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1、【綜合評價】參數(shù)方程是以參變量為中介來表示曲線上的點的坐標的方程，是曲線在同一坐標系下的又一種表示形式某些曲線上點的坐標，用普通方程描述它們之間的關系比較困難，甚至不可能，列出的方程既復雜又不易理解，而用參數(shù)方程來描述曲線上點的坐標的間接關系比較方便，學習參數(shù)方程有助于學生進一步體會數(shù)學方法的靈活多變，提高應用意識和實踐能力【學習目標】1.通過分析拋物運動中時間與運動物體位置的關系，寫出拋物運動軌跡的參數(shù)方程，體會參數(shù)的意義.并掌握參數(shù)方程的概念.2.分析直線、圓和圓錐曲線的幾何性質，選擇適當?shù)膮?shù)寫出它們的參數(shù)方程.3.舉例說明某些曲線用參數(shù)方程表示比用普通方程表示更方便，更能感受參數(shù)方程的

2、優(yōu)越性.4.借助教具或計算機軟件，觀察圓在直線上滾動時圓上定點的軌跡(平擺線)、直線在圓上滾動時直線上定點的軌跡(漸開線)，了解平擺線和漸開線的生成過程，并能推導出它們的參數(shù)方程.5.通過閱讀材料，了解其他擺線(變幅平擺線、變幅漸開線、外擺線、內擺線、環(huán)擺線)的生成過程；了解擺線在實際中應用的實例(例如，最速降線是平擺線，橢圓是特殊的內擺線卡丹轉盤，圓擺線齒輪與漸開線齒輪，收割機、翻土機等機械裝置的擺線原理與設計，星形線與公共汽車門)；了解擺線在刻畫行星運動軌道中的作用.【學習計劃】內容學習重點建議學習時間參數(shù)方程的概念參數(shù)方程的概念1課時直線和圓錐曲線的參數(shù)方程直線的參數(shù)，圓的參數(shù)方程，橢圓

3、的參數(shù)方程，雙曲線的參數(shù)方程5課時參數(shù)方程化成普通方程參數(shù)方程和普通方程的互化2課時平擺線和漸開線平擺線、漸開線2課時1參數(shù)方程的概念1.參數(shù)方程的概念(1)一般地，在取定的坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標(x，y)都是某個變數(shù)t的函數(shù)并且對于t取的每一個允許值，由方程組所確定的點P(x，y)都在這條曲線上，那么方程組就叫作這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系x，y之間關系的變數(shù)t叫作參變數(shù)，簡稱參數(shù).相對于參數(shù)方程，我們把直接用坐標(x，y)表示的曲線方程f(x，y)0叫作曲線的普通方程.(2)在參數(shù)方程中，應明確參數(shù)t的取值范圍.對于參數(shù)方程xf(t)，yg(t)來說，如果t的取值范圍不同，它們表示

4、的曲線可能是不相同的.如果不明確寫出其取值范圍，那么參數(shù)的取值范圍就理解為xf(t)和yg(t)這兩個函數(shù)的自然定義域的交集.2.參數(shù)方程和普通方程的互化(1)曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式.(2)在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使x，y的取值范圍保持一致.【思維導圖】【知能要點】1.參數(shù)方程的概念.2.求曲線的參數(shù)方程.3.參數(shù)方程和普通方程的互化.題型一參數(shù)方程及其求法1.曲線的普通方程直接地反映了一條曲線上的點的橫、縱坐標之間的聯(lián)系，而參數(shù)方程是通過參數(shù)反映坐標變量x、y間的間接聯(lián)系.在具體問題中的參數(shù)可能有相應的幾何意義，也可能沒有什么明顯的幾何意義.曲線的參數(shù)方程常常

5、是方程組的形式，任意給定一個參數(shù)的允許取值就可得到曲線上的一個對應點，反過來對于曲線上任一點也必然對應著其中的參數(shù)的相應的允許取值.2.求曲線參數(shù)方程的主要步驟：第一步，畫出軌跡草圖，設M(x，y)是軌跡上任意一點的坐標.畫圖時要注意根據(jù)幾何條件選擇點的位置，以利于發(fā)現(xiàn)變量之間的關系.第二步，選擇適當?shù)膮?shù).參數(shù)的選擇要考慮以下兩點：一是曲線上每一點的坐標x，y與參數(shù)的關系比較明顯，容易列出方程；二是x，y的值可以由參數(shù)惟一確定.第三步，根據(jù)已知條件、圖形的幾何性質、問題的物理意義等，建立點的坐標與參數(shù)的函數(shù)關系式，證明可以省略.【例1】 設質點沿以原點為圓心，半徑為2的圓作勻角速度運動，角速

6、度為 rad/s.試以時間t為參數(shù)，建立質點運動軌跡的參數(shù)方程.解如圖所示，運動開始時質點位于點A處，此時t0，設動點M(x，y)對應時刻t，由圖可知又t (t的單位：S)，故參數(shù)方程為【反思感悟】 以時間t為參數(shù)，在圖形中分別尋求動點M的坐標和t的關系.1.已知定直線l和線外一定點O，Q為直線l上一動點，OQP為正三角形(按逆時針方向轉，如圖所示)，求點P的軌跡方程.解以O點為原點，過點O且與l垂直的直線為x軸，過點O與l平行的直線為y軸建立直角坐標系.設點O到直線l的距離為d(為定值，且d0)，取xOQ為參數(shù)，設動點P(x，y).在RtOQN中，|OQ|，|OP|OQ|，xOP，x|OP|

7、coscosd，y|OP|sinsind.點P的參數(shù)方程為.題型二參數(shù)方程和普通方程的互化參數(shù)方程化為普通方程，消去參數(shù)方程中的參數(shù)即可，通過曲線的普通方程來判斷曲線的類型.由普通方程化為參數(shù)方程要選定恰當?shù)膮?shù)，尋求曲線上任一點M的坐標x，y和參數(shù)的關系，根據(jù)實際問題的要求，我們可以選擇時間、角度、線段長度、直線的斜率、截距等作為參數(shù).【例2】 已知某條曲線C的參數(shù)方程為(其中t是參數(shù)，aR)，點M(5，4)在該曲線上.(1)求常數(shù)a；(2)求曲線C的普通方程.分析本題主要應根據(jù)曲線與方程之間的關系，可知點M(5，4)在該曲線上，則點M的坐標應適合曲線C的方程，從而可求得其中的待定系數(shù)，進而

8、消去參數(shù)得到其普通方程.解(1)由題意可知有故a1.(2)由已知及(1)可得，曲線C的方程為由第一個方程得t代入第二個方程，得y，即(x1)24y為所求.【反思感悟】 參數(shù)方程化為普通方程時，求參數(shù)的表達式應從簡單的有唯一結論的式子入手，易于代入消參.2.把下列參數(shù)方程化為普通方程.解由已知得由三角恒等式sin2cos21，可知(x3)2(y2)21這就是所求的普通方程.【例3】 選取適當?shù)膮?shù)，把普通方程1化為參數(shù)方程.解設x4cos ，代入橢圓方程，得1.y29(1cos2)9sin2，即y3sin .由參數(shù)的任意性可知y3sin .故所求參數(shù)方程為(為參數(shù)).【反思感悟】 選取的參數(shù)不同

9、，所得曲線的參數(shù)方程不同，注意普通方程和參數(shù)方程的等價性.3.選取適當參數(shù)，把直線方程y2x3化為參數(shù)方程.解選tx，則y2t3，由此得直線的參數(shù)方程(tR).也可選tx1，則y2t1，參數(shù)方程為1.已知曲線C的參數(shù)方程是：(t為參數(shù)).(1)判斷點M1(0，1)，M2(5，4)與曲線C的位置關系；(2)已知點M3(6，a)在曲線C上，求a的值.解(1)把點M1的坐標(0，1)代入方程組，得：解得：t0.點M1在曲線C上.同理，可知點M2不在曲線C上.(2)點M3(6，a)在曲線C上，解得：t2，a9.a9.2.將下列曲線的參數(shù)方程化為普通方程，并指明曲線的類型.(1)(為參數(shù)，a、b為常數(shù)，

10、且ab0)；(2) (為參數(shù)，a、b為正常數(shù))；(3)(t為參數(shù)，p為正常數(shù)).解(1)由cos2sin21，得1 (ab0)，它表示的曲線是橢圓.(2)由已知，tan ，由1tan2，有1，它表示的曲線是雙曲線.(3)由已知t，代入x2pt2得2px，即y22px它表示的曲線是拋物線.3.兩曲線的參數(shù)方程為 (為參數(shù))和(t為參數(shù))，求它們的交點坐標.解將兩曲線的參數(shù)方程化為普通方程，得1，yx (x0).聯(lián)立解得它們的交點坐標為.4.ABC是圓x2y2r2的內接三角形，已知A(r，0)為定點，BAC60，求ABC的重心G的軌跡方程.解因為BAC60，所以BOC120，于是可設B(rcos

11、，rsin )，C(rcos(120)，rsin(120)，重心坐標為(x，y)，則消去得(3xr)2(3y)2r2，所以ABC重心G的軌跡方程為y2 (0x).P28思考交流把引例中求出的鉛球運動軌跡的參數(shù)方程消去參數(shù)t后，再將所得方程與原方程進行比較，體會參數(shù)方程的作用.答其中v0、，h和g都是常數(shù).這里的g是重力加速度.h是運動員出手時鉛球的高度.消去參數(shù)t整理得：yx2xtan xh.參數(shù)方程的作用：當參數(shù)t每取一個允許值，就可以相應地確定一個x值和一個y值.這樣鉛球的位置就相應的確定了.這樣建立的t與x，y之間的關系不僅方便，而且清晰地反映了變數(shù)的實際意義.如xv0tcos 反映了鉛

12、球飛行的水平距離.yhv0tsin gt2反映了鉛球的高度與飛行時間的關系.總之它是物理學中彈道曲線的方程.【規(guī)律方法總結】1.求軌跡的參數(shù)方程，可以通過對具體問題的分析，選擇恰當?shù)膮?shù)，建立參數(shù)方程.2.曲線的參數(shù)方程和普通方程可以互化，兩種方程具有等價性.3.曲線上點的坐標如果需要單獨表示，使用參數(shù)方程比較方便.一、選擇題1.下列各點在方程(是參數(shù))所表示曲線上的點是()A.(2，7) B. C. D.(1，0)解析由已知可得將選項代入上式即可.x時，y.故應選C.答案C2.將參數(shù)方程(為參數(shù))化為普通方程為()A.yx2 B.yx2C.yx2 (2x3) D.yx2 (0y1)解析將參數(shù)

13、方程中的消去，得yx2.又x2，3，故選C.答案C3.曲線(x1)2y24上的點可以表示為()A.(1cos ，sin ) B.(1sin ，cos )C.(12cos ，2sin ) D.(12cos ，2sin )解析可設曲線x的點可表示為(12cos ，2sin ).答案D4.直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，l上的點P1對應的參數(shù)是t1，則點P1與P(a，b)之間的距離為()A.|t1| B.2|t1| C.|t1| D.|t1|解析點P1對應的點的坐標為(at1，bt1)，|PP1|t1|.答案C5.參數(shù)方程表示的曲線是()A.雙曲線x2y21B.雙曲線x2y21的右支C.雙曲線x2y

14、21，但x0，y0D.以上結論都不對解析平方相減得x2y21，但x，y1.答案D二、填空題6.已知曲線(為參數(shù)，02).下列各點A(1，3)，B(2，2)，C(3，5)，其中在曲線上的點是_.解析曲線方程可化為x2y50，將A，B，C三點坐標代入曲線的參數(shù)方程可知只有A符合.答案A7.物體從高處以初速度v0(m/s)沿水平方向拋出，以拋出點為原點，水平直線為x軸，物體所經(jīng)路線的參數(shù)方程為_.解析設物體拋出的時刻為0 s，在時刻t s時其坐標為M(x，y)，由于物體作平拋運動，依題意，得這就是物體所經(jīng)路線的參數(shù)方程.答案(t為參數(shù))8.以過點A(0，4)的直線的斜率k為參數(shù)，將方程4x2y216化成參數(shù)方程是_.解析設直線為ykx4，代入4x2y216化簡即可.答案9.將參數(shù)方程化成普通方程為_.解析應用三角變形消去，同時注意到|x|.答案x212y (|x|)三、解答題10.已知曲線C：如果曲線C與直線x