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1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計復(fù)習(xí)提要第一章 隨機事件與概率1事件的關(guān)系 2運算規(guī)則 （1） （2）（3）（4）3概率滿足的三條公理及性質(zhì)：（1） （2）（3）對互不相容的事件，有 （可以?。?） （5） （6），若，則，（7）（8）4古典概型：基本事件有限且等可能5幾何概率6條件概率（1） 定義：若，則（2） 乘法公式：若為完備事件組，則有（3） 全概率公式： （4） Bayes公式： 7事件的獨立性： 獨立 （注意獨立性的應(yīng)用）第二章隨機變量與概率分布1 離散隨機變量：取有限或可列個值，滿足（1），（2）=1 （3）對任意，2 連續(xù)隨機變量：具有概率密度函數(shù)，滿足（1）；（2）；（3）對任意，3 幾個

2、常用隨機變量名稱與記號分布列或密度數(shù)學(xué)期望方差兩點分布，二項式分布，Poisson分布幾何分布均勻分布，指數(shù)分布正態(tài)分布4 分布函數(shù) ，具有以下性質(zhì) （1）；（2）單調(diào)非降；（3）右連續(xù)； （4），特別； （5）對離散隨機變量，； （6）對連續(xù)隨機變量，為連續(xù)函數(shù)，且在連續(xù)點上，5 正態(tài)分布的概率計算 以記標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)，則有 （1）；（2）；（3）若，則； （4）以記標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上側(cè)分位數(shù)，則6 隨機變量的函數(shù) （1）離散時，求的值，將相同的概率相加； （2）連續(xù)，在的取值范圍內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)，且有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則，若不單調(diào)，先求分布函數(shù)，再求導(dǎo)。第四章 隨機變量的數(shù)字特征1期望(1)

3、離散時 ， ；(2) 連續(xù)時，；(3) 二維時，(4)；（5）；（6）；（7）獨立時，2方差（1）方差，標(biāo)準(zhǔn)差；（2）；（3）；（4）獨立時，3協(xié)方差（1）；（2）；（3）；（4）時，稱不相關(guān)，獨立不相關(guān)，反之不成立，但正態(tài)時等價；（5）4相關(guān)系數(shù) ；有，5 階原點矩， 階中心矩第五章 大數(shù)定律與中心極限定理1Chebyshev不等式 或2大數(shù)定律3中心極限定理 （1）設(shè)隨機變量獨立同分布，則， 或 或，（2）設(shè)是次獨立重復(fù)試驗中發(fā)生的次數(shù)，則對任意，有或理解為若，則第六章 樣本及抽樣分布1總體、樣本（1） 簡單隨機樣本：即獨立同分布于總體的分布（注意樣本分布的求法）；（2） 樣本數(shù)字特征：

4、樣本均值（，）； 樣本方差（）樣本標(biāo)準(zhǔn)差 樣本階原點矩，樣本階中心矩2統(tǒng)計量：樣本的函數(shù)且不包含任何未知數(shù)3三個常用分布（注意它們的密度函數(shù)形狀及分位點定義） （1）分布 ，其中獨立同分布于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，若且獨立，則； （2）分布 ，其中且獨立； （3）分布 ，其中且獨立，有下面的性質(zhì) 4正態(tài)總體的抽樣分布（1）； （2）；（3）且與獨立； （4）；（5），（6）第七章 參數(shù)估計1矩估計：（1）根據(jù)參數(shù)個數(shù)求總體的矩；（2）令總體的矩等于樣本的矩；（3）解方程求出矩估計2極大似然估計：（1）寫出極大似然函數(shù)；（2）求對數(shù)極大似然函數(shù)（3）求導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)；（4）令導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)為0，解出極大似然估

5、計（如無解回到（1）直接求最大值，一般為min或max）3估計量的評選原則(1)無偏性：若，則為無偏； (2) 有效性：兩個無偏估計中方差小的有效；4參數(shù)的區(qū)間估計（正態(tài)）參數(shù)條件估計函數(shù)置信區(qū)間已知未知未知復(fù)習(xí)資料一、 填空題（15分）題型一：概率分布的考察【相關(guān)公式】（P379）分布參數(shù)分布律或概率密度數(shù)學(xué)期望（E）方差（D）（01）分布二項分布負二項分布幾何分布超幾何分布泊松分布均勻分布 【相關(guān)例題】1、 設(shè)，則求a，b的值。2、 已知,則求n，p的值。題型二：正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計【相關(guān)公式】（P163）【相關(guān)例題】1、 （樣本容量已知）2、 （樣本容量未知）題型三：方差的性質(zhì)【

6、相關(guān)公式】（P103）【相關(guān)例題】1、題型四：【相關(guān)公式】（P140、P138）【相關(guān)例題】1、2、題型五：互不相容問題【相關(guān)公式】（P4）【相關(guān)例題】1、二、 選擇題（15分）題型一：方差的性質(zhì)【相關(guān)公式】（見上，略）【相關(guān)例題】（見上，略）題型二：考察統(tǒng)計量定義（不能含有未知量）題型三：考察概率密度函數(shù)的性質(zhì)（見下，略）題型四：和、乘、除以及條件概率密度（見下，略）題型五：對區(qū)間估計的理解（P161）題型六：正態(tài)分布和的分布【相關(guān)公式】（P105）【相關(guān)例題】題型七：概率密度函數(shù)的應(yīng)用【相關(guān)例題】 設(shè) 已知三、 解答題（70分）題型一：古典概型：全概率公式和貝葉斯公式的應(yīng)用?！鞠嚓P(guān)公式】v

7、 全概率公式：v 貝葉斯公式：【相關(guān)例題】1、P19 例5某電子設(shè)備制造廠設(shè)用的元件是有三家元件制造廠提供的，根據(jù)以往的記錄有以下的數(shù)據(jù)：元件制造廠次品率提供原件的份額10.020.1520.010.8030.030.05設(shè)這三家工廠的產(chǎn)品在倉庫中是均勻混合的，且無區(qū)分標(biāo)志。問：（1） 在倉庫中隨機取一只元件，求它的次品率；（2） 在倉庫中隨機抽取一只元件，為分析此次品出自何廠，需求出此次品有三家工廠生產(chǎn)的概率分別是多少，試求這些概率。（見下）2、袋中裝有m枚正品硬幣，n枚次品硬幣（次品硬幣兩面均有國徽），在袋中任意取一枚，將他擲r次，已知每次都得到國徽，問這枚硬幣是正品的概率是多少？3、設(shè)根

8、據(jù)以往記錄的數(shù)據(jù)分析，某船只運輸?shù)哪撤N物品損壞的情況共有三種：損壞2%（這一事件記為A1），損壞10%（這一事件記為A2），損壞90%（這一事件記為A3），且知P（A1）=0.8，P（A2）=0.15，P（A3）=0.05.現(xiàn)在從已經(jīng)運輸?shù)奈锲分须S機取3件，發(fā)現(xiàn)這三件都是好的（這一事件記為B），（見下）4、 將A、B、C三個字母之一輸入信道，輸出為原字母的概率為，而輸出其他字母的概率都是（1-）/2.今將字母串AAAA、BBBB、CCCC之一輸入信道，輸入AAAA、BBBB、CCCC的概率分別為p1、p2、p3（p1+p2+p3=1），已知輸出為ABCA。問輸入AAAA的概率是多少？（設(shè)信道傳

9、輸各字母的工作是相互獨立的。）題型二：1、求概率密度、分布函數(shù)；2、正態(tài)分布1、 求概率密度【相關(guān)公式】已知分布函數(shù)求概率密度在連續(xù)點求導(dǎo)；已知概率密度f(x)求分布函數(shù)抓住公式：，且對于任意實數(shù)，有：?！鞠嚓P(guān)例題】（1）設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為： FX（X）= （見下） （2），是確定常數(shù)A。（3） 設(shè)隨機變量X具有概率密度f(x)= ，求X的分布函數(shù)。 0,其他解： 0，x0 2、 正態(tài)分布(高斯分布)【相關(guān)公式】（1）公式其中：（2） 若（3） 相關(guān)概率運算公式： 【相關(guān)例題】1、 （P58 27）某地區(qū)18歲女青年的血壓（收縮壓：以mmHg計）服從N（110,122），在該地任選一名1

10、8歲女青年，測量她的血壓X，求：（1）（2）確定最小的2、 由某機器生產(chǎn)的螺栓的長度（cm）服從參數(shù)的正態(tài)分布，規(guī)定長度在范圍內(nèi)為合格品，求一螺栓為不合格的概率。（見下）題型三：二維隨機變量的題型【相關(guān)公式】【相關(guān)例題】1、 （P84 3）設(shè)隨機變量（X,Y）的概率密度為： yx0442y=4-x （見下）2、 （P86 18）設(shè)X和Y是兩個相互獨立的隨機變量，X在區(qū)間（0,1）上服從均勻分布，Y的概率密度為： 1,0x1 0,其他3、 （P87 25）設(shè)隨機變量X，Y相互獨立，且具有相同的分布，它們的概率密度均為 0，其他求Z=X+Y的概率密度。4、 （P87 26）設(shè)隨機變量X,Y相互獨立

11、，它們的概率密度為 0，其他求Z=Y/X的概率密度。 題型四：最大似然估計的求解【相關(guān)公式】【相關(guān)例題】1、 設(shè)概率密度為： 2、 （P174 8） 的總體的樣本，未知，求的最大似然估計。題型五：正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗、正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗【相關(guān)公式】【相關(guān)例題】1、 （P218 3）某批礦砂的5 個樣品中的鎳含量，經(jīng)測定（%）3.25 3.27 3.24 3.26 3.24設(shè)測定值總體服從正態(tài)分布，但參數(shù)均未知，問在=0.01下能否接受假設(shè)，這批礦砂的鎳含量的均值為3.25.2、（P220 12）某種導(dǎo)線，要求電阻的標(biāo)準(zhǔn)差不得超過0.005，盡在一批導(dǎo)線中取樣品9根，測得s=0.007，設(shè)

12、總體為正態(tài)分布，參數(shù)值均未知，問在顯著水平=0.05下能否認(rèn)為這批導(dǎo)線的標(biāo)準(zhǔn)差顯著偏大？模擬試題一一、 填空題（每空3分，共45分）1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|) = 0.85, 則P(A|) = P( AB) = 2、設(shè)事件A與B獨立，A與B都不發(fā)生的概率為，A發(fā)生且B不發(fā)生的概率與B發(fā)生且A不發(fā)生的概率相等，則A發(fā)生的概率為： ；3、一間宿舍內(nèi)住有6個同學(xué)，求他們之中恰好有4個人的生日在同一個月份的概率： ；沒有任何人的生日在同一個月份的概率 ；4、已知隨機變量X的密度函數(shù)為：, 則常數(shù)A= , 分布函數(shù)F(x)= , 概率 ；5、設(shè)隨機變量X B(

13、2，p)、Y B(1，p)，若，則p = ，若X與Y獨立，則Z=max(X,Y)的分布律： ；6、設(shè)且X與Y相互獨立，則D(2X-3Y)= , COV(2X-3Y, X)= ；7、設(shè)是總體的簡單隨機樣本，則當(dāng) 時， ；8、設(shè)總體為未知參數(shù)，為其樣本，為樣本均值，則的矩估計量為： 。9、設(shè)樣本來自正態(tài)總體，計算得樣本觀察值，求參數(shù)a的置信度為95%的置信區(qū)間： ；二、 計算題（35分）1、 (12分)設(shè)連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)為： 求：1）；2）的密度函數(shù)；3）；2、(12分)設(shè)隨機變量(X,Y)的密度函數(shù)為1） 求邊緣密度函數(shù)；2） 問X與Y是否獨立？是否相關(guān)？3） 計算Z = X + Y的

14、密度函數(shù)； 3、（11分）設(shè)總體X的概率密度函數(shù)為： X1,X2,Xn是取自總體X的簡單隨機樣本。1） 求參數(shù)的極大似然估計量；2） 驗證估計量是否是參數(shù)的無偏估計量。三、 應(yīng)用題（20分）1、（10分）設(shè)某人從外地趕來參加緊急會議，他乘火車、輪船、汽車或飛機來的概率分別是3/10，1/5，1/10和2/5。如果他乘飛機來，不會遲到；而乘火車、輪船或汽車來，遲到的概率分別是1/4，1/3，1/2?，F(xiàn)此人遲到，試推斷他乘哪一種交通工具的可能性最大？2（10分）環(huán)境保護條例，在排放的工業(yè)廢水中，某有害物質(zhì)不得超過0.5，假定有害物質(zhì)含量X服從正態(tài)分布?，F(xiàn)在取5份水樣，測定該有害物質(zhì)含量，得如下數(shù)據(jù)

15、： 0.530，0.542，0.510，0.495，0.515能否據(jù)此抽樣結(jié)果說明有害物質(zhì)含量超過了規(guī)定()？附表：模擬試題二一、填空題(45分，每空3分) 1設(shè) 則 2設(shè)三事件相互獨立，且，若，則 。 3設(shè)一批產(chǎn)品有12件，其中2件次品，10件正品，現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任取3件，若用表示取出的3件產(chǎn)品中的次品件數(shù)，則的分布律為 。4設(shè)連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)為 則 ，的密度函數(shù) 。 5設(shè)隨機變量，則隨機變量的密度函數(shù) 6設(shè)的分布律分別為 -1 0 1 0 1 1/4 1/2 1/4 1/2 1/2且，則的聯(lián)合分布律為 。和 7設(shè)，則 ， 。8設(shè)是總體的樣本，則當(dāng) ， 時，統(tǒng)計量服從自由度為2的分布

16、。 9設(shè)是總體的樣本，則當(dāng)常數(shù) 時，是參數(shù)的無偏估計量。 10設(shè)由來自總體容量為9的樣本，得樣本均值=5，則參數(shù)的置信度為0.95的置信區(qū)間為 。二、計算題(27分) 1(15分)設(shè)二維隨機變量的聯(lián)合密度函數(shù)為（1） 求的邊緣密度函數(shù)；（2） 判斷是否獨立？為什么？（3） 求的密度函數(shù)。 2(12分)設(shè)總體的密度函數(shù)為其中是未知參數(shù)，為總體的樣本，求（1）參數(shù)的矩估計量； （2）的極大似然估計量。三、應(yīng)用題與證明題(28分) 1(12分)已知甲，乙兩箱中有同種產(chǎn)品，其中甲箱中有3件正品和3件次品，乙箱中僅有3件正品，從甲箱中任取3件產(chǎn)品放入乙箱后，（1）求從乙箱中任取一件產(chǎn)品為次品的概率；（2

17、）已知從乙箱中取出的一件產(chǎn)品為次品，求從甲箱中取出放入乙箱的3件產(chǎn)品中恰有2件次品的概率。 2(8分)設(shè)某一次考試考生的成績服從正態(tài)分布，從中隨機抽取了36位考生的成績，算得平均成績分，標(biāo)準(zhǔn)差分，問在顯著性水平下，是否可以認(rèn)為這次考試全體考生的平均成績?yōu)?0分，并給出檢驗過程。3(8分)設(shè)，證明：相互獨立。附表： 模擬試題三一、填空題（每題3分，共42分） 1設(shè) 若互斥，則 ；獨立，則 ；若，則 。 2在電路中電壓超過額定值的概率為，在電壓超過額定值的情況下，儀器燒壞的概率為，則由于電壓超過額定值使儀器燒壞的概率為 ； 3設(shè)隨機變量的密度為，則使成立的常數(shù) ； ； 4如果的聯(lián)合分布律為 Y 1

18、 2 3 X 1 1/6 1/9 1/18 2 1/3 則應(yīng)滿足的條件是 ，若獨立， ， ， 。5設(shè)，且 則 ， 。6設(shè)，則服從的分布為 。7測量鋁的比重16次，得， 設(shè)測量結(jié)果服從正態(tài)分布，參數(shù)未知，則鋁的比重的置信度為95%的置信區(qū)間為 。二、（12分）設(shè)連續(xù)型隨機變量X的密度為： （1）求常數(shù)； （2）求分布函數(shù)； （3）求的密度 三、（15分）設(shè)二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合密度為（1）求常數(shù)； （2）求的邊緣密度；（3）問是否獨立？為什么？（4）求的密度； （5）求。 四、（11分）設(shè)總體X的密度為其中是未知參數(shù)，是來自總體X的一個樣本，求（1） 參數(shù)的矩估計量；（2） 參數(shù)的極大似然估計

19、量； 五、（10分）某工廠的車床、鉆床、磨床和刨床的臺數(shù)之比為9:3:2:1，它們在一定時間內(nèi)需要修理的概率之比為1:2:3:1，當(dāng)有一臺機床需要修理時，求這臺機床是車床的概率。 六、（10分）測定某種溶液中的水份，設(shè)水份含量的總體服從正態(tài)分布，得到的10個測定值給出，試問可否認(rèn)為水份含量的方差？（） 附表：模擬試題四一、填空題（每題3分，共42分） 1、 設(shè)、為隨機事件，則與中至少有一個不發(fā)生的概率為 ；當(dāng)獨立時，則 2、 椐以往資料表明，一個三口之家患某種傳染病的概率有以下規(guī)律：=0.6，=0.5，=0.4，那么一個三口之家患這種傳染病的概率為 。3、設(shè)離散型隨機變量的分布律為：，則=_

20、。4、若連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)為則常數(shù) ， ，密度函數(shù) 5、已知連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)為，則 ， 。 。6、設(shè)， ，且與獨立， 則)= 。7、設(shè)隨機變量相互獨立，同服從參數(shù)為分布的指數(shù)分布，令的相關(guān)系數(shù)。則 , 。（注：）二、計算題（34分）1、 （18分）設(shè)連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)為 （1）求邊緣密度函數(shù)； （2）判斷與的獨立性； （3）計算； （3）求的密度函數(shù) 2、（16分）設(shè)隨機變量與相互獨立，且同分布于。令。（1）求的分布律； （2）求的聯(lián)合分布律；（3）問取何值時與獨立？為什么？ 三、應(yīng)用題（24分）1、 （12分）假設(shè)一部機器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率是0.2。若一周5個工作日內(nèi)

21、無故障則可獲10萬元；若僅有1天故障則仍可獲利5萬元；若僅有兩天發(fā)生故障可獲利0萬元；若有3天或3天以上出現(xiàn)故障將虧損2萬元。求一周內(nèi)的期望利潤。 2、 （12分）將、三個字母之一輸入信道，輸出為原字母的概率為0.8，而輸出為其它一字母的概率都為0.1。今將字母，之一輸入信道，輸入，的概率分別為0.5，0.4，0.1。已知輸出為，問輸入的是的概率是多少？（設(shè)信道傳輸每個字母的工作是相互獨立的）。答 案（模擬試題一）四、 填空題（每空3分，共45分）1、0.8286 ， 0.988 ； 2、 2/3 ； 3、，；4、 1/2, F(x)= ， ；5、p = 1/3 ， Z=max(X,Y)的分布律： Z 0 1 2P 8/27 16/27 3/27；6、D(2X-3Y)= 43.92 , COV(2X-3Y, X)= 3.96 ； 7、當(dāng) 時，； 8、的矩估計量為：。9、 9.216，10.784 ； 五、 計算題（35分）1、解 1） 2） 3）2、解：1） 2）顯然，所以X與Y不獨立。 又因為EY=0，EXY=0，所以，COV(X,Y)=0，因此X與Y不相關(guān)。3）3、解1） 令 解出： 2） 的無偏估計量。 六、 應(yīng)用題（20分）1解：設(shè)事件A1，A2，A3，A4分別表示交通工具“火車、輪船、汽車和飛機”，其概