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1、第 8 講 立體幾何中的向量方法（二）一、選擇題1二面角的棱上有 A、B 兩點，直線 AC、BD 分別在這個二面角的平個半平面內(nèi)，且都垂直于 AB.已知 AB4，AC6，BD8，CD2，則該二面角17的大小為()A150 B45C60 D120解析 由條件，知0，0，|2|CA AB AB BD CD CA AB BD CD CA|2|2|2222624282268cosAB BD CA AB AB BD CA BD，(2)2，CA BD 17cos，120，CA BD 12CA BD 二面角的大小為 60，故選 C.答案 C2正方體 ABCDA1B1C1D1中，E 是棱 BB1中點，G 是

2、DD1中點，F(xiàn) 是 BC 上一點且 FB BC，則 GB 與 EF 所成的角為 14()A30 B120 C60 D90解析如圖建立直角坐標(biāo)系 Dxyz，設(shè) DA1，由已知條件，得G，B，E，(0，0，12)(1，1，0)(1，1，12)F，(34，1，0)GB(1，1，12)EF(14，0，12)cos，0，則.GB EF GB EF|GB|EF|GB EF 答案D3長方體 ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD1，E 為 CC1的中點，則異面直線 BC1與 AE 所成角的余弦值為 ()A.B.C.D.101030102 15103 1010解析建立坐標(biāo)系如圖，則 A(1,0,0)，

3、E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0，2,2)(1,0,2)，(1,2,1)，BC1 AE cos，.BC1 AE BC1 AE|BC1|AE|3010所以異面直線 BC1與 AE 所成角的余弦值為.3010答案B4在正方體 ABCDA1B1C1D1中，M、N 分別為棱 AA1和 BB1的中點，則 sin，的值為()CM D1N A.B.C.D.1949529523解析設(shè)正方體的棱長為 2，以 D 為坐標(biāo)原點，DA 為 x軸，DC 為 y 軸，DD1為 z 軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，可知(2，2,1)，(2,2，1)，CM D1N cos，sin，CM D1N 19CM D1N 4

4、 59答案B5 如圖，在四面體 ABCD 中，AB1，AD2，BC3，CD32.ABCDCB，則二面角 ABCD 的大小為()2A.B.C.D.635356解析二面角 ABCD 的大小等于 AB 與 CD 所成角的大小.AD AB BC.而22222|cos，即 12149CD AD AB CD BC AB CD AB CD 22cos，cos，AB 與 CD 所成角為，即二面AB CD AB CD 123角 ABCD 的大小為.故選 B.3答案B6已知直二面角 l，點 A，ACl，C 為垂足，B，BDl，D 為垂足或 AB2，ACBD1，則 D 到平面 ABC 的距離等于()A.B.2333

5、C.D163解析 ，AB AC CD DB|2|2|2|2，AB AC CD DB|22.在 RtBDC 中，BC.CD 3面 ABC面 BCD，過 D 作 DHBC 于 H，則 DH面 ABC，DH 的長即為 D 到平面 ABC 的距離，DHDBDCBC.故選 C.1 2363答案 C二、填空題7若平面 的一個法向量為 n(4,1,1)，直線 l 的一個方向向量為 a(2，3,3)，則 l 與 所成角的正弦值為_解析cosn，a.na|n|a|83 2 224 1133又 l 與 所成角記為，即 sin|cosn，a|.4 1133答案.4 11338已知點 E、F 分別在正方體 ABCDA

6、1B1C1D1的棱 BB1，CC1上，且 B1E2EB，CF2FC1，則面 AEF 與面 ABC 所成的二面角的正切值為_解析如圖，建立直角坐標(biāo)系 Dxyz，設(shè) DA1 由已知條件 A(1,0,0)，E，F(xiàn)，(1，1，13)(0，1，23)，AE(0，1，13)AF(1，1，23)設(shè)平面 AEF 的法向量為 n(x，y，z)，面 AEF 與面 ABC 所成的二面角為，由Error!得Error!令 y1，z3，x1，則 n(1,1，3)平面 ABC 的法向量為 m(0,0，1)cos cosn，m，tan.3 111123答案239在三棱錐 OABC 中，三條棱 OA，OB，OC 兩兩垂直，且

7、 OAOBOC，M是 AB 邊的中點，則 OM 與平面 ABC 所成角的正切值是_解析如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè) OAOBOC1，則 A(1,0,0)，B(0，1,0)，C(0,0,1)，M，故(1,1,0)，(1,0,1)，(12，12，0)AB AC OM.(12，12，0)設(shè)平面 ABC 的法向量為 n(x，y，z)，則由Error!得Error!令 x1，得 n(1,1,1)故 cosn，OM 13 2263所以 OM 與平面 ABC 所成角的正弦值為，其正切值為.632答案 210正四棱錐 SABCD 中，O 為頂點在底面上的射影，P 為側(cè)棱 SD 的中點，且 SOOD，則直線

8、BC 與平面 PAC 所成的角是_解析 如圖，以 O 為原點建立空間直角坐標(biāo)系 Oxyz，設(shè) ODSOOAOBOCa，則 A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(a,0,0)，P，(0，a2，a2)則(2a,0,0)，CA AP(a，a2，a2)(a，a,0)，CB 設(shè)平面 PAC 的一個法向量為 n，可取 n(0,1,1)，則 cos，n，CB CB n|CB|n|a2a2 212，n60，CB 直線 BC 與平面 PAC 所成的角為 906030.答案 30三、解答題11如圖，四面體 ABCD 中，AB、BC、BD 兩兩垂直，ABBCBD4，E、F 分別為棱 BC、AD 的中點(1)求異面

9、直線 AB 與 EF 所成角的余弦值；(2)求 E 到平面 ACD 的距離；(3)求 EF 與平面 ACD 所成角的正弦值解如圖，分別以直線 BC、BD、BA 為 x、y、z 軸建立空間直角坐標(biāo)系，則各相關(guān)點的坐標(biāo)為 A(0,0,4)、C(4,0，0)、D(0,4，0)，E(2,0,0)、F(0，2,2)(1)(0,0，4)，(2,2,2)，AB EF|cos，|，AB EF|84 2 3|33異面直線 AB 與 EF 所成角的余弦值為.33(2)設(shè)平面 ACD 的一個法向量為 n(x，y,1)，則Error!(4,0，4)，(4,4,0)，AC CD Error!xy1，n(1,1,1，)F

10、平面 ACD，(2,2,2)，EF E 到平面 ACD 的距離為 d.|nEF|n|232 33(3)EF 與平面 ACD 所成角的正弦值為|cosn，|EF 23 2 31312如圖，在底面為直角梯形的四棱錐 PABCD 中，ADBC，ABC90，PA平面 ABCD，PA3，AD2，AB2，BC6.3(1)求證：BD平面 PAC；(2)求二面角 PBDA 的大小(1)證明如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則 A(0,0,0)，B(2，0,0)，3C(2，6,0)，D(0,2,0)，P(0,0,3)，3(0,0,3)，(2，6,0)，AP AC 3(2，2,0)BD 30，0.BDAP，BDAC.BD

11、 AP BD AC 又PAACA，BD面 PAC.(2)解設(shè)平面 ABD 的法向量為 m(0,0,1)，設(shè)平面 PBD 的法向量為 n(x，y，z)，則 n0，n0.(2，0,3)，BD BP BP 3Error!解得Error!令 x，則 n(，3,2)，cosm，n.33mn|m|n|12二面角 PBDA 的大小為 60.13如圖，直三棱柱 ABCA1B1C1中，ACBC AA1，D 是棱 AA1的中點，DC112BD.(1)證明：DC1BC.(2)求二面角 A1BDC1的大小(1)證明由題設(shè)知，三棱柱的側(cè)面為矩形由于 D 為AA1的中點，故 DCDC1.又 AC AA1，可得 DC DC

12、2CC，所以 DC1DC.122 12 1而 DC1BD，DCBDD，所以 DC1平面 BCD.因為 BC平面 BCD，所以 DC1BC.(2)解由(1)知 BCDC1，且 BCCC1，則 BC平面ACC1A1，所以 CA，CB，CC1兩兩相互垂直以 C 為坐標(biāo)原點，的方向為 x 軸的正方向，|為單位長，CA CA 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 Cxyz.由題意知A1(1,0,2)，B(0,1,0)，D(1,0,1)，C1(0,0,2)則(0,0，1)，(1，1,1)，(1,0,1)A1D BD DC1 設(shè) n(x，y，z)是平面 A1B1BD 的法向量，則Error!即Error!可取 n(

13、1,1,0)同理，設(shè) m(x，y，z)是平面 C1BD 的法向量，則Error!即Error!可取 m(1,2,1)從而 cosn，m.nm|n|m|32故二面角 A1BDC1的大小為 30.14 如圖，在矩形 ABCD 中，AB2，BCa，PAD 為等邊三角形，又平面 PAD平面 ABCD.(1)若在邊 BC 上存在一點 Q，使 PQQD，求 a 的取值范圍；(2)當(dāng)邊 BC 上存在唯一點 Q，使 PQQD 時，求二面角 APDQ 的余弦值解：(1)取 AD 中點 O，連接 PO，則 POAD平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，PO平面 ABCD.建立如圖的空間直角坐

14、標(biāo)系，則 P，D.(0，0，32a)(a2，0，0)設(shè) Q(t,2,0)，則，來源:Z_xx_k.ComPQ(t，2，32a).來源:Zxxk.ComDQ(ta2，2，0)PQQD，t40.PQ DQ(ta2)a2，(t4t)a0，t0，28，等號成立當(dāng)且僅當(dāng) t2.(t4t)故 a 的取值范圍為8，)(2)由(1)知，當(dāng) t2，a8 時，邊 BC 上存在唯一點 Q，使 PQQD.此時 Q(2,2,0)，D(4,0,0)，P(0,0,4)3設(shè) n(x，y，z)是平面 PQD 的法向量，(2,2，4)，PQ 3(2,2,0)DQ 由Error!得Error!令 xy3，則 n(3,3，)是平面 PQD 的一個法向量，3而(0,2,0)是平面 PAD 的一個法向量，AB 設(shè)二面角 APDQ 為，來源:學(xué)?？啤＞W(wǎng) Z。X。X。K由 cos|cos，n|.AB 217二面角APDQ的余弦值為.217