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1、北師大版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)集合 九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)集合 第一章 特殊平行四邊形 1.1菱形的性質(zhì)與判定 菱形的定義：一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。 菱形的性質(zhì)：具有平行四邊形的性質(zhì),且四條邊都相等,兩條對(duì)角線互相垂直平分,每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。 菱形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，每條對(duì)角線所在的直線都是對(duì)稱(chēng)軸。 菱形的判別方法：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。 對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形。 四條邊都相等的四邊形是菱形。 1.2 矩形的性質(zhì)與判定 矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫矩形。矩形是特殊的平行四邊形。 矩形的性質(zhì)：具有平行四邊形的性質(zhì)，且對(duì)角線相等，四個(gè)角都是直角。(矩形是軸對(duì)

2、稱(chēng)圖形，有兩條對(duì)稱(chēng)軸) 矩形的判定：有一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形叫矩形(根據(jù)定義)。 對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。 四個(gè)角都相等的四邊形是矩形。 推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。 1.3 正方形的性質(zhì)與判定 正方形的定義：一組鄰邊相等的矩形叫做正方形。 正方形的性質(zhì)：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)。(正方形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，有兩條對(duì)稱(chēng)軸) 正方形常用的判定：有一個(gè)內(nèi)角是直角的菱形是正方形; 鄰邊相等的矩形是正方形; 對(duì)角線相等的菱形是正方形; 對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形。 正方形、矩形、菱形和平行邊形四者之間的關(guān)系(如圖3所示)： 梯形定義：一組對(duì)邊平行且另一組對(duì)邊不平

3、行的四邊形叫做梯形。 兩條腰相等的梯形叫做等腰梯形。 一條腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。 等腰梯形的性質(zhì)：等腰梯形同一底上的兩個(gè)內(nèi)角相等，對(duì)角線相等。 同一底上的兩個(gè)內(nèi)角相等的梯形是等腰梯形。 三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。 夾在兩條平行線間的平行線段相等。 在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半 第二章 一元二次方程 2.1 認(rèn)識(shí)一元二次方程 2.2 用配方法求解一元二次方程 2.3 用公式法求解一元二次方程 2.4 用因式分解法求解一元二次方程 2.5 一元二次方程的跟與系數(shù)的關(guān)系 2.6 應(yīng)用一元二次方程 只含有一個(gè)未知數(shù)的整式方程，且都可以化為 (a、b、c為

4、常數(shù)，a0)的形式，這樣的方程叫一元二次方程。 把 (a、b、c為常數(shù)，a0)稱(chēng)為一元二次方程的一般形式，a為二次項(xiàng)系數(shù);b為一次項(xiàng)系數(shù);c為常數(shù)項(xiàng)。 解一元二次方程的方法：配方法 公式法 (注意在找abc時(shí)須先把方程化為一般形式) 分解因式法 把方程的一邊變成0，另一邊變成兩個(gè)一次因式的乘積來(lái)求解。(主要包括“提公因式”和“十字相乘”) 配方法解一元二次方程的基本步驟：把方程化成一元二次方程的一般形式; 將二次項(xiàng)系數(shù)化成1; 把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊; 兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方; 把方程轉(zhuǎn)化成 的形式; 兩邊開(kāi)方求其根。 根與系數(shù)的關(guān)系：當(dāng)b2-4ac0時(shí)，方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根; 當(dāng)b

5、2-4ac=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根; 當(dāng)b2-4ac第三章 概率的進(jìn)一步認(rèn)識(shí) 3.1 用樹(shù)狀圖或表格求概率 3.2 用頻率估計(jì)概率 在頻率分布表里，落在各小組內(nèi)的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)叫做頻數(shù); 每一小組的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)的比值叫做這一小組的頻率; 即： 在頻率分布直方圖中，由于各個(gè)小長(zhǎng)方形的面積等于相應(yīng)各組的頻率，而各組頻率的和等于1。因此，各個(gè)小長(zhǎng)方形的面積的和等于1。 頻率分布表和頻率分布直方圖是一組數(shù)據(jù)的頻率分布的兩種不同表示形式，前者準(zhǔn)確，后者直觀。 用一件事件發(fā)生的頻率來(lái)估計(jì)這一件事件發(fā)生的概率。 可用列表的方法求出概率，但此方法不太適用較復(fù)雜情況。 假設(shè)布袋內(nèi)有m個(gè)黑球，通過(guò)多次試驗(yàn)，我

6、們可以估計(jì)出布袋內(nèi)隨機(jī)摸出一球，它為白球的概率; 要估算池塘里有多少條魚(yú)，我們可先從池塘里捉上100條魚(yú)做記號(hào)，再放回池塘，之后再?gòu)某靥林凶缴?00條魚(yú)，如果其中有10條魚(yú)是有標(biāo)記的，再設(shè)池塘共有x條魚(yú)，則可依照 估算出魚(yú)的條數(shù)。(注意估算出來(lái)的數(shù)據(jù)不是確切的，所以應(yīng)謂之“約是”) 生活中存在大量的不確定事件，概率是描述不確定現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，它能準(zhǔn)確地衡量出事件發(fā)生的可能性的大小，并不表示一定會(huì)發(fā)生。 概率的求法： (1)一般地，如果在一次試驗(yàn)中，有n種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件A包含其中的m個(gè)結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率為P(A)= (2)、列表法 用列出表格的方法來(lái)分析和求

7、解某些事件的概率的方法叫做列表法。 (3)樹(shù)狀圖法 通過(guò)列樹(shù)狀圖列出某事件的所有可能的結(jié)果，求出其概率的方法叫做樹(shù)狀圖法。 (當(dāng)一次試驗(yàn)要設(shè)計(jì)三個(gè)或更多的因素時(shí)，用列表法就不方便了，為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹(shù)狀圖法求概率。) 第四章 圖形的相似 4.1 成正比線段 4.2 平行線段成比例 4.3 形似多邊形 4.4 探索三角形相似的條件 4.5 相似三角形判定定理的證明 4.6 利用相似三角形測(cè)高 4.7 相似三角形的性質(zhì) 4.8 圖形的位似 一. 線段的比 1. 如果選用同一個(gè)長(zhǎng)度單位量得兩條線段AB, CD的長(zhǎng)度分別是m、n,那么就說(shuō)這兩條線段的比AB:CD=m:n ,或

8、寫(xiě)成 . 2. 四條線段a、b、c、d中,如果a與b的比等于c與d的比,即 ,那么這四條線段a、b、c、d叫做成比例線段,簡(jiǎn)稱(chēng)比例線段. 3. 注意點(diǎn): a:b=k,說(shuō)明a是b的k倍; 由于線段 a、b的長(zhǎng)度都是正數(shù),所以k是正數(shù); 比與所選線段的長(zhǎng)度單位無(wú)關(guān),求出時(shí)兩條線段的長(zhǎng)度單位要一致; 除了a=b之外,a:bb:a, 與 互為倒數(shù); 比例的基本性質(zhì):若 , 則ad=bc; 若ad=bc, 則 二. 黃金分割 1. 如圖1,點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC,如果 ,那么稱(chēng)線段AB被點(diǎn)C黃金分割,點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn),AC與AB的比叫做黃金比. 2.黃金分割點(diǎn)是美、最令人賞心悅

9、目的點(diǎn). 四. 相似多邊形 1. 一般地,形狀相同的圖形稱(chēng)為相似圖形. 2. 對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形.相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比. 五. 相似三角形 1. 在相似多邊形中,最為簡(jiǎn)簡(jiǎn)單的就是相似三角形. 2. 對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比. 3. 全等三角形是相似三角的特例,這時(shí)相似比等于1. 注意:證兩個(gè)相似三角形,與證兩個(gè)全等三角形一樣,應(yīng)把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)的位置上. 4. 相似三角形對(duì)應(yīng)高的比,對(duì)應(yīng)中線的比與對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比. 5. 相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比. 6. 相似三角形面積的

10、比等于相似比的平方. 六.探索三角形相似的條件 1. 相似三角形的判定方法: 一般三角形 直角三角形 基本定理:平行于三角形的一邊且和其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交的直線,所截得的三角形與原三角形相似. 兩角對(duì)應(yīng)相等; 兩邊對(duì)應(yīng)成比例,且?jiàn)A角相等; 三邊對(duì)應(yīng)成比例. 一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等; 兩條邊對(duì)應(yīng)成比例: a. 兩直角邊對(duì)應(yīng)成比例; b. 斜邊和一直角邊對(duì)應(yīng)成比例. 2. 平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所得的對(duì)應(yīng)線段成比例. 如圖2, l1 / l2 / l3,則 . 3. 平行于三角形一邊的直線與其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似. 八. 相似的多邊

11、形的性質(zhì) 相似多邊形的周長(zhǎng)等于相似比;面積比等于相似比的平方. 九. 圖形的放大與縮小 1. 如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形,而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn),那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形; 這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心; 這時(shí)的相似比又稱(chēng)為位似比. 2. 位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比. 3. 位似變換: 變換后的圖形,不僅與原圖相似,而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn),并且對(duì)應(yīng)點(diǎn)到這一交點(diǎn)的距離成比例.像這種特殊的相似變換叫做位似變換.這個(gè)交點(diǎn)叫做位似中心. 一個(gè)圖形經(jīng)過(guò)位似變換后得到另一個(gè)圖形,這兩個(gè)圖形就叫做位似形. 利用位似的方法,可以把一個(gè)圖形放大或縮小. 第五章 投影與

12、視圖 5.1 投影 5.2 視圖 三視圖包括：主視圖、俯視圖和左視圖。 三視圖之間要保持長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等。一般地，俯視圖要畫(huà)在主視圖的下方，左視圖要畫(huà)在正視圖的右邊。 主視圖：基本可認(rèn)為從物體正面視得的圖象 俯視圖：基本可認(rèn)為從物體上面視得的圖象 左視圖：基本可認(rèn)為從物體左面視得的圖象 視圖中每一個(gè)閉合的線框都表示物體上一個(gè)表面(平面或曲面)，而相連的兩個(gè)閉合線框一定不在一個(gè)平面上。 在一個(gè)外形線框內(nèi)所包括的各個(gè)小線框，一定是平面體(或曲面體)上凸出或凹的各個(gè)小的平面體(或曲面體)。 在畫(huà)視圖時(shí)，看得見(jiàn)的部分的輪廓線通常畫(huà)成實(shí)線，看不見(jiàn)的部分輪廓線通常畫(huà)成虛線。 物體在光線的照射下，會(huì)在

13、地面或墻壁上留下它的影子，這就是投影。 太陽(yáng)光線可以看成平行的光線，像這樣的光線所形成的投影稱(chēng)為平行投影。 探照燈、手電筒、路燈的光線可以看成是從一點(diǎn)出發(fā)的，像這樣的光線所形成的投影稱(chēng)為中心投影。 區(qū)分平行投影和中心投影：觀察光源;觀察影子。 眼睛的位置稱(chēng)為視點(diǎn);由視點(diǎn)發(fā)出的線稱(chēng)為視線;眼睛看不到的地方稱(chēng)為盲區(qū)。 從正面、上面、側(cè)面看到的圖形就是常見(jiàn)的正投影，是當(dāng)光線與投影垂直時(shí)的投影。 點(diǎn)在一個(gè)平面上的投影仍是一個(gè)點(diǎn); 線段在一個(gè)面上的投影可分為三種情況： 線段垂直于投影面時(shí)，投影為一點(diǎn); 線段平行于投影面時(shí)，投影長(zhǎng)度等于線段的實(shí)際長(zhǎng)度; 線段傾斜于投影面時(shí)，投影長(zhǎng)度小于線段的實(shí)際長(zhǎng)度。 平面圖形在某一平面上的投影可分為三種情況： 平面圖形和投影面平行的情況下，其投影為實(shí)際形狀; 平面圖形和投影面垂直的情況下，其投影為一線段; 平面圖形和投影面傾斜的情況下，其投影小于實(shí)際的形狀。