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1、 數(shù) 學(xué)D單元數(shù)列 D1 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法11D12016上海卷 無窮數(shù)列an由k個(gè)不同的數(shù)組成，Sn為an的前n項(xiàng)和若對(duì)任意nN*，Sn2，3，則k的最大值為_114解析 由Sn2，3，得a1S12，3將數(shù)列寫出至最多項(xiàng)，其中有相同項(xiàng)的情況舍去，共有如下幾種情況：a12，a20，a31，a41；a12，a21，a30，a41；a12，a21，a31，a40；a13，a20，a31，a41；a13，a21，a30，a41；a13，a21，a31，a40.最多項(xiàng)均只能寫到第4項(xiàng)，即kmax4.D2 等差數(shù)列及等差數(shù)列前n項(xiàng)和12D22016北京卷 已知an為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和若a1

2、6，a3a50，則S6_126解析 設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，因?yàn)閍3a50，所以62d64d0，解得d2，所以S666(2)36306.8D22016江蘇卷 已知an是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和若a1a3，S510，則a9的值是_820解析 因?yàn)镾55a310，所以a32，設(shè)其公差為d，則a1a22d(2d)2d26d63，解得d3，所以a9a36d21820.3D22016全國卷 已知等差數(shù)列an前9項(xiàng)的和為27，a108，則a100()A100 B99C98 D973C解析 927，可得a53，所以a10a55d5，所以d1，所以a100a1090d98.19D2，D4，H62016四川

3、卷 已知數(shù)列an的首項(xiàng)為1，Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，Sn1qSn1，其中q0，nN*.(1)若2a2，a3，a22成等差數(shù)列，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)雙曲線x21的離心率為en，且e2，證明：e1e2en.19解：(1)由已知，Sn1qSn1，Sn2qSn11，兩式相減得到an2qan1，n1.又由S2qS11得到a2qa1，所以an1qan對(duì)所有n1都成立，所以，數(shù)列an是首項(xiàng)為1，公比為q的等比數(shù)列，從而anqn1.由2a2，a3，a22成等差數(shù)列，可得2a33a22，即2q23q2，則(2q1)(q2)0，由已知，q0，故q2，所以，an2n1(nN*)(2)證明：由(1)可知，

4、anqn1，所以雙曲線x21的離心率en.由e2，解得q(負(fù)值舍去)因?yàn)?q2(k1)q2(k1)，所以qk1(kN*)于是e1e2en1qqn1，故e1e2en.17D22016全國卷 Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且a11，S728.記bnlg an，其中x表示不超過x的最大整數(shù)，如0.90，lg 991.(1)求b1，b11，b101；(2)求數(shù)列bn的前1000項(xiàng)和17解：(1)設(shè)an的公差為d，據(jù)已知有721d28，解得d1，所以an的通項(xiàng)公式為ann.故b1lg 10，b11lg 111，b101lg 1012.(2)因?yàn)閎n所以數(shù)列bn的前1000項(xiàng)和為1902900311893

5、.18D2，D42016山東卷 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn3n28n，bn是等差數(shù)列，且anbnbn1.(1)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(2)令cn，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn.18解：(1)由題意知，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn16n5，當(dāng)n1時(shí)，a1S111，所以an6n5.設(shè)數(shù)列bn的公差為d.由即解得所以bn3n1.(2)由(1)知cn3(n1)2n1.又Tnc1c2cn，得Tn3222323(n1)2n1，2Tn3223324(n1)2n2，兩式作差，得Tn322223242n1(n1)2n234(n1)2n2 3n2n2，所以Tn3n2n2.18D22016天津卷 已知an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差

6、數(shù)列，公差為d.對(duì)任意的nN*，bn是an和an1的等比中項(xiàng)(1)設(shè)cnbb，nN*，求證：數(shù)列cn是等差數(shù)列；(2)設(shè)a1d，Tn,求證：.18證明：(1)由題意得banan1，有cnbban1an2anan12dan1，因此cn1cn2d(an2an1)2d2，所以cn是等差數(shù)列(2)Tn(bb)(bb)(bb)2d(a2a4a2n)2d2d2n(n1)，所以（1）.6D22016浙江卷 如圖11，點(diǎn)列An，Bn分別在某銳角的兩邊上，且|AnAn1|An1An2|，AnAn2，nN*，|BnBn1|Bn1Bn2|，BnBn2，nN*.(PQ表示點(diǎn)P與Q不重合)若dn|AnBn|，Sn為An

7、BnBn1的面積，則()圖11ASn是等差數(shù)列BS是等差數(shù)列Cdn是等差數(shù)列Dd是等差數(shù)列6A解析 由題意得，An是線段An1An1(n2)的中點(diǎn)，Bn是線段Bn1Bn1(n2)的中點(diǎn)，且線段AnAn1的長(zhǎng)度都相等，線段BnBn1的長(zhǎng)度都相等過點(diǎn)An作高線hn.由A1作高線h2的垂線A1C1，由A2作高線h3的垂線A2C2，則h2h1|A1A2|sinA2A1C1，h3h2|A2A3|sinA3A2C2.而|A1A2|A2A3|，A2A1C1A3A2C2，故h1，h2，h3成等差數(shù)列，故Sn是等差數(shù)列D3等比數(shù)列及等比數(shù)列前n項(xiàng)和20A1、D3、D52016江蘇卷 記U1，2，100對(duì)數(shù)列an

8、(nN*)和U的子集T，若T，定義ST0；若Tt1，t2，tk，定義STat1at2atk.例如：T1，3，66時(shí)，STa1a3a66.現(xiàn)設(shè)an(nN*)是公比為3的等比數(shù)列，且當(dāng)T2，4時(shí)，ST30.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)對(duì)任意正整數(shù)k(1k100)，若T1，2，k，求證：ST0，nN*，所以STa1a2ak133k1(3k1)3k.因此，STak1.(3)證明：下面分三種情況證明若D是C的子集，則SCSCDSCSDSDSD2SD.若C是D的子集，則SCSCDSCSC2SC2SD.若D不是C的子集，且C不是D的子集令EC(UD)，F(xiàn)D(UC)，則E，F(xiàn)，EF.于是SCSESCD，

9、SDSFSCD，進(jìn)而由SCSD，得SESF.設(shè)k是E中最大的數(shù)，l為F中最大的數(shù)，則k1，l1，kl.由(2)知，SEak1，于是3l1alSFSEak13k，所以l1k，即lk.又kl，故lk1，從而SFa1a2al133l1，故SE2SF1，所以SCSCD2(SDSCD)1，即SCSCD2SD1.綜合得，SCSCD2SD.15D32016全國卷 設(shè)等比數(shù)列an滿足a1a310，a2a45，則a1a2an的最大值為_1564解析 設(shè)該等比數(shù)列的公比為q，則q，可得a1a110，得a18，所以an8（）n1（）n4.所以a1a2an（）3210(n4)，易知當(dāng)n3或n4時(shí)，(n27n)取得最小

10、值6，故a1a2an的最大值為（）664.17D3、D42016全國卷 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn1an，其中0.(1)證明an是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；(2)若S5，求.17解：(1)由題意得a1S11a1，故1，a1，a10.由Sn1an，Sn11an1得an1an1an，即an1(1)an.由a10，0得an0，所以.因此an是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，于是an（）n1.(2)由(1)得Sn1（）n，由S5得1（）5，即（5，解得1.5D32016四川卷 某公司為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長(zhǎng)1

11、2%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是()(參考數(shù)據(jù)：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)A2018年 B2019年C2020年 D2021年5B解析 設(shè)x年后該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元，由題可知，130(112%)x200，解得xlog1.123.80，因?yàn)閤為整數(shù)，所以x取4，故開始超過200萬元的年份是2019年5D3、A22016天津卷 設(shè)an是首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為q，則“q0”是“對(duì)任意的正整數(shù)n，a2n1a2n0”的()A充要條件B充分而不必要條件C必要而不充分條件D既不充分也不必要條件5C解析 設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為a1，則a2n1a2na1q2n2(1q)0，即q1，故選C.13D32016浙江卷 設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.若S24，an12Sn1，nN*，則a1_，S5_131121解析 由an12Sn1，得an2Sn11(n2)，兩式相減得，an1an2(SnSn1)2an，即an13an(n2)，而a22a11，S2a1a24，解得a11，a23，故an是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，所以S512