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1、反三角函數(shù)及最簡(jiǎn)三角方程一、知識(shí)回顧：1、反三角函數(shù)：概念：把正弦函數(shù)，時(shí)的反函數(shù)，成為反正弦函數(shù)，記作. ，不存在反函數(shù).含義：表示一個(gè)角；角；.反余弦、反正切函數(shù)同理，性質(zhì)如下表.名稱(chēng)函數(shù)式定義域值域奇偶性單調(diào)性反正弦函數(shù)增奇函數(shù)增函數(shù)反余弦函數(shù)減非奇非偶減函數(shù)反正切函數(shù)R 增奇函數(shù)增函數(shù)反余切函數(shù)R 減非奇非偶減函數(shù) 其中： （1） 符號(hào)arcsinx可以理解為，上的一個(gè)角(弧度)，也可以理解為區(qū)間，上的一個(gè)實(shí)數(shù)；同樣符號(hào)arccosx可以理解為0，上的一個(gè)角(弧度)，也可以理解為區(qū)間0，上的一個(gè)實(shí)數(shù)； （2） yarcsinx等價(jià)于sinyx, y，, yarccosx等價(jià)于cosyx

2、, x0, , 這兩個(gè)等價(jià)關(guān)系是解反三角函數(shù)問(wèn)題的主要依據(jù)； （3）恒等式sin(arcsinx)x, x1, 1 , cos(arccosx)x, x1, 1, tan(arctanx)=x,xRarcsin(sinx)x, x，, arccos(cosx)x, x0, ,arctan(tanx)=x, x（，）的運(yùn)用的條件； （4） 恒等式arcsinxarccosx, arctanxarccotx的應(yīng)用。2、最簡(jiǎn)單的三角方程方程方程的解集其中：（1）含有未知數(shù)的三角函數(shù)的方程叫做三角方程。解三角方程就是確定三角方程是否有解，如果有解，求出三角方程的解集； （2）解最簡(jiǎn)單的三角方程是解簡(jiǎn)單

3、的三角方程的基礎(chǔ)，要在理解三角方程的基礎(chǔ)上，熟練地寫(xiě)出最簡(jiǎn)單的三角方程的解； （3）要熟悉同名三角函數(shù)相等時(shí)角度之間的關(guān)系在解三角方程中的作用； 如：若，則；若，則； 若，則；若，則； （4）會(huì)用數(shù)形結(jié)合的思想和函數(shù)思想進(jìn)行含有參數(shù)的三角方程的解的情況和討論。二、典型例題：例1. 例2. 例3. 例4.使成立的x的取值范圍是( ) 例5. 例6. 求值：(1) (2) 分析：?jiǎn)栴}的關(guān)鍵是能認(rèn)清三角式的含義及運(yùn)算次序，利用換元思想轉(zhuǎn)化為三角求值。 例7.畫(huà)出下列函數(shù)的圖像（1） （2）例8.已知求（用反三角函數(shù)表示） 分析：可求的某一三角函數(shù)值，再根據(jù)的范圍，利用反三角函數(shù)表示角。例9.已知函數(shù)

4、（1）求函數(shù)的定義域、值域和單調(diào)區(qū)間；（2）解不等式：例10.寫(xiě)出下列三角方程的解集(1); (2); (3)例11.求方程在上的解集.例12.解方程例13.解方程例14.解方程：(1) (2)思考：引入輔助角，化為最簡(jiǎn)單的三角方程例15.解方程例16.解方程：例17.已知方程在區(qū)間上有且只有兩個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。 說(shuō)明對(duì)于兩個(gè)相等的同名三角函數(shù)所組成的三角方程，可直接利用以下關(guān)系得到方程的解（1），則或；（2），則或；（3），則三、同步練習(xí)：反三角函數(shù)1.的值是 ( )A. B. C. D.2.下列關(guān)系式中正確的是 ( )A. B. C. D.3.函數(shù)的定義域是 ( )A. B.

5、 C. D.4.在上和函數(shù)相同的函數(shù)是 ( )A. B. C. D.5.函數(shù)的反函數(shù)是 .6.求在上的反函數(shù).7.比較與的大小. 8.研究函數(shù)的定義域、值域及單調(diào)性.9.計(jì)算:10.求下列函數(shù)的定義域和值域： (1) yarccos; (2) yarcsin(x2x); (3) yarccot(2x1), 11.求函數(shù)y(arccosx)23arccosx的最值及相應(yīng)的x的值。 簡(jiǎn)單的三角方程1.解下列方程.(1) (2) 2.方程sin2xsinx在區(qū)間(0, 2)內(nèi)的解的個(gè)數(shù)是 .3.(1) 方程tan3xtgx的解集是 . (2) 方程sinxcosx在區(qū)間0, 4上的所有的解的和是 .

6、4.解方程參考答案：典型例題:例1. 分析與解： 例2. 分析與解： 例3. 分析與解： 例4. 分析與解： 該題研究不等關(guān)系，故需利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化，又因?yàn)榍髕的取值范圍，故需把x從反三角函數(shù)式中分離出來(lái)，為此只需對(duì)arcsinx，arccosx同時(shí)取某一三角函數(shù)即可，不妨選用正弦函數(shù)。 例5. 分析與解：這是三角函數(shù)的反三角運(yùn)算，其方法是把角化到相應(yīng)的反三角函數(shù)的值域內(nèi)。 例6. 解： 例7. (1)函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 其圖像是折線(xiàn)，如圖所示：(2) 其圖像為單位圓的上半圓（包括端點(diǎn)）如圖所示：例8. 解：又 又 又 從而講評(píng)：由題設(shè)，得由計(jì)算，但是確定的角，因而

7、 的值也是唯一確定的。所以必須確定所在的象限，在以上的解法中，由的范圍，再根據(jù)的值，進(jìn)一步得到從而確定，故得出正確的答案：例9. 解：（1）由得 又的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)橛謺r(shí)，單調(diào)遞減，單調(diào)遞減，從而遞增的單調(diào)遞增區(qū)間是，同理的單調(diào)遞減區(qū)間是（2）即 解不等式組得 不等式的解集為例10. 解集x|x=(k+arctg3)2，kZ例11. 說(shuō)明 如何求在指定區(qū)間上的解集？(1)先求出通解，(2)讓k取適當(dāng)?shù)恼麛?shù)，一一求出在指定區(qū)間上的特解，(3)寫(xiě)指定區(qū)間上的解例12. 解：方程化為說(shuō)明 可化為關(guān)于某一三角函數(shù)的二次方程，然后按二次方程解例13. 除以cos2x化為2tg2x-3tgx-2=0說(shuō)明

8、關(guān)于sinx，cosx的齊次方程的解法：方程兩邊都除cosnx(n=1，2，3，)(cosx=0不是方程的解)，轉(zhuǎn)化為關(guān)于tgx的方程來(lái)解例14. 思考：引入輔助角，化為最簡(jiǎn)單的三角方程2x-30=k180+(-1)k30x=k90+(-1)k15+15(kZ)所以解集是x|x=k90+(-1)k15+15，kZ于是x=k60+(-1)k10+2238，(kZ)原方程的解集為x|x=k60(-1)k10+2238，kZ最簡(jiǎn)單的三角方程例15. 解 原方程可化為 ，即 解這個(gè)關(guān)于的二次方程，得，由，得解集為；由，得解集為所以原方程的解集為說(shuō)明方程中的可化為，這樣原方程便可看成以為未知數(shù)的一元二次

9、方程，當(dāng)時(shí)，可用因式分解將原方程轉(zhuǎn)化成兩個(gè)最簡(jiǎn)方程，從而求得它們的解例16. 解：tg(x)tg(x)2ctgx , 去分母整理得tg2x, tgx, xk, kZ, 由根據(jù)定義知xk, xk, xk, kZ, 即 xk, xk, xk, 而中又增加了限制條件xk, kZ, 即從到有可能丟根，xk, 經(jīng)驗(yàn)算xk是原方程的根， 原方程的解集是x| x xk或xk, kZ例17. 解：由sinxcosxa0得2sin(x)a, sin(x), 2a2 x0, 2, x, 2, 又原方程有且只有兩個(gè)不同的解， a2, a2, 即|a|2時(shí)，原方程只有一解； 又當(dāng)a時(shí)，sin(x)，得x或或, 解得x

10、0或x或x2,此時(shí)原方程有三個(gè)解， a(2, )(, 2).同步練習(xí):CCBB 7. 10. 解：(1) yarccos, 01, 0 arccot(2x1), xR, y(0, ).11. 解：函數(shù)y(arccosx)23arccosx, x1, 1, arccosx0, 設(shè)arccosxt, 0t, yt23t(t)2, 當(dāng)t時(shí),即xcos時(shí), 函數(shù)取得最小值， 當(dāng)t時(shí),即x1時(shí)，函數(shù)取得最大值23.簡(jiǎn)單的三角方程: 1. 解下列方程.(2)5x=2k+3x或5x=2k+-3x或解：作出函數(shù)ysin2x和ysinx的圖象，由圖象知，它們的交點(diǎn)有3個(gè)。3. 解：(1) tan3xtanx, 3xxk, x, 由于定義域?yàn)?xk, xk, 原方程的解集為x| xk, kZ. (2) sinxcosx, sin(x), x2k或x2k, x2k或x2k, kZ, 又x0, 4, 所有的的解為, 2,2, 4, 它們