《2021高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題練三核心熱點突破專題三立體幾何第3講立體幾何中的向量方法含解析202103112176.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2021高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題練三核心熱點突破專題三立體幾何第3講立體幾何中的向量方法含解析202103112176.doc（26頁珍藏版）》請在匯文網(wǎng)上搜索。

1、第3講立體幾何中的向量方法高考定位以空間幾何體為載體考查空間角是高考命題的重點，常與空間線面關(guān)系的證明相結(jié)合，熱點為二面角的求解，均以解答題的形式進(jìn)行考查，難度主要體現(xiàn)在建立空間直角坐標(biāo)系和準(zhǔn)確計算上.真 題 感 悟1.(2020新高考山東卷)如圖，四棱錐PABCD的底面為正方形，PD底面ABCD.設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l.(1)證明：l平面PDC；(2)已知PDAD1，Q為l上的點，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值.(1)證明因為PD底面ABCD，所以PDAD.又底面ABCD為正方形，所以ADDC，又PDDCD，所以AD平面PDC.因為ADBC，AD平面PBC，所以AD平面

2、PBC.由已知得lAD，因此l平面PDC.(2)解以D為坐標(biāo)原點，的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz.則D(0，0，0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，P(0，0，1)，(0，1，0)，(1，1，1).由(1)可設(shè)Q(a，0，1)，則(a，0，1).設(shè)n(x，y，z)是平面QCD的法向量，則 即可取n(1，0，a).所以cosn，.設(shè)PB與平面QCD所成角為，則sin .因為，當(dāng)且僅當(dāng)a1時等號成立，所以PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值為.2.(2020全國卷)如圖，D為圓錐的頂點，O是圓錐底面的圓心，AE為底面直徑，AEAD.ABC是底面的內(nèi)接正三角形，P為

3、DO上一點，PODO.(1)證明：PA平面PBC；(2)求二面角BPCE的余弦值.(1)證明設(shè)DOa，由題設(shè)可得POa，AOa，ABACBCa，PAPBPCa.因此PA2PB2AB2，從而PAPB.又PA2PC2AC2，故PAPC.又PB，PC平面PBC，PBPCP，所以PA平面PBC.(2)解以O(shè)為坐標(biāo)原點，的方向為y軸正方向，的方向為z軸正方向，|為單位長度，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz.由題設(shè)可得E(0，1，0)，A(0，1，0)，C，P.所以，.設(shè)m(x，y，z)是平面PCE的法向量，則即可取m.由(1)知是平面PCB的一個法向量.記n，則cosn，m.所以二面角BPCE的余弦

4、值為.考 點 整 合1.直線與平面、平面與平面的平行與垂直的向量方法設(shè)直線l的方向向量為a(a1，b1，c1)，平面，的法向量分別為(a2，b2，c2)，v(a3，b3，c3)，則(1)線面平行l(wèi)aa0a1a2b1b2c1c20.(2)線面垂直laaka1ka2，b1kb2，c1kc2.(3)面面平行vva2a3，b2b3，c2c3.(4)面面垂直vv0a2a3b2b3c2c30.2.直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角計算設(shè)直線l，m的方向向量分別為a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)，平面，的法向量分別為(a3，b3，c3)，v(a4，b4，c4)(以下相同).(1)線線夾角

5、設(shè)l，m的夾角為，則cos .(2)線面夾角設(shè)直線l與平面的夾角為，則sin |cosa，|.(3)面面夾角設(shè)平面，的夾角為(0)，則|cos |cos，v|.熱點一利用空間向量證明平行、垂直【例1】 如圖，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ADAB，ABDC，ADDCAP2，AB1，點E為棱PC的中點.證明：(1)BEDC；(2)BE平面PAD；(3)平面PCD平面PAD.證明依題意，以點A為原點建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，可得B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2).由E為棱PC的中點，得E(1，1，1).(1)向量(0，1，1)，(2，0，0)，故0.

6、所以BEDC.(2)因為ABAD，又PA平面ABCD，AB平面ABCD，所以ABPA，PAADA，PA，AD平面PAD，所以AB平面PAD，所以向量(1，0，0)為平面PAD的一個法向量，而(0，1，1)(1，0，0)0，所以BEAB，又BE平面PAD，所以BE平面PAD.(3)由(2)知平面PAD的法向量(1，0，0)，向量(0，2，2)，(2，0，0)，設(shè)平面PCD的法向量為n(x，y，z)，則即不妨令y1，可得n(0，1，1)為平面PCD的一個法向量.且n(0，1，1)(1，0，0)0，所以n.所以平面PAD平面PCD.探究提高1.利用向量法證明平行、垂直，關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系(盡可能

7、利用垂直條件，準(zhǔn)確寫出相關(guān)點的坐標(biāo)，進(jìn)而用向量表示涉及到直線、平面的要素).2.向量證明的核心是利用向量的數(shù)量積或數(shù)乘向量，但向量證明仍然離不開立體幾何的定理，如在(2)中忽略BE平面PAD而致誤.【訓(xùn)練1】 如圖，在直三棱柱ADEBCF中，平面ABFE和平面ABCD都是正方形且互相垂直，點M為AB的中點，點O為DF的中點.證明：(1)OM平面BCF；(2)平面MDF平面EFCD.證明(1)由題意，得AB，AD，AE兩兩垂直，以點A為原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.設(shè)正方形邊長為1，則A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，F(xiàn)(1，0，1)，M，O.，

8、(1，0，0)，0，.棱柱ADEBCF是直三棱柱，AB平面BCF，是平面BCF的一個法向量，且OM平面BCF，OM平面BCF.(2)在第(1)問的空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)平面MDF與平面EFCD的法向量分別為n1(x1，y1，z1)，n2(x2，y2，z2).(1，1，1)，(1，0，0)，(0，1，1)，由得令x11，則n1.同理可得n2(0，1，1).n1n20，平面MDF平面EFCD.熱點二線線角、線面角的求解【例2】 (2020浙江卷)如圖，在三棱臺ABCDEF中，平面ACFD平面ABC，ACBACD45，DC2BC.(1)證明：EFDB；(2)求直線DF與平面DBC所成角的正弦值.(1)

9、證明如圖(1)，過點D作DOAC，交直線AC于點O，連接OB.圖(1)由ACD45，DOAC，得CDCO.由平面ACFD平面ABC，得DO平面ABC，所以DOBC.由ACB45，BCCDCO，得BOBC.所以BC平面BDO，故BCDB.由ABCDEF為三棱臺，得BCEF，所以EFDB.(2)解法一如圖(1)，過點O作OHBD，交直線BD于點H，連接CH.由ABCDEF為三棱臺，得DFCO，所以直線DF與平面DBC所成角等于直線CO與平面DBC所成角.由BC平面BDO，得OHBC，故OH平面DBC，所以O(shè)CH為直線CO與平面DBC所成角.設(shè)CD2，則DOOC2，BOBC，得BD，OH，所以sin

10、OCH.因此，直線DF與平面DBC所成角的正弦值為.法二由ABCDEF為三棱臺，得DFCO，所以直線DF與平面DBC所成角等于直線CO與平面DBC所成角，記為.如圖(2)，以O(shè)為原點，分別以射線OC，OD為y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.圖(2)設(shè)CD2，由題意知各點坐標(biāo)如下：O(0，0，0)，B(1，1，0)，C(0，2，0)，D(0，0，2).因此(0，2，0)，(1，1，0)，(0，2，2).設(shè)平面DBC的一個法向量為n(x，y，z)，由即可取n(1，1，1)，所以sin |cos，n|.因此，直線DF與平面DBC所成角的正弦值為.探究提高1.異面直線所成的角，可以通過兩直

11、線的方向向量的夾角求得，即cos |cos |.2.直線與平面所成的角主要通過直線的方向向量與平面的法向量的夾角求得，即sin |cos |，有時也可分別求出斜線與它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個方向向量的夾角(或其補角).【訓(xùn)練2】 (2020全國卷)如圖，已知三棱柱ABCA1B1C1的底面是正三角形，側(cè)面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點，P為AM上一點，過B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.(1)證明：AA1MN，且平面A1AMN平面EB1C1F；(2)設(shè)O為A1B1C1的中心.若AO平面EB1C1F，且AOAB，求直線B1E與平面A1AMN所成角的正

12、弦值.(1)證明因為側(cè)面BB1C1C是矩形且M，N分別為BC，B1C1的中點，所以MNCC1.又由已知得AA1CC1，故AA1MN.因為A1B1C1是正三角形，所以B1C1A1N.又側(cè)面BB1C1C是矩形，所以B1C1MN.又A1NMNN，A1N，MN平面A1AMN，所以B1C1平面A1AMN.又B1C1平面EB1C1F，所以平面A1AMN平面EB1C1F.(2)解由已知及(1)得AMBC，MNBC，AMMN.以M為坐標(biāo)原點，的方向為x軸正方向，|為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Mxyz，則AB2，AM.連接NP，AO平面EB1C1F，AO平面A1AMN，平面A1AMN平面EB1C1FP

13、N，故AOPN.又APON，則四邊形AONP為平行四邊形，故PM，E.由(1)知平面A1AMN平面ABC.作NQAM，垂足為Q，則NQ平面ABC.設(shè)Q(a，0，0)，則NQ，B1.故，|.又n(0，1，0)是平面A1AMN的一個法向量，故sincosn，.所以直線B1E與平面A1AMN所成角的正弦值為.熱點三利用向量求二面角【例3】 (2020全國卷)如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別在棱DD1，BB1上，且2DEED1，BF2FB1.(1)證明：點C1在平面AEF內(nèi)；(2)若AB2，AD1，AA13，求二面角AEFA1的正弦值.解設(shè)ABa，ADb，AA1c.如圖，以C1為坐標(biāo)原點，的方向為x軸正方向， 建立空間直角坐標(biāo)系C1xyz.(1)證明連接C1F，C1(0，0，0)，A(a，b，c)，E，F(xiàn)，得，因此EAC1F，即A，E，F(xiàn)，C1四點共面，所以點C1在平面AEF內(nèi).(2)由已知得A(2，1，3)，E(2，0，2)，F(xiàn)(0，1，1)，A1(2，1，0)，(0，1，1)，(2，0，2)，(0，1，2)，(2，0，1).設(shè)n1(x，y，z)為平面AEF的法向量，則即可取n1(1，1，1).設(shè)n2為平面A1EF的法向量，則同理可取n2.設(shè)二面角AEFA1的平面角為，所以cos cosn1，n2，