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1、江蘇省南通市2021屆高三第一次模擬考試數(shù)學試卷(Word版,含答案)2021屆高三年級第一次模擬考試數(shù) 學(滿分160分，考試時間120分鐘)參考公式：柱體的體積公式：V 柱體Sh ，其中S 為柱體的底面積，h 為高. 一、 填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分.1. 已知集合A 1，3，B 0，1，則集合A B .2. 已知復數(shù)z 2i1i3i (i 為虛數(shù)單位)，則復數(shù)z 的模為 .3. 某中學組織學生參加社會實踐活動，高二(1)班50名學生參加活動的次數(shù)統(tǒng)計如下： 則平均每人參加活動的次數(shù)為 .4. 如圖是一個算法流程圖，則輸出的b 的值為 .5. 有數(shù)學、物理、化學三個興

2、趣小組，甲、乙兩位同學各隨機參加一個，則這兩位同學參加不同興趣小組的概率為 .6. 已知正四棱柱的底面邊長是3 cm ，側(cè)面的對角線長是35cm ，則這個正四棱柱的體積為 cm 3.7. 若實數(shù)x ，y 滿足x y 2x 3，則x y 的最小值為 .8. 在平面直角坐標系xOy 中，已知拋物線y 22px(p0)的準線為l ，直線l 與雙曲線x 24y21的兩條漸近線分別交于A ，B 兩點，AB 6，則p 的值為 .9. 在平面直角坐標系xOy 中，已知直線y 3x t 與曲線y a sin x b cos x(a ，b ，t R )相切于點(0，1)，則(a b )t 的值為 。10. 已知

3、數(shù)列a n 是等比數(shù)列，有下列四個命題： 數(shù)列|a n |是等比數(shù)列； 數(shù)列a n a n 1是等比數(shù)列； 數(shù)列?1a n 是等比數(shù)列； 數(shù)列l(wèi)g a 2n 是等比數(shù)列.其中正確的命題有 個.11. 已知函數(shù)f(x)是定義在R 上的奇函數(shù)，且f (x 2)f (x ).當012. 在平面四邊形ABCD 中，AB 1，DA DB ，AB AC 3，AC AD 2，則|AC 2AD |的最小值為 .13. 在平面直角坐標系xOy 中，圓O ：x 2y 21，圓C ：(x 4)2y 24.若存在過點P(m ，0)的直線l ，直線l 被兩圓截得的弦長相等，則實數(shù)m 的取值范圍是 .14. 已知函數(shù)f(

4、x)(2x a)(|x a|x 2a|)(ab0)的左焦點為F ，右頂點為A ，上頂點為B.(1) 已知橢圓的離心率為12，線段AF 中點的橫坐標為22，求橢圓的標準方程；(2) 已知ABF 的外接圓的圓心在直線y x 上，求橢圓的離心率e 的值. 18. (本小題滿分16分)如圖1，一藝術(shù)拱門由兩部分組成，下部為矩形ABCD ，AB ，AD 的長分別為2 3 m 和4 m ，上部是圓心為O 的劣弧CD ，COD 23.(1) 求圖1中拱門最高點到地面的距離；(2) 現(xiàn)欲以點B 為支點將拱門放倒，放倒過程中矩形ABCD 所在的平面始終與地面垂直，如圖2、圖3、圖4所示.設BC 與地面水平線l

5、所成的角為.記拱門上的點到地面的最大距離為h ，試用的函數(shù)表示h ，并求出h 的最大值.19. (本小題滿分16分)已知函數(shù)f(x)axln x(a R ).(1) 討論函數(shù)f (x )的單調(diào)性；(2) 設函數(shù)f (x )的導函數(shù)為f (x )，若函數(shù)f (x )有兩個不相同的零點x 1，x 2. 求實數(shù)a 的取值范圍； 證明：x 1f (x 1)x 2f (x 2)2ln a 2.20. (本小題滿分16分)已知等差數(shù)列a n 滿足a 44，前8項和S 836. (1) 求數(shù)列a n 的通項公式；(2) 若數(shù)列b n 滿足k 1n (b k a 2n 12k )2a n 3(2n 1)(n

6、N *). 證明：b n 為等比數(shù)列； 求集合?（m ，p ）|a m b m3a p b p，m ，p N *. 2021屆高三年級第一次模擬考試數(shù)學附加題(本部分滿分40分，考試時間30分鐘)21. 【選做題】本題包括A 、B 、C 三小題，請選定其中兩小題，并作答.若多做，則按作答的前兩小題評分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.A. 選修4-2：矩陣與變換(本小題滿分10分)已知矩陣M ?a b c d ，N ?10012，且(MN )1?14002，求矩陣M . 選修4-4：坐標系與參數(shù)方程(本小題滿分10分)在平面直角坐標系xOy 中，曲線C 的參數(shù)方程是?x t ，y t

7、 2(t 為參數(shù)).以原點O 為極點，x 軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線l 的極坐標方程是sin ?4 2.求： (1) 直線l 的直角坐標方程；(2) 直線l 被曲線C 截得的線段長.C. 選修4-5：不等式選講(本小題滿分10分)已知實數(shù)a ，b ，c 滿足a 2b 2c 21，求證：1a 211b 211c 21.【必做題】第22題、第23題，每小題10分，共計20分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.22. (本小題滿分10分)“回文數(shù)”是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù)，如22，121，3 553等.顯然2位“回文數(shù)”共9個：11，22，33，99.現(xiàn)從9個不同的2位“

8、回文數(shù)”中任取1個乘以4，其結(jié)果記為X；從9個不同的2位“回文數(shù)”中任取2個相加，其結(jié)果記為Y.(1) 求X為“回文數(shù)”的概率；(2) 設隨機變量表示X，Y兩數(shù)中“回文數(shù)”的個數(shù)，求的概率分布和數(shù)學期望E().23. (本小題滿分10分)設集合B是集合A n1，2，3，3n2，3n1，3n，nN*的子集.記集合B中所有元素的和為S(規(guī)定：集合B為空集時，S0).若S為3的整數(shù)倍，則稱B為A n的“和諧子集”.求：(1) 集合A1的“和諧子集”的個數(shù)；(2) 集合A n的“和諧子集”的個數(shù).2021屆高三年級第一次模擬考試(南通)數(shù)學參考答案1.0，1，32.53.34.75.23 6.547.

9、6 8.26 9.4 10.3 11.2 12.2 5 13.?4，43 14.337 15. (1) 在四棱錐PABCD 中，M ，N 分別為棱PA ，PD 的中點， 所以MN AD.(2分) 又底面ABCD 是矩形， 所以BC AD.所以MN BC.(4分)又BC ?平面PBC ，MN ?平面PBC ， 所以MN 平面PBC.(6分) (2) 因為底面ABCD 是矩形， 所以AB AD.又側(cè)面PAD 底面ABCD ，側(cè)面PAD 底面ABCD AD ，AB ?底面ABCD ， 所以AB 側(cè)面PAD.(8分) 又MD ?側(cè)面PAD ， 所以AB MD.(10分)因為DA DP ，又M 為AP

10、的中點， 從而MD PA.(12分)又PA ，AB 在平面PAB 內(nèi)，PA AB A ， 所以MD 平面PAB.(14分) 16. (1) 在ABC 中，因為cos A 33，03.(2分) 因為a cos B 2b cos A ，由正弦定理a sin A bsin B，得sin A cos B 2sin B cos A.所以cos B sin B.(4分)若cos B 0，則sin B 0，與sin 2B cos 2B 1矛盾，故cos B 0. 于是tan B sin Bcos B 1.又因為04.(7分)(2) 因為a 6，sin A 63，由(1)及正弦定理a sin A b sin

11、B ，得663b22，所以b 322.(9分)又sin C sin (A B) sin (A B)sin A cos B cos A sin B 63223322 2366.(12分) 所以ABC 的面積為S 12ab sin C 12632223666324.(14分)17. (1) 因為橢圓x 2a 2y 2b 21(ab0)的離心率為12，所以c a 12，則a 2c.因為線段AF 中點的橫坐標為22， 所以a c 222.所以c 2，則a 28，b 2a 2c 26. 所以橢圓的標準方程為x 28y 261.(4分)(2) 因為點A(a ，0)，點F(c ，0)， 所以線段AF 的中垂

12、線方程為x a c2.又因為ABF 的外接圓的圓心C 在直線y x 上， 所以點C ?a c 2，a c 2.(6分) 因為點A(a ，0)，點B(0，b)，所以線段AB 的中垂線方程為：y b 2ab ?x a 2. 由點C 在線段AB 的中垂線上，得a c 2b 2a b ?a c 2a 2，整理得，b(a c)b 2ac ，(10分)即(b c)(a b)0.因為a b0，所以b c.(12分)所以橢圓的離心率e c a c b 2c222.(14分)18. (1) 如圖1，過點O 作與地面垂直的直線交AB ，CD 于點O 1，O 2，交劣弧CD 于點P ，O 1P 的長即為拱門最高點到

13、地面的距離.在Rt O 2OC 中，O 2OC 3，CO 23，所以OO 21，圓的半徑R OC 2.所以O 1P R OO 1R O 1O 2OO 25. 故拱門最高點到地面的距離為5m .(4分)(2) 在拱門放倒過程中，過點O 作與地面垂直的直線與“拱門外框上沿”相交于點P. 當點P 在劣弧CD 上時，拱門上的點到地面的最大距離h 等于圓O 的半徑長與圓心O 到地面距離之和；當點P 在線段AD 上時，拱門上的點到地面的最大距離h 等于點D 到地面的距離.由(1)知，在Rt OO 1B 中，OB OO 21O 1B 22 3.以B 為坐標原點，地面所在的直線為x 軸，建立如圖2所示的坐標系.當點P 在劣弧CD 上時，62.由OBx 6，OB 23，由三角函數(shù)定義，得點O ?23cos ?6，23sin ?6， 則h 223sin ?6.(8分) 所以當62即3時，h 取得最大值22 3.(10分)如圖3，當點P 在線段AD 上時，06.設CBD ，在Rt BCD 中， DB BC 2CD 227，sin 2327217，cos 427277.由DBx ，得點D(27cos ()，27sin ().所以h 27sin ()4sin 23cos .(14分)又當0630.所以h 4sin 23cos 在?0，6上遞增. 所以當6時，h 取得最大值5.因為2235，所以h 的最