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1、第7講 立體幾何中的向量方法（一）一、選擇題1直線l1，l2相互垂直，則下列向量可能是這兩條直線的方向向量的是()As1(1,1,2)，s2(2，1,0)Bs1(0,1，1)，s2(2,0,0)Cs1(1,1,1)，s2(2,2，2)Ds1(1，1,1)，s2(2,2，2)解析 兩直線垂直，其方向向量垂直，只有選項(xiàng)B中的兩個(gè)向量垂直答案B2已知a，b滿足ab，則等于()A. B. C D解析由，可知.答案B3平面經(jīng)過三點(diǎn)A(1,0,1)，B(1,1,2)，C(2，1,0)，則下列向量中與平面的法向量不垂直的是 ()A. B(6，2，2)C(4,2,2) D(1,1,4)解析設(shè)平面的法向量為n，

2、則n，n，n，所有與(或、)平行的向量或可用與線性表示的向量都與n垂直，故選D.答案D4已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB2，CC12，E為CC1的中點(diǎn)，則直線AC1與平面BED的距離為 ()A2 B. C. D1解析連接AC，交BD于點(diǎn)O，連接EO，過點(diǎn)O作OHAC1于點(diǎn)H，因?yàn)锳B2，所以AC2，又CC12，所以O(shè)Hsin 451.答案D5已知a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5， )，若a，b，c三向量共面，則實(shí)數(shù)等于()A. B. C. D.解析由題意得ctab(2t，t4，3t2)，.答案D6正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為a，點(diǎn)M在AC1上且，N為B1B的

3、中點(diǎn)，則|為 ()A.a B.a C.a D.a解析以D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N. 設(shè)M(x，y，z)，點(diǎn)M在AC1上且，(xa，y，z)(x，ay，az)xa，y，z.得M，| a.答案A二、填空題7若向量a(1，2)，b(2，1,2)且a與b的夾角的余弦值為，則_.解析由已知得，83(6)，解得2或.答案2或8在四面體PABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，設(shè)PAPBPCa，則點(diǎn)P到平面ABC的距離為_解析根據(jù)題意，可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Pxyz，則P(0,0,0)，A(a，0,0)，B(0，a,0)，C(0,0，a)過點(diǎn)

4、P作PH平面ABC，交平面ABC于點(diǎn)H，則PH的長即為點(diǎn)P到平面ABC的距離PAPBPC，H為ABC的外心又ABC為正三角形，H為ABC的重心，可得H點(diǎn)的坐標(biāo)為.PH a.點(diǎn)P到平面ABC的距離為a.答案a9平面的一個(gè)法向量n(0,1，1)，如果直線l平面，則直線l的單位方向向量是s_.解析 直線l的方向向量平行于平面的法向量，故直線l的單位方向向量是s.答案 10在正方體ABCDA1B1C1D1中，P為正方形A1B1C1D1四邊上的動(dòng)點(diǎn)，O為底面正方形ABCD的中心，M，N分別為AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)Q為平面ABCD內(nèi)一點(diǎn)，線段D1Q與OP互相平分，則滿足的實(shí)數(shù)的有_個(gè)解析建立如圖的坐標(biāo)系，設(shè)

5、正方體的邊長為2，則P(x，y,2)，O(1,1,0)，OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為，又知D1(0,0,2)，Q(x1，y1,0)，而Q在MN上，xQyQ3，xy1，即點(diǎn)P坐標(biāo)滿足xy1.有2個(gè)符合題意的點(diǎn)P，即對(duì)應(yīng)有2個(gè).答案2三、解答題11已知：a(x,4,1)，b(2，y，1)，c(3，2，z)，ab，bc，求：a，b，c.解因?yàn)閍b，所以，解得x2，y4，這時(shí)a(2,4,1)，b(2，4，1)又因?yàn)閎c，所以bc0，即68z0，解得z2，于是c(3，2,2) 12如圖所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB，AF1，M是線段EF的中點(diǎn)求證：(1)AM平面BDE；(2)AM平面

6、BDF.證明(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)ACBDN，連接NE.則N，E(0,0,1)，A(，0)，M.且NE與AM不共線NEAM.又NE平面BDE，AM平面BDE，AM平面BDE.(2)由(1)知，D(，0,0)，F(xiàn)(，1)，(0，1)0，AMDF.同理AMBF.又DFBFF，AM平面BDF.13在四棱錐PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD為正方形，PDDC，E、F分別是AB、PB的中點(diǎn)(1)求證：EFCD；(2)在平面PAD內(nèi)求一點(diǎn)G，使GF平面PCB，并證明你的結(jié)論(1)證明如圖，以DA、DC、DP所在直線分別為x軸，y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)ADa，則D(0,0,

7、0)、A(a,0,0)、B(a，a,0)、C(0，a,0)、E、P(0,0，a)、F.，(0，a,0)0，即EFCD.(2)解設(shè)G(x,0，z)，則，若使GF平面PCB，則由(a,0,0)a0，得x；由(0，a，a)2a0，得z0.G點(diǎn)坐標(biāo)為，即G點(diǎn)為AD的中點(diǎn)14如圖，在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，AB4，BC3，AD5，DABABC90，E是CD的中點(diǎn)(1)證明：CD平面PAE；(2)若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，求四棱錐PABCD的體積解如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)PAh，則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為：A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(4，3,0)，D(0,5,0)，E(2,4,0)，P(0,0，h)(1)易知(4,2,0)，(2,4,0)，(0,0，h)因?yàn)?800，0，所以CDAE，CDAP.而AP，AE是平面PAE內(nèi)的兩條相交直線，所以CD平面PAE.(2)由題設(shè)和(1)知，分別是平面PAE，平面ABCD的法向量而PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，所以|cos，|cos，|，即.由(1)知，(4,2,0)，(0,0，h)，又(4,0，h)，故.解得h.又梯形ABCD的面積為S(53)416，所以四棱錐PABCD的體積為VSPA16.