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1、反三角函數(shù)及最簡(jiǎn)三角方程反三角函數(shù)及最簡(jiǎn)三角方程一、知識(shí)回顧： 1、反三角函數(shù)：概念：把正弦函數(shù)sin y x =，,22x ?-?時(shí)的反函數(shù)，成為反正弦函數(shù)，記作x y arcsin =.sin ()y x x R =，不存在反函數(shù).含義：arcsin x 表示一個(gè)角；角,22?-?；sin x =.反余弦、反正切函數(shù)同理，性質(zhì)如下表.其中：（1） 符號(hào)arcsin x 可以理解為2，2上的一個(gè)角(弧度)，也可以理解為區(qū)間2，2上的一個(gè)實(shí)數(shù)；同樣符號(hào)arccos x 可以理解為0，上的一個(gè)角(弧度)，也可以理解為區(qū)間0，上的一個(gè)實(shí)數(shù)； （2） y arcsin x 等價(jià)于sin y x ,

2、y 2，2, y arccos x 等價(jià)于cos y x , x 0, , 這兩個(gè)等價(jià)關(guān)系是解反三角函數(shù)問(wèn)題的主要依據(jù)； （3）恒等式sin(arcsin x )x , x 1, 1 , cos(arccos x )x , x 1, 1, tan(arctanx)=x,x Rarcsin(sin x )x , x 2，2, arccos(cos x )x , x 0,arctan(tanx)=x, x （2，2）的運(yùn)用的條件； （4） 恒等式arcsin x arccos x 2, arctan x arccot x 2的應(yīng)用。 2（1）含有未知數(shù)的三角函數(shù)的方程叫做三角方程。解三角方程就是確

3、定三角方程是否有解，如果有解，求出三角方程的解集； （2）解最簡(jiǎn)單的三角方程是解簡(jiǎn)單的三角方程的基礎(chǔ)，要在理解三角方程的基礎(chǔ)上，熟練地寫出最簡(jiǎn)單的三角方程的解； （3）要熟悉同名三角函數(shù)相等時(shí)角度之間的關(guān)系在解三角方程中的作用； 如：若sin sin =，則sin (1)k k =+-；若cos cos =，則2k =；若tan tan =，則a k =+；若cot cot =，則a k =+； （4）會(huì)用數(shù)形結(jié)合的思想和函數(shù)思想進(jìn)行含有參數(shù)的三角方程的解的情況和討論。 二、典型例題：例1. 函數(shù)，的反函數(shù)為（）y x x =?sin 232A y x x .a r c s in =-，11

4、B y x x .arcsin =-，11 C y x x .arcsin =+-，11 D y x x .arcsin =-，11 例2. 函數(shù)，的圖象為（）y x x =-?arccos(cos )22（A ） （B ） （C ） （D ） 例3. 函數(shù)，的值域?yàn)椋ǎ﹜ x x =-arccos(sin )()323 A B .656056，?C D .323623，? ? 例4.使arcsin arccos x x 成立的x 的取值范圍是( )A B .022221，? ? ? )C D .-?-12210，例5. 若，則（）022?+=arcsin cos()arccos sin()A

5、 B C D .222222- 例6. 求值：(1)3sin 2arcsin 5?- ? (2)11tan arccos 23? ?分析：arcsin()arcsin()sin -?=-352235表示，上的角，若設(shè)，則易得=-352，原題即是求的值，這就轉(zhuǎn)化為早已熟悉的三角求值問(wèn)題，解決此類sin 問(wèn)題的關(guān)鍵是能認(rèn)清三角式的含義及運(yùn)算次序，利用換元思想轉(zhuǎn)化為三角求值。例7.畫出下列函數(shù)的圖像（1）)arcsin(sin x y = （2）1,1),sin(arccos -=x x y 例8.已知)23,(,135sin ),2,0(,2572cos -=求+（用反三角函數(shù)表示） 分析：可求+

6、的某一三角函數(shù)值，再根據(jù)+的范圍，利用反三角函數(shù)表示角。 例9.已知函數(shù)2()arccos()f x x x =-（1）求函數(shù)的定義域、值域和單調(diào)區(qū)間；（2）解不等式：()(21)f x f x例10.寫出下列三角方程的解集(1)sin()8x -=; (2)2cos310x +=; (3)cot 3= 例11.求方程tan(3)4x +=0,2上的解集. 例12.解方程22sin 10x x +=例13. 解方程3sin 2cos 0x x -= 222sin 3sin cos 2cos 0x x x x -=例14.解方程：2cos 21x x -= (2)5sin312cos3 6.5x

7、 x -= 思考：引入輔助角，化為最簡(jiǎn)單的三角方程例15.解方程22sin 3cos 0x x +=例16.解方程：tan()tan()2cot 44x x x +-= 例17.已知方程sin 0x x a +=在區(qū)間0,2上有且只有兩個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍。 說(shuō)明對(duì)于兩個(gè)相等的同名三角函數(shù)所組成的三角方程，可直接利用以下關(guān)系得到方程的解（1）sin sin =，則2k =+或2,k k Z =+-； （2）cos cos =，則2k =+或2,k k Z =-； （3）tan tan =，則,k k Z =+三、同步練習(xí)：反三角函數(shù)1.3arctan(tan )5的值是 ( )A.

8、35-B. 25C.25-D.352.下列關(guān)系式中正確的是 ( )A. 55cos cos 44arc ?-=- ? B. sin arcsin 33?= ? C. cos cos cos cos 44arc arc ?= ? ? D.1tan(2)cot()2arc arc -=-3.函數(shù)()arcsin(tan )f x x =的定義域是 ( )A.,44?-?B.(),44k k k Z ?-+?C.(),(1)44k k k Z ?+-?D.()2,244k k k Z ?-+?4.在31,2?-?上和函數(shù)y x =相同的函數(shù)是 ( )A.arccos(cos )y x =B.arcs

9、in(sin )y x =C.sin(arcsin )y x =D.cos(arccos )y x = 5.函數(shù)arctan2xy =+的反函數(shù)是 . 6.求sin y x =在3,22?上的反函數(shù). 7.比較arccos 4?- ? ?與1cot()2arc -的大小. 8.研究函數(shù)()2arccos y x x =-的定義域、值域及單調(diào)性. 9.計(jì)算:45cos arccos arccos 513?- ? 10.求下列函數(shù)的定義域和值域： (1) y arccosx1; (2) y arcsin(x 2x ); (3) y arccot(2x 1), 11.求函數(shù)y (arccos x )

10、23arccos x 的最值及相應(yīng)的x 的值。簡(jiǎn)單的三角方程 1.解下列方程.(1)2tan 1x = (2)sin5sin3x x = 2.方程sin2x sin x 在區(qū)間(0, 2)內(nèi)的解的個(gè)數(shù)是 .3.(1) 方程tan3x tg x 的解集是 . (2) 方程sin x cos x 22在區(qū)間0, 4上的所有的解的和是 .4.解方程22sin cos cos 0x x x x -=參考答案：典型例題:例1. 分析與解：232x ?-?x x 22，需把角轉(zhuǎn)化至主值區(qū)間。-=22x x x y ，又sin()sin由反正弦函數(shù)定義，得-=x y arcsin =-x y y arcsi

11、n ，又由已知得11 =-所求反函數(shù)為，y x x arcsin 11 例2. 分析與解：解析式可化簡(jiǎn)為，y x x x x x =? ?-?arccos(cos )0220即，顯然其圖象應(yīng)為（）y x x x x A =? ?-?0220 例3.分析與解：欲求函數(shù)值域，需先求，的值域。u x x =-sin ()323-323321321x x u ，即sin 而在，上為減函數(shù)y u =-arccos 11 -arccos()arccos arccos 321u 即，故選（）056y B 例4. 分析與解：該題研究不等關(guān)系，故需利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化，又因?yàn)榍髕 的取值范圍，故需把x 從反

12、三角函數(shù)式中分離出來(lái)，為此只需對(duì)arcsinx ，arccosx 同時(shí)取某一三角函數(shù)即可，不妨選用正弦函數(shù)。若，則，而，x x x -?0202arcsin arccos 此時(shí)不成立，故arcsin arccos x x x 0若，則，x x x ? ? ?00202arcsin arccos 而在區(qū)間，上為增函數(shù)y x =? ?sin 02又arcsin arccos sin(arcsin )sin(arccos )x xx x 即，解不等式，得x x x -1222| 又，故選（）01221arcsin cos()arcsin(sin )arcsin(sin )2+?=-=-=-arccos sin()arccos(sin )arccos(sin )+=-=-=-?=-=+arccos cos()(),222=-+=原式，故選（）()()22A例6. 解：（）設(shè)，則13535arcsin()sin -=-?=-=221452，cos sin=?-?=-sin sin cos ()()22235452425即sin arcsin()2352425-?=-（）設(shè)，則21313arcco