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1、函數(shù)的奇偶性題型及解析1.給定四個函數(shù)；y=x3+1；其中是奇函數(shù)的有幾個？分析：利用奇函數(shù)的定義，對每個函數(shù)進(jìn)行驗證，可得結(jié)論解：，是奇函數(shù)；定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，不是奇函數(shù)；（x）3+1（x3+1），不是奇函數(shù)；函數(shù)的定義域為x|x0，=，是奇函數(shù)綜上，奇函數(shù)的個數(shù)為2個2.若一個函數(shù)圖象的對稱軸是y軸，則該函數(shù)稱為偶函數(shù)那么在下列四個函數(shù)：y=2|x|；y=6x；y=x2；y=（x1）2+2中，其中是偶函數(shù)的有幾個？分析：對于y=2|x|分類討論：當(dāng)x0，則y=2x；當(dāng)x0，則y=2x，根據(jù)正比例函數(shù)的性質(zhì)可判斷y=2|x|的對稱軸是y軸；根據(jù)反比例函數(shù)得到y(tǒng)=6x關(guān)于直線y=x和y=x

2、對稱；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到y(tǒng)=x2的對稱軸為y軸，y=（x1）2+2的對稱軸為直線x=1，然后根據(jù)新定義進(jìn)行判斷解：y=2|x|，當(dāng)x0，則y=2x；當(dāng)x0，則y=2x，所以y=2|x|的對稱軸是y軸，該函數(shù)為偶函數(shù)；y=6x關(guān)于直線y=x和y=x對稱，所以y=不是偶函數(shù)；y=x2的對稱軸為y軸，所以y=x2為偶函數(shù)；y=（x1）2+2的對稱軸為直線x=1，所以y=（x1）2+2不是偶函數(shù)，偶函數(shù)的個數(shù)為2個3.函數(shù)y=|x+3|3x|是奇函數(shù)還是偶函數(shù)？分析：根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷即可解：f（x）=|x+3|3+x|=（|x+3|3x|）=f（x），函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，4.如果函數(shù)

3、y=x22ax+6是偶函數(shù)，求a的值分析：運(yùn)用偶函數(shù)的定義得出f（x）=f（x），即x2+2ax+6=x22ax+6恒成立，得出2a=2a，即可解：函數(shù)y=x22ax+6是偶函數(shù)，f（x）=f（x），即x2+2ax+6=x22ax+6恒成立，2a=2a，解得a=05.已知函數(shù)f（x）=ax2+2x是奇函數(shù)，求實數(shù)分析：由奇函數(shù)定義入手尋找特殊值是解決此問題的最簡解法解：由奇函數(shù)定義有f（x）=f（x），則f（1）=a2=f（1）=（a+2），解得a=0如果函數(shù)f（x）=+a是奇函數(shù)，求a的值分析：函數(shù)的定義域為R，利用奇函數(shù)f（0）=0，得到a解：因為函數(shù)的定義域為R，并且函數(shù)是奇函數(shù)，所以f

4、（0）=0，即+a=0，解得a=-1；已知f（x）= +a是奇函數(shù)，求a的值及函數(shù)值域分析：本題考察函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，由題意可得f（1）+f（1）=0，可得a值，再由定義域和反比例函數(shù)以及不等式的性質(zhì)可得函數(shù)的值域解：由2x1=0可得x0，可得函數(shù)的定義域為x|x0，f（x）= +a是奇函數(shù)，f（1）+f（1）=0，+a+a=0，解得a=，f（x）=+，x0，2x0且2x1，2x11且2x10，0或1，+或+，函數(shù)的值域為（-，-）（，+）函數(shù)y=f（x）是定義在2a+1，a+5上的偶函數(shù)，求a的值分析：由偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱得，2a+1+a+5=0，再求出a的值解：偶函數(shù)的定義域關(guān)于原

5、點(diǎn)對稱，2a+1+a+5=0，解得a=2，6.已知函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)，當(dāng)x0時，f（x）=x2+ax（aR），f（2）=6，求a分析：先根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出f（2）的值，然后將x=2代入小于0的解析式，建立等量關(guān)系，解之即可解：函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)，f（x）=f（x），而f（2）=6，則f（2）=f（2）=6，將x=2代入小于0的解析式得f（2）=42a=6，解得a=5已知函數(shù)y=f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x0時，f（x）=x22x，求f（2）的值分析：首先，根據(jù)函數(shù)y=f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，得到f（2）=f（2）=2222=0，從而得到結(jié)果解：函數(shù)y=f（x）是定義在

6、R上的偶函數(shù)，f（-2）=f（2）=2222=0，f（-2）=0，f（-2）的值07.已知函數(shù)f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，且當(dāng)x0時，f（x）=3x25x+2，求f（x）在R上的表達(dá)式分析：設(shè)x0，則x0利用當(dāng)x0時，f（x）=3x25x+2，可得f（x）=3x2+5x+2再利用奇函數(shù)的性質(zhì)即可得出解：設(shè)x0，則-x0當(dāng)x0時，f（x）=3x25x+2，f（x）=3x2+5x+2函數(shù)f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，f（x）=f（x）=3x25x2，又f（0）=0f（x）=已知函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)，當(dāng)x0時，f（x）=x1，求f（x1）0的解集分析：由函數(shù)y=f（x）為偶函數(shù)可得f（x）=f

7、（x），由x0時，f（x）=x1可得x0，f（x）=x1即f（x）=，而f（x1）0時，有1x11，解不等式可得解：由函數(shù)y=f（x）為偶函數(shù)可得f（x）=f（x），x0時，f（x）=x1，設(shè)x0，則x0，f（x）=x1=f（x），f（x）=，當(dāng)f（x1）0時，有1x11，0x28.（1）定義在1，1上的奇函數(shù)y=f（x）是增函數(shù)，若f（a1）+f（4a5）0，求a的取值范圍（2）定義在2，2上的偶函數(shù)f（x）在區(qū)間0，2上單調(diào)遞減，若f（1m）f（m），求m的取值范圍分析：（1）利用函數(shù)的奇偶性可把不等式f（a1）+f（4a5）0化為f（a1）f（54a），根據(jù)單調(diào)性可去掉符號“f”，考慮到

8、定義域即可求出a的范圍；（2）利用偶函數(shù)的性質(zhì)，可得f（|1m|）f（|m|），根據(jù)定義在2，2上的偶函數(shù)f（x）在區(qū)間0，2上單調(diào)遞減，可得不等式組，即可得出結(jié)論解：（1）函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)，f（a1）+f（4a5）0，f（a1）f（54a），定義在1，1上的函數(shù)y=f（x）是增函數(shù)，；（2）偶函數(shù)f（x），f（1m）f（m），f（|1m|）f（|m|），定義在2，2上的偶函數(shù)f（x）在區(qū)間0，2上單調(diào)遞減，9.（1）已知定義在2，2上的奇函數(shù)，f（x）在區(qū)間0，2上單調(diào)遞減，若f（m）+f（m1）0，求實數(shù)m的取值范圍；（2）已知定義在2，2上的偶函數(shù)，f（x）在區(qū)間0，2上單調(diào)遞減

9、，若f（1m）f（m），求實數(shù)m的取值范圍分析：（1）根據(jù)定義域得出m的范圍為1m2，由奇函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合單調(diào)性可知m1m，得出m的范圍；（2）根據(jù)定義域得出m的范圍為1m2，由偶函數(shù)的性質(zhì)可知距離y軸越進(jìn)，函數(shù)值越大，得出|1m|m|，進(jìn)而求出m的范圍解：（1）定義在2，2上的奇函數(shù)，1m2，f（m）+f（m1）0，f（m）f（m1）=f（1m），m1m，m，1m（2）已知定義在2，2上的偶函數(shù)，f（x）在區(qū)間0，2上單調(diào)遞減，1m2，f（1m）f（m），|1m|m|，m，1m10.函數(shù)y=x2+2ax+1在1x2上的最大值是4，求a的值分析：二次函數(shù)y=x2+2ax+1 的對稱軸方程為x=

10、a，分對稱軸在閉區(qū)間的左側(cè)、中間、右側(cè)三種情況，分別求得函數(shù)的最大值解：二次函數(shù)y=x2+2ax+1 的對稱軸方程為x=a，當(dāng)a1時，函數(shù)y=x2+2ax+1在區(qū)間1，2上單調(diào)遞減，故函數(shù)的最大值為f（1）=12a+1=4，解得a=2；當(dāng)1a2時，函數(shù)的最大值為f（a）=a2+1=4，解得a=；當(dāng)a2時，函數(shù)y=x2+2ax+1在區(qū)間1，2上單調(diào)遞增，故函數(shù)的最大值為f（2）=4+4a+1=4，解得a=，舍去綜合知：a的值為2或11.已知函數(shù)f（x）的定義域是一切實數(shù)，對定義域內(nèi)的任意x1，x2，都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），且當(dāng)x0時f（x）0（1）試判斷f（x）的奇偶性；（

11、2）試判斷f（x）的單調(diào)性，并證明分析：（1）利用賦值法先求出f（0）=0，然后根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷即可得到f（x）的奇偶性；（2）結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義即可判斷f（x）的單調(diào)性解：（1）令x1=0，x2=0，則f（0）=f（0）+f（0），解得f（0）=0，令x1=x，x2=x，則f（xx）=f（x）+f（x）=f（0）=0，即f（x）=f（x），則函數(shù)為奇函數(shù)（2）函數(shù)在定義域上為增函數(shù)證明：當(dāng)x1x2時，則x2x10，此時f（x2x1）0則f（x2）f（x1）=f（x2）+f（x1）=f（x2x1）0，可得f（x2）f（x1）由此，得到y(tǒng)=f（x）是R上的增函數(shù)12.已知函數(shù)f（x

12、）的定義域是x0的一切實數(shù)，對定義域內(nèi)的任意x1、x2，都有f（x1x2）=f（x1）+f（x2），且當(dāng)x1時f（x）0，f（2）=1，（1）求證：f（x）是偶函數(shù)；（2）證明f（x）在（0，+）上是增函數(shù)；分析：（1）先令x1=x2=1，得到f（1）=0，再令x1=x2=1，得f（1）=0然后用主條件證明f（x）=f（1x）=f（1）+f（x）=f（x）得證（2）先任取兩個變量，界定大小，再作差變形看符號解：（1）證明：令x1=x2=1，得f（1）=2f（1），f（1）=0令x1=x2=1，得f（1）=0f（x）=f（1x）=f（1）+f（x）=f（x），f（x）是偶函數(shù)（2）證明：設(shè)x2x

13、10，則f（x2）f（x1）=f（x1 ）f（x1）=f（x1）+f（）f（x1）=f（）x2x10，1f（）0，即f（x2）f（x1）0f（x2）f（x1）f（x）在（0，+）上是增函數(shù)13.已知定義域為xR|x0的函數(shù)f（x）滿足；對于f（x）定義域內(nèi)的任意實數(shù)x，都有f（x）+f（x）=0；當(dāng)x0時，f（x）=x22（）求f（x）定義域上的解析式；（）解不等式：f（x）x分析：（I）根據(jù)條件變形，得到f（x）在定義域內(nèi)是奇函數(shù)，設(shè)x小于0，得到x大于0，代入中f（x）的解析式中化簡后即可得到x小于0時f（x）的解析式，綜上，得到f（x）在x大于0和小于0上的分段函數(shù)解析式；（II）當(dāng)x大

14、于0時和小于0時，把（I）得到的相應(yīng)的解析式代入不等式中，分別求出相應(yīng)的解集，然后求出兩解集的并集即為原不等式的解集解：（I）對于f（x）定義域內(nèi)的任意實數(shù)x，都有f（x）+f（x）=0，f（x）=f（x），故f（x）在其定義域為xR|x0內(nèi)是奇函數(shù)，當(dāng)x0時，f（x）=x22，設(shè)x0，所以x0，f（x）=f（x）=x22，即f（x）=2x2，則；（II）當(dāng)x0時，x22x，化簡得（x2）（x+1）0，解得：1x2，所以不等式的解集為0x2；當(dāng)x0時，2x2x，化簡得：（x1）（x+2）0，解得：x1或x2，所以不等式的解集為x2，綜上，不等式f（x）x的解集為x|0x2或x214. 已知定義域為R的函數(shù)f（x）滿足：f（x+y）=f（x）f（y）對任何實數(shù)x、y都成立；存在實數(shù)x1、x2使，f（x1）f（x2），求證：（1）f（0）=1；（2）f（x）0分析：（1）令x=y=0，求出f（0），注意條件的運(yùn)用，舍去一個；（2）將x，y均換成，得到f（x）=f2（）即f（x）0，注意運(yùn)用條