24.2 直線和圓的位置關(guān)系,第2課時 切線的判定與性質(zhì),導(dǎo)入新課,情境引入,轉(zhuǎn)動雨傘時飛出的雨滴，用砂輪磨刀時擦出的火花，都是沿著什么方向飛出的？,都是沿切線方向飛出的.,生活中?？吹角芯€的實例，如何判斷一條直線是否為切線呢？學(xué)完這節(jié)課，你就都會明白.,B,C,問題：已知圓O上一點A，怎樣根據(jù)圓的切線定義過點A作圓O的切線？,觀察：（1） 圓心O到直線AB的距離和圓的半徑有什么數(shù)量關(guān)系?（2）二者位置有什么關(guān)系？為什么？,O,講授新課,經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.,OA為O的半徑,BC OA于A,BC為O的切線,B,C,O,要點歸納,判一判：下列各直線是不是圓的切線？如果不是，請說明為什么？,(1)不是，因為沒有垂直.,(2),(3)不是，因為沒有經(jīng)過半徑的外端點A.,判斷一條直線是一個圓的切線有三個方法：,1.定義法：直線和圓只有一個公共點時，我們說這條直線是圓的切線;,2.數(shù)量關(guān)系法：圓心到這條直線的距離等于半徑(即d=r)時，直線與圓相切；,3.判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.,要點歸納,例1：如圖,ABC=45，直線AB是O上的直徑，點A,且AB=AC.求證：AC是O的切線.,解析：直線AC經(jīng)過半徑的一端，因此只要證OA垂直于AB即可.,證明：AB=AC，ABC45，,ACBABC45.,BAC=180-ABC-ACB=90.,AB是O的直徑，, AC是O的切線.,例2 已知：直線AB經(jīng)過O上的點C，并且OA=OB，CA=CB.求證：直線AB是O的切線.,O,B,A,C,分析：由于AB過O上的點C，所以連接OC，只要證明ABOC即可.,證明：連接OC(如圖). OAOB,CACB, OC是等腰三角形OAB底邊AB上的中線. ABOC. OC是O的半徑, AB是O的切線.,例3 如圖,ABC 中，AB AC ，O 是BC的中點，O 與AB 相切于E.求證：AC 是O 的切線,B,O,C,E,A,分析：根據(jù)切線的判定定理，要證明AC是O的切線，只要證明由點O向AC所作的垂線段OF是O的半徑就可以了，而OE是O的半徑，因此只需要證明OF=OE.,證明：連接OE ，OA, 過O 作OF AC.,O 與AB 相切于E ， OE AB.,又ABC 中，AB AC ，O 是BC 的中點,AO 平分BAC，,F,B,O,C,E,A,OE OF.,OE 是O 半徑，OF OE，OF AC.,AC 是O 的切線,又OE AB ，OFAC.,如圖，已知直線AB經(jīng)過O上的點C，并且OAOB，CACB求證：直線AB是O的切線.,C,B,A,O,如圖，OAOB=5，AB8, O的直徑為6.求證：直線AB是O的切線.,B,A,O,對比思考,？,作垂直,連接,方法歸納,(1) 有交點，連半徑,證垂直;(2) 無交點，作垂直,證半徑.,證切線時輔助線的添加方法,有切線時常用輔助線添加方法,見切點，連半徑，得垂直.,切線的其他重要結(jié)論,(1)經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點;,(2)經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.,要點歸納,思考：如圖，如果直線l是O 的切線，點A為切點，那么OA與l垂直嗎？,直線l是O 的切線，A是切點，,直線l OA.,小亮的理由是:直徑AB與直線CD要么垂直,要么不垂直.,（1）假設(shè)AB與CD不垂直,過點O作一條直徑垂直于CD,垂足為M,（2）則OMOA,即圓心到直線CD的距離小于O的半徑,因此,CD與O相交.這與已知條件“直線與O相切”相矛盾.,（3）所以AB與CD垂直.,證法1：反證法.,性質(zhì)定理的證明,反證法的證明視頻,證法2：構(gòu)造法.,作出小O的同心圓大O，CD切小O于點A,且A點為CD的中點，連接OA,根據(jù)垂徑定理，則CD OA,即圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑,1.如圖：在O中，OA、OB為半徑，直線MN與O相切于點B，若ABN=30，則AOB= .2.如圖AB為O的直徑，D為AB延長線上一點，DC與O相切于點C，DAC=30， 若O的半徑長1cm，則CD= cm.,60,練一練,利用切線的性質(zhì)解題時，常需連接輔助線，一般連接圓心與切點，構(gòu)造直角三角形，再利用直角三角形的相關(guān)性質(zhì)解題.,方法總結(jié),例4 如圖，PA為O的切線，A為切點直線PO與O交于B、C兩點，P30，連接AO、AB、AC.(1)求證：ACBAPO；(2)若AP ，求O的半徑,解析：(1)根據(jù)已知條件我們易得CAB=PAO=90，由P=30可得出AOP=60，則C=30=P，即AC=AP；這樣就湊齊了角邊角，可證得ACBAPO；,(2)由已知條件可得AOP為直角三角形，因此可以通過解直角三角形求出半徑OA的長.,(1)求證：ACBAPO；,在ACB和APO中，BACOAP，ABAO，ABOAOB，ACBAPO.,(1)證明：PA為O的切線，A為切點，,又P30，AOB60，又OAOB，AOB為等邊三角形ABAO，ABO60.,又BC為O的直徑，BAC90.,OAP90.,(2)若AP ，求O的半徑,AO1，CBOP2，OB1，即O的半徑為1.,(2)解：在RtAOP中，P30，AP ，,當(dāng)堂練習(xí),1.判斷下列命題是否正確. 經(jīng)過半徑外端的直線是圓的切線. （ ） 垂直于半徑的直線是圓的切線. （ ） 過直徑的外端并且垂直于這條直徑的直線是圓的切線. （ ） 和圓只有一個公共點的直線是圓的切線. （ ） 過直徑一端點且垂直于直徑的直線是圓的切線. （ ）,3.如圖，在O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AB是直徑，BCD=120，過D點的切線PD與直線AB交于點P，則ADP的度數(shù)為（ ）A40 B35 C30 D45,2.如圖所示，A是O上一點，且AO=5,PO=13,AP=12,則PA與O的位置關(guān)系是 .,P,O,第3題,D,A,B,C,相切,C,4.如圖, O切PB于點B,PB=4,PA=2,則O的半徑多少？,P,B,A,解：連接OB，則OBP=90.,設(shè)O的半徑為r,則OA=OB=r,OP=OA+PA=2+r.,在RtOBP中，,OB2+PB2=PO2，即r2+42=(2+r)2.,解得 r=3，,即O的半徑為3.,證明：連接OP. AB=AC,B=C. OB=OP，B=OPB， OBP=C. OPAC. PEAC， PEOP. PE為O的切線.,5.如圖,ABC中，AB=AC，以AB為直徑的O交邊BC于P， PEAC于E. 求證:PE是O的切線.,O,A,B,C,E,P,6.如圖，O為正方形ABCD對角線AC上一點，以O(shè)為圓心，OA長為半徑的O與BC相切于點M.求證：CD與O相切,證明：連接OM，過點O作ONCD于點N，O與BC相切于點M，OMBC.又ONCD，O為正方形ABCD對角線AC上一點，OMON，CD與O相切,M,N,7.已知：ABC內(nèi)接于O，過點A作直線EF.（1）如圖1，AB為直徑，要使EF為O的切線，還需添加的條件是（只需寫出兩種情況）： _ ； _ .（2）如圖2，AB是非直徑的弦，CAE=B，求證：EF是O的切線.,BAEF,CAE=B,證明：連接AO并延長交O于D,連接CD,則AD為O的直徑. D+ DAC=90 , D與B同對 , D= B,又 CAE= B, D= CAE, DAC+ EAC=90,EF是O的切線.,D,