面 ABF 與棱 PD，PC 分別交于點 G，H.(1)求證：ABFG；(2)若 PA底面 ABCDE，且 PAAE，求直線 BC 與平面 ABF 所成角的大小，并求線段 PH 的長(1)證明在正方形 AMDE 中，因為 B 是 AM 的中點，所以 ABDE.又因為 AB平面 PDE，DE平面 PDE，所以 AB平面 PDE.因為 AB平面 ABF，且平面 ABF平面 PDEFG，所以 ABFG.(2)解因為 PA底面 ABCDE，所以 PAAB，PAAE

23、.如圖建立空間直角坐標系 Axyz，則 A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(2,1,0)，P(0,0,2)，F(xiàn)(0,1,1)，(1,1,0)BC 設平面 ABF 的一個法向量為 n(x，y，z)，則Error!即Error!令 z1，則 y1，所以 n(0，1,1)設直線 BC 與平面 ABF 所成角為，則 sin|cosn，|.BC|nBC|n|BC|12因此直線 BC 與平面 ABF 所成角的大小為，6設點 H 的坐標為(u，v，w)因為點 H 在棱 PC 上，所以可設(00)，則 C(m，0)，(m，0)3AC 3設 n1(x，y，z)為平面 ACE 的法向量，則Error!即Err

24、or!可取 n1(，1，)3m3又 n2(1,0,0)為平面 DAE 的法向量，由題設|cosn1，n2|，12即 ，334m212解得 m.32因為 E 為 PD 的中點，所以三棱錐 EACD 的高為，12三棱錐 EACD 的體積 V .1312332123813如圖，在三棱柱 ABCA1B1C1中，側面 AA1C1C底面 ABC，AA1A1CAC2，ABBC，ABBC，O 為 AC 的中點(1)證明：A1O平面 ABC；(2)求直線 A1C 與平面 A1AB 所成角的正弦值；(3)在 BC1上是否存在一點 E，使得 OE平面 A1AB？若存在，確定點 E 的位置；若不存在，請說明理由(1)

25、證明AA1A1CAC2，且 O 為 AC 的中點，A1OAC.又側面 AA1C1C底面 ABC，交線為 AC，A1O平面 AA1C1C，A1O平面 ABC.(2)解連接 OB，如圖，以 O 為原點，分別以 OB、OC、OA1所在直線為 x、y、z 軸，建立空間直角坐標系，則由題意可知 B(1,0,0)，C(0,1,0)，A1(0,0，)，A(0，1,0)3(0,1，)，設平面 A1AB 的法向量為 n(x，y，z)，則 nA1C 3AA1 n0，而(0,1，)，(1,1,0)，可求得一個法向量 n(3，3，)，AB AA1 3AB 3|cos，n|，A1C|nA1C|n|A1C|62 21217故直線 A1C 與平面 A1AB 所成角的正弦值為.217(3)解存在點 E，且 E 為線段 BC1的中點連接 B1C 交 BC1于點 M，連接 AB1、OM，則 M 為 B1C 的中點，從而 OM 是CAB1的一條中位線，OMAB1，又 AB1平面 A1AB，OM平面 A1AB，OM平面 A1AB，故 BC1的中點 M 即為所求的 E 點