《2022版新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：第二部分-專題三-第3講-立體幾何中的向量方法-Word版含解析.doc》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2022版新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：第二部分-專題三-第3講-立體幾何中的向量方法-Word版含解析.doc（25頁珍藏版）》請?jiān)趨R文網(wǎng)上搜索。

1、第3講立體幾何中的向量方法做真題1(2019高考全國卷)如圖，長方體ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點(diǎn)E在棱AA1上，BEEC1.(1)證明：BE平面EB1C1；(2)若AEA1E，求二面角BECC1的正弦值解：(1)證明：由已知得，B1C1平面ABB1A1，BE平面ABB1A1，故B1C1BE.又BEEC1，所以BE平面EB1C1.(2)由(1)知BEB190.由題設(shè)知RtABERtA1B1E，所以AEB45，故AEAB，AA12AB.以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，|為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則C(0，1，0)，B(1，1，0)，C1(0，1，2)

2、，E(1，0，1)，(1，0，0)，(1，1，1)，1(0，0，2)設(shè)平面EBC的法向量為n(x，y，z)，則即所以可取n(0，1，1)設(shè)平面ECC1的法向量為m(x1，y1，z1)，則即所以可取m(1，1，0)于是cosn，m.所以，二面角BECC1的正弦值為.2(2018高考全國卷)如圖，四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，以DF為折痕把DFC折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置，且PFBF.(1)證明：平面PEF平面ABFD；(2)求DP與平面ABFD所成角的正弦值解：(1)證明：由已知可得，BFPF，BFEF，所以BF平面PEF.又BF平面ABFD，所以平面PEF平面ABFD.

3、(2)作PHEF，垂足為H.由(1)得，PH平面ABFD.以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閥軸正方向，|為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Hxyz.由(1)可得，DEPE.又DP2，DE1，所以PE.又PF1，EF2，故PEPF.可得PH，EH.則H(0，0，0)，P，D，為平面ABFD的法向量設(shè)DP與平面ABFD所成角為，則sin .所以DP與平面ABFD所成角的正弦值為.山東省學(xué)習(xí)指導(dǎo)意見1空間向量及其運(yùn)算(1)經(jīng)歷向量及其運(yùn)算由平面向空間推廣的過程(2)了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示(3)掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示(4)掌握空間

4、向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直2空間向量的應(yīng)用(1)理解直線的方向向量與平面的法向量(2)能用向量語言表述線線、線面、面面的垂直、平行關(guān)系(3)能用向量方法證明有關(guān)線、面位置關(guān)系的一些定理(包括三垂線定理)(4)能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計(jì)算問題，體會(huì)向量方法在研究幾何問題中的作用利用空間向量證明平行與垂直典型例題 如圖，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ADAB，ABDC，ADDCAP2，AB1，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn)證明：(1)BEDC；(2)BE平面PAD；(3)平面PCD平面PAD.【證明】依題意，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)

5、，可得B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)由E為棱PC的中點(diǎn)，得E(1，1，1)(1)向量(0，1，1)，(2，0，0)，故0.所以BEDC.(2)因?yàn)锳BAD，又PA平面ABCD，AB平面ABCD，所以ABPA，PAADA，所以AB平面PAD，所以向量(1，0，0)為平面PAD的一個(gè)法向量而(0，1，1)(1，0，0)0，所以BEAB，又BE平面PAD，所以BE平面PAD.(3)由(2)知平面PAD的一個(gè)法向量(1，0，0)，向量(0，2，2)，(2，0，0)，設(shè)平面PCD的法向量為n(x，y，z)，則即不妨令y1，可得n(0，1，1)為平面PCD的一個(gè)法向

6、量且n(0，1，1)(1，0，0)0，所以n.所以平面PCD平面PAD.設(shè)直線l的方向向量為a(a1，b1，c1)，平面、的法向量分別為(a2，b2，c2)，(a3，b3，c3)則有：(1)線面平行l(wèi)aa0a1a2b1b2c1c20.(2)線面垂直laaka1ka2，b1kb2，c1kc2.(3)面面平行a2a3，b2b3，c2c3.(4)面面垂直0a2a3b2b3c2c30. 對點(diǎn)訓(xùn)練在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90，BC2，CC14，點(diǎn)E在線段BB1上，且EB11，D，F(xiàn)，G分別為CC1，C1B1，C1A1的中點(diǎn)求證：(1)B1D平面ABD；(2)平面EGF平面ABD.證明：(1

7、)依題意，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA，BC，BB1所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則B(0，0，0)，D(0，2，2)，B1(0，0，4)，C1(0，2，4)，設(shè)BAa，則A(a，0，0)，所以(a，0，0)，(0，2，2)，(0，2，2)，0，0440，即B1DBA，B1DBD.又BABDB，BA，BD平面ABD，因此B1D平面ABD.(2)由(1)知，E(0，0，3)，G，F(xiàn)(0，1，4)，則，(0，1，1)，0220，0220，即B1DEG，B1DEF.又EGEFE，EG，EF平面EGF，因此B1D平面EGF.結(jié)合(1)可知是平面ABD的一個(gè)法向量，所以平面EG

8、F平面ABD.利用空間向量求空間角典型例題命題角度一異面直線所成的角 已知在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為_【解析】如圖，在平面ABC內(nèi)過點(diǎn)B作BDAB，交AC于點(diǎn)D，則CBD30.因?yàn)锽B1平面ABC，故以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以射線BD，BA，BB1為x軸、y軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，則B(0，0，0)，A(0，2，0)，B1(0，0，1)，C1(cos 30，sin 30，1)，即C1.所以(0，2，1)，.所以cos，.所以異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為.【答案】兩異面直線所成角的求法(1)定義法

9、：過空間中任一點(diǎn)，分別作兩異面直線的平行線，則這兩條相交直線所成的銳角或直角等于兩異面直線所成的角定義法求解的實(shí)質(zhì)就是將空間中兩異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為平面三角形的內(nèi)角進(jìn)行求解(2)向量法：設(shè)異面直線a，b的方向向量分別為a，b，則異面直線a，b所成角的余弦值等于|cosa，b|. 命題角度二直線與平面所成的角 (一題多解)(2019聊城模擬)如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，ACBB1，ABA1BAC2，BB12.(1)求證：A1B平面ABC；(2)若P是棱B1C1的中點(diǎn)，求直線BB1與平面PAB所成角的正弦值【解】(1)因?yàn)樵谌庵鵄BCA1B1C1中，ABAC，ACBB1，AB

10、BB1B，所以AC平面ABB1A1，又A1B平面ABB1A1，所以ACA1B.因?yàn)锽B12，所以AA12，因?yàn)锳BA1B2，所以AB2A1B2AA，所以A1BAB，又ACABA，所以A1B平面ABC.(2)法一：由(1)知，直線A1C1，A1B1，BA1兩兩互相垂直，如圖，以A1為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以A1C1，A1B1，BA1所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)1xyz，則A1(0，0，0)，P(1，1，0)，B(0，0，2)，B1(0，2，0)，(0，2，0)，(1，1，2)，設(shè)平面PAB的法向量為n(x，y，z)，則，即，取z1，則n(2，0，1)為平面PAB的一個(gè)法向量(0，2，2)

11、，設(shè)直線BB1與平面PAB所成的角為，則sin |cosn，|.所以直線BB1與平面PAB所成角的正弦值為.法二：由(1)知，直線AC，AB，BA1兩兩互相垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AC，AB，Az所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則A(0，0，0)，P(1，3，2)，B(0，2，0)，B1(0，4，2)，(0，2，0)，(1，1，2)，設(shè)平面PAB的法向量為n(x，y，z)，則，即，取z1，則n(2，0，1)為平面PAB的一個(gè)法向量(0，2，2)，設(shè)直線BB1與平面PAB所成的角為，則sin |cosn，|.所以直線BB1與平面PAB所成角的正弦值為.向量法求直

12、線和平面所成的角設(shè)為直線l與平面所成的角，為直線l的方向向量v與平面的法向量n之間的夾角，則有(如圖1)或(如圖2)，所以有sin |cos |cosv，n|.特別地，0時(shí)，l；時(shí)，0，l或l. 命題角度三二面角的平面角 (2019四省八校雙教研聯(lián)考)如圖，在四棱錐PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABCD，ABAD，M為AD的中點(diǎn)，PAPD，ADAB2CD2.(1)求證：平面PMB平面PAC；(2)求二面角APCD的余弦值【解】(1)證明：因?yàn)镻APD，M為AD的中點(diǎn)，所以PMAD，又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以PM平面ABCD，所以PMAC，易知tanABM

13、，tanDAC，所以ABMDAC，又AMBABM，所以AMBDAC，所以MBAC，又PMMBM，所以AC平面PMB，又AC平面PAC，所以平面PMB平面PAC.(2)如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則A(1，0，0)，D(1，0，0)，C(1，1，0)，P(0，0，2)設(shè)平面PAC的法向量為n1(x，y，z)，因?yàn)?2，1，0)，(1，0，2)，所以，令z1，則x2，y4，所以n1(2，4，1)為平面PAC的一個(gè)法向量設(shè)平面PDC的法向量為n2(x1，y1，z1)，因?yàn)?0，1，0)，(1，0，2)，所以，令z11，則y10，x12，所以n2(2，0，1)為平面PCD的一個(gè)法向量設(shè)二面角APCD的大小為，則cos .向量法求二面角設(shè)二面角l的平面角為(0)，n1，n2分別為平面，的法向量，向量n1，n2的夾角為，則有(如圖1)或(如圖2)，其中cos . 對點(diǎn)訓(xùn)練(2019蓉城名校第一次聯(lián)考)如圖，在四棱錐PABCD中，ADBC，ABBC，ADAB2BC2，APAC，BP3BC.(1)求證：平面PAD平面ABC