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1、對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1課 題： 35對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)教學(xué)目的：1.理解掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的兩個(gè)求導(dǎo)公式.2.在學(xué)習(xí)了函數(shù)四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則與復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的基礎(chǔ)上，應(yīng)用對(duì)數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)公式，能求簡(jiǎn)單的初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)教學(xué)重點(diǎn)：應(yīng)用對(duì)數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)公式求簡(jiǎn)單的初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的記憶，對(duì)數(shù)函數(shù)求導(dǎo)公式的靈活運(yùn)用. 授課類(lèi)型：新授課 課時(shí)安排：1課時(shí)教 具：多媒體、實(shí)物投影儀 教學(xué)過(guò)程：一、復(fù)習(xí)引入：1. 常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：0=C ；1)(-=n n nx x ；x x cos )(sin =；x x sin )(cos -=2.法則1 )()()()(x v

2、 x u x v x u =法則2 ()()()()()()u x v x u x v x u x v x =+, ()(Cu x Cu x =法則3 2(0)u u v uv v v v -?= ?3.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：設(shè)函數(shù)u =?(x )在點(diǎn)x 處有導(dǎo)數(shù)u x =?(x )，函數(shù)y =f (u )在點(diǎn)x的對(duì)應(yīng)點(diǎn)u 處有導(dǎo)數(shù)y u =f (u )，則復(fù)合函數(shù)y =f (? (x )在點(diǎn)x 處也有導(dǎo)數(shù)，且x u x u y y ?= 或f x (? (x )=f (u ) ?(x ).4.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)，等于已知函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)，乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)5.復(fù)

3、合函數(shù)求導(dǎo)的基本步驟是：分解求導(dǎo)相乘回代 二、講解新課：對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）： xx )(ln =證明： x x f y ln )(= x x x x x x y ?+=-?+=?lnln )ln()1ln(xx?+=， )1ln(1x x x x y ?+?=?=)1ln(1xxx x x ?+?x xx x x ?+=)1ln(1 =?=?x y y x 0limx xx x x x ?+)1ln(lim 10)1(lim ln10x xx x x x ?+=xe x 1ln 1=即 xx 1)(ln = 附：重要極限e xxx =+)11(lim 或e x x x =+10)1(lim2

4、.對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（2）： xx a a log 1)(log = 證明：根據(jù)對(duì)數(shù)的換底公式 e xx a a x x a a l o g 11ln 1)ln ln ()(log =?= 根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)公式以及函數(shù)的四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，我們可以求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)三、講解范例：例1求)132ln(2+=x x y 的導(dǎo)數(shù)解： y =ln(2x 2+3x +1)=13212+x x (2x 2+3x +1)=132342+x x x 例2求21lg x y -=的導(dǎo)數(shù) 解法一：y =(lg21x -)=211x-lg e (21x -)=21lg x e-21(1x 2)2

5、1-(1x 2)=21lg x e -2121x-(2x )=1lg 1lg 22-=-x e x x e x分析：對(duì)數(shù)函數(shù)，可以先把它化簡(jiǎn)，然后根據(jù)求導(dǎo)法則進(jìn)行求導(dǎo)解法二： y =lg2112=-x lg(1x 2) y =21lg(1x 2)=21121x -lg e (1x 2) =)1(2lg 2x e -(2x )=1lg 2-x ex說(shuō)明：真數(shù)中若含乘方或開(kāi)方、乘法或除法的，均可先變形再求導(dǎo) 實(shí)際上，解法1中u y lg =，v u =，21x v -=，取了兩個(gè)中間變量，屬于多重復(fù)合而解法2中u y lg 21=，21x u -=，僅有一次復(fù)合，所以其解法顯得簡(jiǎn)單，不易出錯(cuò)例3求

6、函數(shù)y =ln(12+x x )的導(dǎo)數(shù).分析：由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：y x =y u u x 對(duì)原函數(shù)由外向內(nèi)逐個(gè)拆成幾個(gè)簡(jiǎn)單的基本初等函數(shù).解：)1(1122-+?-+=x x xxy 1221(1)21)2x x -=+?- 1)=-=例4 若f (x )=ln(ln x )，那么f (x )|x =e = .(B) A.e B.e1 C.1 D.以上都不對(duì)解：f (x )=ln(ln x )=xln 1(ln x )x x ln f (x )|x =e =e e ln 1?e 例5 y =ln ln(ln x )的導(dǎo)數(shù)是 (C) A.)ln(ln 1x x B.)ln(ln ln 1x x

7、 C.)ln(ln ln 1x x x D.)ln(ln 1x解：y =)ln(ln 1x ln(ln x )=)ln(ln 1x xln 1 (ln x )=)ln(ln 1x x ln 1x 1=)ln(ln ln 1x x x ?所以用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則時(shí)，要由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)，直到不能求導(dǎo)為止. 例6求y =ln|x |的導(dǎo)數(shù).解：當(dāng)x 0時(shí)，y =ln x . y =(ln x )=x1；當(dāng)x 0時(shí)，y =ln(x )，y =ln(x )=x -1 (1)= x1， y =x1 錯(cuò)誤方法：y =(ln|x |)=|1x ，|x |可以看成ln|x |的中間變量，對(duì)|x |還要求導(dǎo).所以

8、以后遇到要求含有絕對(duì)值的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，首先要把絕對(duì)值去掉，分情況討論.例7求y =log a 21x +的導(dǎo)數(shù). 解：y =(log a21x +)=211x+log a e (21x +)221221log 2)1(211log x e x x x x e a a +=?+?+=- 例8（僅教師參考）求y =nx x)(ln 的導(dǎo)數(shù).分析：這類(lèi)函數(shù)是指數(shù)上也是含有x 的冪函數(shù).這樣用以前學(xué)過(guò)的冪函數(shù)的求導(dǎo)公式就行不通了. 以前指數(shù)是常數(shù)的冪函數(shù).像形如(u (x )v (x )的函數(shù)的求導(dǎo)，它的方法可以是兩邊取自然對(duì)數(shù)，然后再對(duì)x 求導(dǎo).解：y =nx x )(ln 兩邊取自然對(duì)數(shù). ln

9、y =ln nx x)(ln =(ln x )nln x =(ln x )n +1.兩邊對(duì)x 求導(dǎo)，y 1 y =(n +1)(ln x )n(ln x )=(n +1)x x n )(lny =x x n n )(ln 1(+y =xx n n )(ln 1(+nx x )(ln =(n +1)(ln x )n1)(ln -nx x.四、課堂練習(xí)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).1.y =x ln x 解：y =(x ln x )=x ln x +x (ln x )=ln x +x x1=ln x +1 2.y x 解：y =(ln x 1)=x11 (x 1)=x (1)x 2=x 1=x 1.3.y

10、=log a (x 22). 解：y =log a (x 22)=2log 2-x e a (x 22)=2log 22-x e x a . 4.y =lg(sin x )解：y =lg(sin x )=x e sin lg (sin x )=xe sin lg cos x =cot x lg e . 5.y =lnx -1.解：y =(ln x -1)1(11-=x x)1()1(211121-=-x x )1(21)1(21-=-=x x6.y =ln12+x解：y =(ln12+x )1(1122+=x x?+?+=-2122)1(2111x x 122+=x x x . 7.y =1l

11、n +x xx ln(x +1). 解：y =(1ln +x xx )ln(x +1) 21(ln )(1)ln (1)1(1)1x x x x x x x x x +?+-+=-+ 2(ln 1)(1)ln 1(1)1x x x x x x +-=-+2ln ln 1ln 1(1)x x x x x x x x +-=+2ln (1)xx =+ 8.y =a a x x a a x x 22222ln22+?+. 解：y =)ln 2()2(22222+aa x x a a x x 1222211()2(222x a x a x x a-=?+?+ 1222221()22x a x -+?2

12、2(1+222=222=五、小結(jié)：要記住并用熟對(duì)數(shù)函數(shù)的兩個(gè)求導(dǎo)公式；遇到真數(shù)中含有乘法、除法、乘方、開(kāi)方這些運(yùn)算的，可以先利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)將函數(shù)解析式作變形處理，然后再求導(dǎo)，以使運(yùn)算較簡(jiǎn)便六、課后作業(yè)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：)1(log22xxy+=；2211lnxxy-+=；xxy2sinln=；)(sinln2xey-=解：)1(1log222xxxxey+=?+=)1(12111log2222xxxxe?+=222111logxxxxe221logxe+=；)1ln()1ln(2122xxy-+=?-+=22221)1(1)1(21xxxxy?-+=22121221xxxx412xx-=；)2sin(2sinxxxxy=22sin2cos22sin xxxxxx-?=xx12cot2-=；cot(2)(sin)1)(cos()sin(2)(sin)(sin222xexexexexexey-=-=-=七、板書(shū)設(shè)計(jì)（略）八、課后記：