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1、第7章 導(dǎo)行電磁波7.1基本內(nèi)容概述電磁波在導(dǎo)波系統(tǒng)中的傳輸問題，可歸結(jié)為求解滿足特定邊界條件的波動方程。根據(jù)其解的性質(zhì)，可了解在各種導(dǎo)波裝置中各種模式電磁波的場分布和傳播特性。7.1.1沿均勻?qū)Рㄏ到y(tǒng)傳播的波的一般特性所謂均勻?qū)Рㄏ到y(tǒng)是指在任何垂直于電磁波傳播方向的橫截面上，導(dǎo)波裝置具有相同的截面形狀和截面面積。設(shè)均勻?qū)Рㄏ到y(tǒng)的軸向為z軸方向，則電場和磁場可分別表示為 (7.1a) (7.1b) 根據(jù)麥克斯韋方程，可得到橫向場分量與縱向場分量的關(guān)系式中：為截止波數(shù)，為傳播常數(shù)，為波數(shù)。由上式可知，在波導(dǎo)電磁場的6個分量中，獨立的只有2個，即。只要知道則可求出全部場分量。而縱向場分量和滿足的標

2、量波動方程為 (7.3a) (7.3b) 7.1.2 導(dǎo)行電磁波的三種模式根據(jù)縱向場分量和存在與否，可將導(dǎo)波系統(tǒng)中電磁波分為三種模式。（1）橫電磁波（TEM）：傳播常數(shù)： (7.4) 相速度： (7.5) 波阻抗： (7.6) （2）橫磁波（TM）：滿足標量波動方程：其傳播條件： （工作頻率大于截止頻率）傳播常數(shù)： (7.7)波導(dǎo)波長： (7.8)相速度： (7.9)波阻抗： (7.10)（3）橫電波（TE）；滿足標量波動方程：其傳播條件： （工作頻率大于截止頻率）傳播常數(shù)、波導(dǎo)波長、相速度與式(7.7)、(7.8)、(7.9)相同波阻抗： (7.11)平行雙線、同軸線這一類能建立二維靜態(tài)場的

3、導(dǎo)波系統(tǒng)，可以傳輸TEM波；空心波導(dǎo)只能傳輸TE波和TM波。7.1.3 矩形波導(dǎo)中傳播的TM波和TE波的場分布橫截面尺寸為的矩行波導(dǎo)中傳播的TM波的場分量為 (7.12a) (7.12b) (7.12c) (7.12d) (7.12e) (7.12f) 式中： (7.13)m、n取非零的正整數(shù)。取不同的m、n值，代表不同的模式，表示為模，其最低階模為。橫截面尺寸為的矩行波導(dǎo)中傳播的TE波的場分量為 (7.14a) (7.14b) (7.14c) （7.14d） (7.14e) (7.14f)m、n可取正整數(shù)和零，但不能同時取零。取不同的m、n值，代表不同的模式，表示為模，其最低階模為。7.1.

4、4矩形波導(dǎo)中波的傳播參數(shù)在空心波導(dǎo)中，能傳輸?shù)哪Ｊ綉?yīng)滿足的條件是或，即工作頻率高于該模式的截止頻率（或工作波長小于該模式的截止波長）截止頻率和截止波長 (7.15) (7.16) 波導(dǎo)波長、相速度、波阻抗分別與式(7.8)、(7.9)、(7.10)、(7.11)相同。7.1.5 矩形波導(dǎo)中的主模截止波長最長的模式稱為主模，矩形波導(dǎo)中的主模是模，其截止波長。7.1.6 圓柱形波導(dǎo)的電磁場表示式圓柱形波導(dǎo)中電場和磁場可分別表示為圓柱形波導(dǎo)中，縱向場分量與橫向場分量的關(guān)系 (7.17a) (7.17b) (7.17c) (7.17d) 縱向場分量和滿足的標量波動方程分別為 (7.18a) (7.18

5、b) 圓柱形波導(dǎo)中的主模是模，相應(yīng)的截止波長為（a為圓柱形波導(dǎo)橫截面的半徑）。7.1.7 同軸波導(dǎo)內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b，內(nèi)外導(dǎo)體之間填充電參數(shù)為、的理想介質(zhì)，內(nèi)外導(dǎo)體為理想導(dǎo)體的同軸波導(dǎo)。由于是雙導(dǎo)體波導(dǎo)，因此它既可以傳播TEM波，也可以傳播TE波、TM波。對于TEM波的場分布 (7.19a) (7.19b) (7.19c) (7.19d) 傳播常數(shù) (7.20) 相速度 (7.21) 波阻抗 (7.22) 同軸波導(dǎo)一般都是以TEM模（主模）方式工作。但是，當(dāng)工作頻率過高時，在同軸波導(dǎo)中還將出現(xiàn)一系列的高次模：TM模和TE模。同軸波導(dǎo)中和的截止波長分別為 （7.23）7.1.8

6、諧振腔的主要參數(shù)諧振腔是頻率很高時采用的諧振回路，其主要參數(shù)是諧振頻率和品質(zhì)因素。矩形諧振腔的諧振頻率為 (7.24) 7.1.9 傳輸線上的電壓波和電流波傳輸線中，隨時間變化的電壓和電流滿足的波動方程為 (7.25) 式中：，稱為傳播系數(shù)；稱為衰減系數(shù)；稱為相位系數(shù)。波動方程的通解為 (7.26a) (7.26b)式中：，常數(shù)由傳輸線的邊界條件確定。當(dāng)給定傳輸線的終端電壓和終端電流時，線上任意一點的電壓、電流為上式說明傳輸線上任意一點的電壓和電流以波的形式存在，且是由入射波和反射波疊加而成。7.1.10 傳播特性參數(shù)特性阻抗：定義為傳輸線上任意一點的行波電壓與行波電流之比。對于無損耗線 (7

7、.27) 輸入阻抗：傳輸線上任意一點的總電壓與總電流之比稱為該點的輸入阻抗。對于無損耗線 (7.28) 反射系數(shù) (7.29) 式中：稱為終端反射系數(shù)。對于無損耗線 （7.30）駐波系數(shù) (7.31) 7.1.11傳輸線上的三種工作狀態(tài)因終端負載不同，傳輸線上存在三種不同的工作狀態(tài)：（1）行波狀態(tài)（）（2）駐波狀態(tài)（）；（3）混合波狀態(tài)（）。7.2教學(xué)基本要求及重點難點討論7.2.1 教學(xué)基本要求波導(dǎo)中的縱向場分析法是求解波導(dǎo)中場分布的重要方法，要求理解該方法的思路。對于該方法中涉及到有關(guān)物理量如傳播常數(shù)、截止波數(shù)等是討論波導(dǎo)中波傳播特性的關(guān)鍵。必須牢固掌握其物理意義和計算公式。波導(dǎo)中三種模式

8、的傳播條件和傳播特性是這一章的重點，必須牢固掌握三種模式的分類方法和傳播特性參數(shù)如截止頻率（截止波長）、相位常數(shù)、波導(dǎo)波長、相速度、波阻抗的計算公式。并應(yīng)用它們分析具體給定波導(dǎo)中不同模式的傳播特性。對于矩形波導(dǎo)的主模是實現(xiàn)單模傳輸?shù)哪Ｊ剑髮ζ鋱龇植?、場圖及管壁電流分布有所了解，并掌握波導(dǎo)尺寸設(shè)計的原理?！暗刃щ娐贩ā笔乔蠼釺EM波傳輸線的方法之一，要求掌握分布參數(shù)的概念，建立傳輸線方程，理解傳輸線上電壓波、電流波的特點。TEM波傳輸線的特性參數(shù)、波的傳播特點及工作狀態(tài)分析也是這一章的重點，要求掌握特性阻抗、輸入阻抗、反射系數(shù)、終端反射系數(shù)、駐波系數(shù)的定義、計算公式和物理意義。掌握傳輸線三種

9、不同工作狀態(tài)的條件和特點。關(guān)于諧振腔，要求了解振蕩模式的特點，掌握諧振頻率的計算公式，理解品質(zhì)因數(shù)的物理意義，了解其計算方法。7.2.2 重點、難點討論1不同模式的傳播條件由均勻?qū)Рㄏ到y(tǒng)的假設(shè)，根據(jù)麥克斯韋方程可將波導(dǎo)中的橫向場分量用縱向場分量表示。而縱向場分量和滿足的標量波動方程為（TM波），和（TE波），式中稱為截止波數(shù)，可令，稱為截止角頻率，由此定義截止頻率、截止波長。對于不同類型、不同尺寸的導(dǎo)波系統(tǒng)（邊界條件不同），該波動方的解(或)和相應(yīng)的值不同。例如尺寸為的矩形波導(dǎo)中的TM波的 ，。不同的m、n取值，的場分布不同、截止波數(shù)不同。由均勻?qū)Рㄏ到y(tǒng)中場量的表示式可知，只有當(dāng)傳播常數(shù)為純虛

10、數(shù)時，該電磁波才能在波導(dǎo)中傳播，否則電磁波將在波導(dǎo)中很快衰減。利用，得到使為純虛數(shù)的條件是，即（工作頻率大于截止頻率）。2TEM波傳輸線理論在雙導(dǎo)體導(dǎo)波系統(tǒng)中可傳播TEM波，而該模式的電場和磁場沒有縱向分量。根據(jù)麥克斯韋方程和電壓的定義，可以建立電場和兩導(dǎo)體間電壓以及磁場和傳輸線上電流的一一對應(yīng)關(guān)系，因此電磁場的傳播特性與電壓、電流的傳播特性是相同的。而對于電壓和電流的分析可以用電路的方法。事實上傳輸線理論在電路理論與電磁場的理論之間起著橋梁的作用。電路理論與傳輸線理論之間的關(guān)鍵不同處在于電尺寸。電路分析假設(shè)一個網(wǎng)絡(luò)的實際尺寸遠小于工作波長，而傳輸線的長度則可與工作波長相比擬或為數(shù)個波長。因此

11、，一段傳輸線是一個分布參數(shù)網(wǎng)絡(luò)，電壓和電流的振幅和相位都將發(fā)生變化，這些變化可以看成是因為沿線的導(dǎo)體上存在電阻、電感，導(dǎo)體間存在電容和漏電導(dǎo)。其影響分布在傳輸線的每一點，故稱為分布參數(shù)。傳輸線方程是傳輸線理論的基本方程，是描述傳輸線上電壓和電流變化規(guī)律及相互關(guān)系的微分方程。根據(jù)前面的分析，它可以從場的角度以某種特定的TEM傳輸線導(dǎo)出，也可以從路的角度，由分布參數(shù)得到的傳輸線模型導(dǎo)出。7.3 習(xí)題解答7.1 為什么一般矩形波導(dǎo)測量線的縱槽開在波導(dǎo)的中線上？題7.1圖解 因為矩形波導(dǎo)中的主模為模，而由的管壁電流分布可知，在波導(dǎo)寬邊中線處只有縱向電流。因此沿波導(dǎo)寬邊的中線開槽不會因切斷管壁電流而影響

12、波導(dǎo)內(nèi)的場分布，也不會引起波導(dǎo)內(nèi)電磁波由開槽口向外輻射能量。(如題7.1圖)7.2 下列二矩形波導(dǎo)具有相同的工作波長，試比較它們工作在模式的截止頻率。（1）；（2）。 解 截止頻率當(dāng)介質(zhì)為空氣時，。（1）當(dāng)，工作模式為（m=1、n=1），其截止頻率為 （2）當(dāng)，工作模式仍為（m=1,n=1），其截止率為題7.3圖xaozyb由以上的計算可知：截止頻率與波導(dǎo)的尺寸、傳輸模式及波導(dǎo)填充的介質(zhì)有關(guān)，與工作頻率無關(guān)。7.3 推導(dǎo)矩形波導(dǎo)中模的場分布式。解 對于TE波有應(yīng)滿足下面的波動方程和邊界條件： （1）由均勻?qū)Рㄏ到y(tǒng)的假設(shè)將其代入式(1)，得 （2）其中該方程可利用分離變量法求解。設(shè)其解為： (3

13、) 將式(3)代入式(2)，然后等式兩邊同除以，得上式中等式左邊僅為x的函數(shù)，等式右邊僅為y的函數(shù)，要使其相等，必須各等于常數(shù)。于是，該式可分離出兩個常微分方程 (4a) (4b) (5) 式(4a)的通解為 (6) 由于在x=0和x=a的邊界上，滿足 ，由縱向場與橫向場的關(guān)系，得則在x=0和x=a的邊界上，滿足 ， 于是將其代入式 (6)得所以 同理得式(4)的通解滿足的邊界條件為，于是得所以，得到矩形波導(dǎo)中TE波的縱向場分量式中由激勵源強度決定。本征值為利用縱向場與橫向場的關(guān)系式可求得TE波的其他橫向場分量7.4 設(shè)矩形波導(dǎo)中傳輸模，求填充介質(zhì)（介電常數(shù)為）時的截止頻率及波導(dǎo)波長。解 截止

14、頻率對于模（m=1、n=0），得波導(dǎo)波長 式中為無界空間介質(zhì)中的波長。7.5 已知矩形波導(dǎo)的橫截面尺寸為，試求當(dāng)工作波長時，波導(dǎo)中能傳輸哪些波型？時呢？解 波導(dǎo)中能傳輸?shù)哪Ｊ綉?yīng)滿足條件 或 在矩形波導(dǎo)中截止波長為由傳輸條件當(dāng)時上式可寫為能滿足傳輸條件的m和n為（1）當(dāng)時，有，對應(yīng)的傳播波型有：；（2）當(dāng)時，有，對應(yīng)的傳播波型有：；（3）當(dāng)時，有，對應(yīng)的傳播波型有：；（4）當(dāng)時，有，對應(yīng)的傳播波型有：；（5）當(dāng)時，有，對應(yīng)的傳播波型有：；故當(dāng)工作波長時，波導(dǎo)中能傳輸?shù)牟ㄐ陀校骸ⅰ．?dāng)時，應(yīng)滿足（1）當(dāng)時，有，無傳播波型；（2）當(dāng)時，有，對應(yīng)的傳播波型有：；（3）不滿足條件。故當(dāng)時只能傳輸模。7.6

15、 試推導(dǎo)在矩形波導(dǎo)中傳輸波時的傳輸功率。解 波導(dǎo)中傳輸?shù)墓β士捎刹▽?dǎo)橫截面上坡印廷矢量的積分求得。對于波，有式中為波阻抗。矩形波導(dǎo)中 于是 式中，7.6 試設(shè)計一個工作波長的矩形波導(dǎo)。材料用紫銅，內(nèi)充空氣，并且要求模的工作頻率至少有的安全因子，即，此處和分別表示波和相鄰高階模式的截止頻率。解 由題給：，即若用波長表示，上式變?yōu)榧从纱丝傻?選擇：為防止高次模的出現(xiàn)，窄邊b的尺寸應(yīng)滿足考慮到傳輸功率容量和損耗情況，一般選取故設(shè)計的矩形波導(dǎo)尺寸為7.8 試設(shè)計一個工作波長的圓柱形波導(dǎo)，材料用紫銅，內(nèi)充空氣，并要求波的工作頻率應(yīng)有一定的安全因子。解 模是圓柱波導(dǎo)中的主模，為保證單模傳輸，應(yīng)使工作頻率大

16、于模的截止頻率而小于第一次高模的截止頻率，即 和 于是得所以圓柱形波導(dǎo)的半徑a應(yīng)滿足選擇7.9 求圓柱形波導(dǎo)中波的傳輸功率。解 波導(dǎo)中傳輸?shù)墓β士捎刹▽?dǎo)橫截面上坡印廷矢量的積分求得。對于波圓柱形波導(dǎo)中的模的場分量由貝塞爾函數(shù)的遞推公式因為m=0，則所以而由電場切向分量為零的邊界條件可知則所以故得到圓柱形波導(dǎo)中模的傳輸功率為7.10 設(shè)計一個矩形諧振腔，使在1GHz及1.5GHz分別諧振于兩個不同模式上。解 矩形諧振腔的諧振頻率為若使在1GHz及1.5GHz分別諧振于矩形諧振腔的及兩個不同模式上，則它們的諧振頻率分別為則將以上二式相減得可得將其代入式（2）得所以尺寸b可取為于是該矩形諧振腔的尺寸

17、為7.11 由空氣填充的矩形諧振腔，其尺寸為a=25mm、b=12.5mm、d=60mm，諧振于模式，若在腔內(nèi)填充介質(zhì)，則在同一工作頻率將諧振于模式，求介質(zhì)的相對介電常數(shù)應(yīng)為多少？解 矩形諧振腔的諧振頻率為當(dāng)填充介質(zhì)為空氣時模的諧振頻率為當(dāng)填充介質(zhì)的介電常數(shù)為時，模的諧振頻率為由題給條件得7.12 平行雙線傳輸線的線間距D=8cm，導(dǎo)線的直徑d=1cm，周圍是空氣，試計算：(1) 分布電感和分布電容；(2) f=600MHz時的相位系數(shù)和特性阻抗。解 （1）雙線傳輸線分布電容分布電感（2）時，得 7.13 同軸線的外導(dǎo)體半徑，內(nèi)導(dǎo)體半徑，填充介質(zhì)分別為空氣和的無耗介質(zhì)，試計算其特性阻抗。解（1

18、）填充空氣時故特性阻抗（2） 時，故7.14 在構(gòu)造均勻傳輸線時，用聚乙烯（）作為電介質(zhì)。假設(shè)不計損耗。（1）對于300的平行雙線，若導(dǎo)線的半徑為0.6mm，則線間距應(yīng)選多少？（2）對于75的同軸線，若內(nèi)導(dǎo)體的半徑為0.6mm，則外導(dǎo)體的半徑應(yīng)選多少？解 （1）雙線傳輸線，設(shè)a為導(dǎo)體半徑，D為線間距，則有即故線間距（2）同軸線傳輸線，設(shè)a為內(nèi)導(dǎo)體半徑，b為外導(dǎo)體內(nèi)半徑，則有即則外導(dǎo)體的內(nèi)半徑7.15 試以傳輸線輸入端電壓和電流以及傳輸線的傳播系數(shù)和特性阻抗表示線上任意一點的電壓分布和電流分布。（1）用指數(shù)形式表示；（2）用雙曲函數(shù)表示。解 傳輸線上電壓和電流的通解形式為，式中傳播系數(shù)和特性阻抗

19、分別為對于輸入端：，有聯(lián)立求解得可得用雙曲函數(shù)表示7.16 一根特性阻抗為50、長度為2m的無損耗傳輸線工作于頻率200MHz，終端接有阻抗，試求其輸入阻抗。解 無損耗線的輸入阻抗而，所以故7.17 一根75的無損耗線，終端接有負載阻抗。（1）欲使線上的電壓駐波比等于3，則和有什么關(guān)系？（2）若，求等于多少？（3）求在（2）情況下，距負載最近的電壓最小點位置。解 (1) 由駐波比與反射系數(shù)的關(guān)系對于無損耗線即所以解得（2）將代如上式，得 （3）終端反射系數(shù)傳輸線的電壓分布電壓的幅值波節(jié)點出現(xiàn)在第一波節(jié)點出現(xiàn)在即解得 7.18 考慮一根無損耗傳輸線，（1）當(dāng)負載阻抗時，欲使線上駐波比最小，則線的

20、特性阻抗應(yīng)為多少？（2）求出該最小的駐波比及相應(yīng)的電壓反射系數(shù)。（3）確定距負載最近的電壓最小點位置。解 （1）因為駐波比S要最小，就要求反射系數(shù)最小。對于無損耗線其最小值可由求得故（2）將代入反射系數(shù)公式，得最小駐波比為（3）終端反射系數(shù)由上題的結(jié)論，電壓的第一個波節(jié)點應(yīng)滿足即解得 7.19 有一段特性阻抗為的無損耗線，當(dāng)終端短路時，測的始端的阻抗為 的感抗，求該傳輸線的最小長度；如果該線的終端為開路，長度又為多少？解 （1）終端短路線的輸入阻抗為 即 所以將 代入上式得傳輸線的長度為（2）終端開路線的輸入阻抗為即 得將 代入上式得傳輸線的長度為7.20 求如題7.20圖示的分布參數(shù)電路的輸入阻抗。題7.20圖解 設(shè)傳輸線無損耗，則輸入阻抗為當(dāng)傳輸線長度時 （阻抗變換性）當(dāng)傳輸線長度時 （阻抗還原性）（a） （b）支節(jié)支節(jié)支節(jié)（c）支節(jié)支節(jié)支節(jié)（d）支節(jié)支節(jié)支節(jié)7.21 求題7.20圖中各段的反射系數(shù)及駐波系數(shù)。解 終端反射系數(shù)反射系數(shù)駐波系數(shù)(a) (b) 支節(jié)支節(jié)支節(jié)(c) 支節(jié)、支節(jié)(d) 支節(jié)支節(jié)支節(jié)723