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1、第 8 講立體幾何中的向量方法（二）一、選擇題1兩平行平面，分別經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)A(2,1,1)，且兩平面的一個(gè)法向量n n(1,0,1)，則兩平面間的距離是()A.32B.22C.3D3 2解析兩平面的一個(gè)單位法向量n n022，0，22，故兩平面間的距離d|OAn n0|22.答案B2已知向量 m，n 分別是直線 l 和平面的方向向量、法向量，若 cosm，n12，則 l 與所成的角為()A30B60C120D150解析設(shè) l 與所成的角為，則 sin|cosm，n|12，30.答案A3長方體 ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD1，E 為 CC1的中點(diǎn)，則異面直線 BC1與

2、AE 所成角的余弦值為()A.1010B.3010C.2 1510D.3 1010解析建立坐標(biāo)系如圖，則 A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0，2,2)BC1(1,0,2)，AE(1,2,1)，cosBC1，AEBC1AE|BC1|AE|3010.所以異面直線 BC1與 AE 所成角的余弦值為3010.答案B4已知直二面角l，點(diǎn)A，ACl，C為垂足，點(diǎn)B，BDl，D為垂足，若AB2，ACBD1，則CD()A2B.3C.2D1解析如圖，建立直角坐標(biāo)系Dxyz，由已知條件B(0,0,1)，A(1，t,0)(t0)，由AB2 解得t 2.答案C5如圖，在四面體 ABCD 中

3、，AB1，AD2 3，BC3，CD2.ABCDCB2，則二面角 ABCD 的大小為()A.6B.3C.53D.56解析二面角ABCD的大小等于AB與CD所成角的大小.ADABBCCD.而 AD2AB2CD2BC22|AB|CD|cos AB，CD，即 1214922cosAB，CD，cosAB，CD12，AB 與 CD 所成角為3，即二面角ABCD 的大小為3.故選 B.答案B6如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，2ACAA1BC2.若二面角B1DCC1的大小為 60，則AD的長為()A.2B.3C2D.22解析如圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB，CC1所在的直線分別為x軸，y軸，

4、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,2)，C1(0,0,2)，D(1,0,1)設(shè)ADa，則D點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0，a)，CD (1,0，a)，1CB (0,2,2)，設(shè)平面B1CD的一個(gè)法向量為m(x，y，z)則m1CB 0m02y2z0 xaz0，令z1，得m(a,1，1)，又平面C1DC的一個(gè)法向量為n(0,1,0)，則由 cos60mn|m|n|，得1a2212，即a 2，故AD 2.答案A二、填空題7 若平面的一個(gè)法向量為 n(4,1,1)，直線 l 的一個(gè)方向向量為 a(2，3,3)，則 l 與所成角的正弦值為_解析cosn，ana|n|a|83

5、2 224 1133.又 l 與所成角記為，即 sin|cosn，a|4 1133.答案4 1133.8若向量a a(1，2)，b b(2，1,2)且a a與b b的夾角的余弦值為89，則_.解析由已知得89a ab b|a a|b b|2452 9，8523(6)，解得2 或255.答案2 或2559 已知點(diǎn) E、F 分別在正方體 ABCDA1B1C1D1的棱 BB1，CC1上，且 B1E2EB，CF2FC1，則面 AEF 與面 ABC 所成的二面角的正切值為_解析如圖，建立直角坐標(biāo)系 Dxyz，設(shè) DA1 由已知條件 A(1,0,0)，E1，1，13，F(xiàn)0，1，23，AE0，1，13，AF

6、1，1，23，設(shè)平面 AEF 的法向量為 n(x，y，z)，面 AEF 與面 ABC 所成的二面角為，由nAE0，nAF0得y13z0，xy23z0.令 y1，z3，x1，則 n(1,1，3)平面 ABC 的法向量為 m(0,0，1)cos cosn，m3 1111，tan 23.答案2310在三棱錐 OABC 中，三條棱 OA，OB，OC 兩兩垂直，且 OAOBOC，M 是 AB 邊的中點(diǎn)，則 OM 與平面 ABC 所成角的正切值是_解析如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè) OAOBOC1，則 A(1,0,0)，B(0，1,0)，C(0,0,1)，M12，12，0，故AB(1,1,0)，AC(1,

7、0,1)，OM12，12，0.設(shè)平面 ABC 的法向量為 n(x，y，z)，則由nAB，nAC，得xy0，xz0，令 x1，得 n(1,1,1)故 cosn，OM132263，所以 OM 與平面 ABC 所成角的正弦值為63，其正切值為 2.答案2三、解答題11如圖，四面體 ABCD 中，AB、BC、BD 兩兩垂直，ABBCBD4，E、F 分別為棱 BC、AD 的中點(diǎn)(1)求異面直線 AB 與 EF 所成角的余弦值；(2)求 E 到平面 ACD 的距離；(3)求 EF 與平面 ACD 所成角的正弦值解如圖，分別以直線 BC、BD、BA 為 x、y、z 軸建立空間直角坐標(biāo)系，則各相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)為A

8、(0,0,4)、C(4,0，0)、D(0,4，0)，E(2,0,0)、F(0，2,2)(1)AB(0,0，4)，EF(2,2,2)，|cosAB，EF|842 3|33，異面直線 AB 與 EF 所成角的余弦值為33.(2)設(shè)平面 ACD 的一個(gè)法向量為 n(x，y,1)，則nAC0，nCD0，AC(4,0，4)，CD(4,4,0)，4x40，4x4y0，xy1，n(1,1,1，)F平面 ACD，EF(2,2,2)，E 到平面 ACD 的距離為 d|nEF|n|232 33.(3)EF 與平面 ACD 所成角的正弦值為|cosn，EF|232 31312如圖，在底面為直角梯形的四棱錐 PABC

9、D 中，ADBC，ABC90，PA平面 ABCD，PA3，AD2，AB2 3，BC6.(1)求證：BD平面 PAC；(2)求二面角 PBDA 的大小(1)證明如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則 A(0,0,0)，B(2 3，0,0)，C(2 3，6,0)，D(0,2,0)，P(0,0,3)，AP(0,0,3)，AC(2 3，6,0)，BD(2 3，2,0)BDAP0，BDAC0.BDAP，BDAC.又PAACA，BD面 PAC.(2)解設(shè)平面 ABD 的法向量為 m(0,0,1)，設(shè)平面 PBD 的法向量為 n(x，y，z)，則 nBD0，nBP0.BP(2 3，0,3)，2 3x2y0，2 3x3

10、z0解得y 3x，z2 33x.令 x 3，則 n(3，3,2)，cosm，nmn|m|n|12.二面角 PBDA 的大小為 60.13如圖，直三棱柱 ABCA1B1C1中，ACBC12AA1，D 是棱 AA1的中點(diǎn)，DC1BD.(1)證明：DC1BC.(2)求二面角 A1BDC1的大小(1)證明由題設(shè)知，三棱柱的側(cè)面為矩形由于 D為 AA1的中點(diǎn)，故 DCDC1.又 AC12AA1，可得 DC21DC2CC21，所以 DC1DC.而 DC1BD，DCBDD，所以 DC1平面 BCD.因?yàn)?BC平面 BCD，所以 DC1BC.(2)解由(1)知 BCDC1，且 BCCC1，則 BC平面 ACC

11、1A1，所以 CA，CB，CC1兩兩相互垂直以 C 為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA的方向?yàn)?x 軸的正方向，|CA|為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 Cxyz.由題意知 A1(1,0,2)，B(0,1,0)，D(1,0,1)，C1(0,0,2)則A1D(0,0，1)，BD(1，1,1)，DC1(1,0,1)設(shè) n(x，y，z)是平面 A1B1BD 的法向量，則nBD0，nA1D0，即xyz0，z0，可取 n(1,1,0)同理，設(shè) m(x，y，z)是平面 C1BD 的法向量，則mBD0，mDC10，即xyz0，xz0，可取 m(1,2,1)從而 cosn，mnm|n|m|32.故二面角 A1BDC1的大

12、小為 30.14如圖，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD為等邊三角形，ADDE2AB，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)(1)求證：AF平面BCE；(2)求證：平面BCE平面CDE；(3)求直線BF和平面BCE所成角的正弦值解方法一：(1)證法一：取CE的中點(diǎn)G，連接FG、BG.F為CD的中點(diǎn)，GFDE且GF12DE，AB平面ACD，DE平面ACD，ABDE，GFAB.又AB12DE，GFAB.又DE2AB，四邊形GFAB為平行四邊形，則AFBG.AF平面BCE，BG平面BCE，AF平面BCE.證法二：取DE的中點(diǎn)M，連接AM、FM，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，F(xiàn)MCE.AB平面ACD，DE平面ACD，DEAB.又A

13、B12DEME，四邊形ABEM為平行四邊形，則AMBE.FM、AM平面BCE，CE、BE平面BCE，F(xiàn)M平面BCE，AM平面BCE.又FMAMM，平面AFM平面BCE.AF平面AFM，AF平面BCE.(2)證明：ACD為等邊三角形，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，AFCD.DE平面ACD，AF平面ACD，DEAF.又CDDED，故AF平面CDE.BGAF，BG平面CDE.BG平面BCE，平面BCE平面CDE.(3)在平面CDE內(nèi)，過F作FHCE于H，連接BH，平面BCE平面CDE，F(xiàn)H平面BCE.FBH為BF和平面BCE所成的角設(shè)ADDE2AB2a，則FHCFsin4522a，BFAB2AF2a23a22a，

14、在 RtFHB中，sinFBHFHBF24.直線BF和平面BCE所成角的正弦值為24.方法二：設(shè)ADDE2AB2a，建立如圖所示的坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則A(0,0,0)，C(2a,0,0)，B(0,0，a)，D(a，3a,0)，E(a，3a,2a)F為CD的中點(diǎn)，F(xiàn)32a，32a，0.(1)證明：AF32a，32a，0，BE(a，3a，a)，BC(2a,0，a)，AF12(BEBC)，AF平面BCE，AF平面BCE.(2)證明：AF32a，32a，0，CD(a，3a,0)，ED(0,0，2a)，AFCD0，AFED0，AFCD，AFED.AF平面CDE，又AF平面BCE，平面BCE平面CDE.(3)設(shè)平面BCE的法向量為n n(x，y，z)，由n nBE0，n nBC0 可得x 3yz0,2xz0，取n n(1，3，2)又BF32a，32a，a，設(shè)BF和平面BCE所成的角為，則sin|BFn n|BF|n n|2a2a2 224.直線BF和平面BCE所成角的正弦值為24.