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1、第二十二章 二次函數(shù)22.3 實際問題與二次函數(shù)第二十二章 二次函數(shù)22.3 實際問題與二次函數(shù)考場對接 題型一 利用二次函數(shù)解決面積最大(小)值問題考場對接 例題例題1 學(xué)校計劃用地面磚鋪設(shè)教學(xué)樓前矩形學(xué)校計劃用地面磚鋪設(shè)教學(xué)樓前矩形 廣場的地面廣場的地面ABCD,已知矩形已知矩形廣場地面的長為廣場地面的長為100米米,寬為寬為80米圖案設(shè)計如圖米圖案設(shè)計如圖22-3-3所示所示,廣場的四廣場的四 角為小正方形角為小正方形,陰影部分為四個矩形陰影部分為四個矩形,四個矩形的四個矩形的 寬都為小正方形的邊寬都為小正方形的邊長長,陰影部分鋪綠色地面磚陰影部分鋪綠色地面磚,其余部分鋪白色地面其余部分

2、鋪白色地面磚磚.如果鋪白色地面磚的費用如果鋪白色地面磚的費用 為每平方米為每平方米30元元,鋪綠鋪綠色地面磚的費用為每平方米色地面磚的費用為每平方米 20元元,當(dāng)廣場四角的小當(dāng)廣場四角的小正方形的邊長為多少米時正方形的邊長為多少米時,鋪廣場地面的總費用最少？最少費用是多少鋪廣場地面的總費用最少？最少費用是多少？分析分析 設(shè)小正方形的邊長為設(shè)小正方形的邊長為x米米.鋪白色地鋪白色地面磚的面面磚的面積積(米米2 2)每平方米每平方米的費用的費用(元元)鋪綠色地鋪綠色地面磚的面面磚的面積積(米米2 2)每平方米每平方米的費用的費用(元元)總費用總費用(元元)4x4x2 2+(100100-2x2x)

3、()(8080-2x2x)30302x2x(100100-x x)+2x2x(8080-2x2x)20203030 4x4x2 2+(100100-2 2x x)()(8080-2x2x)+2020 2x2x(100100-2x2x)+2x2x(8080-2x2x)解解 設(shè)鋪矩形廣場地面的總費用為設(shè)鋪矩形廣場地面的總費用為y元元,廣場四角的小正方形的邊長廣場四角的小正方形的邊長為為x米米,則則 y=304x2+(100-2x)(80-2x)+202x(100-2x)+2x(80-2x),即即y=80 x2-3600 x+240 000,配方配方,得得y=80(x-22.5)2+199 500,

4、即當(dāng)即當(dāng)x=22.5時時,y的值最小的值最小,最小值為最小值為199 500.當(dāng)廣場四角的小正方形的邊長為當(dāng)廣場四角的小正方形的邊長為22.5米時米時,鋪廣場地面的總費用最鋪廣場地面的總費用最少少,最少費用為最少費用為199 500元元.錦囊妙計運用二次函數(shù)解決面積的最值問題運用二次函數(shù)解決面積的最值問題 (1)利用題目中的已知條件和學(xué)過的有關(guān)公利用題目中的已知條件和學(xué)過的有關(guān)公 式列出二次函數(shù)式列出二次函數(shù)的解析式；的解析式；(2)把函數(shù)解析式轉(zhuǎn)把函數(shù)解析式轉(zhuǎn) 化為二次函數(shù)的頂點式的形式；化為二次函數(shù)的頂點式的形式；(3)根據(jù)二次函根據(jù)二次函 數(shù)自變量的取值范圍求二次函數(shù)的最大值或最數(shù)自變量

5、的取值范圍求二次函數(shù)的最大值或最 小值小值.若自變量的取值范圍包含頂點的橫坐標(biāo)若自變量的取值范圍包含頂點的橫坐標(biāo),則最值為頂點的縱則最值為頂點的縱坐標(biāo)；若自變量的取值范圍不坐標(biāo)；若自變量的取值范圍不 含頂點的橫坐標(biāo)含頂點的橫坐標(biāo),則應(yīng)根據(jù)函數(shù)的則應(yīng)根據(jù)函數(shù)的增減性確定最值增減性確定最值.例題例題2 某建筑的窗戶如圖某建筑的窗戶如圖223-4所示所示,它的上半部分是半圓它的上半部分是半圓,下下 半部分是半部分是矩形矩形.制造窗框的材料總長制造窗框的材料總長 為為15 m(圖中所有線條長度之圖中所有線條長度之和和),當(dāng)當(dāng)x 等于多少時等于多少時,窗戶通過的光線最多？窗戶通過的光線最多？此時此時,窗

6、戶窗戶的面積是多少的面積是多少(結(jié)果精確結(jié)果精確 到到0.01m2)？分析分析 原題信息原題信息分析得到的信息分析得到的信息圖圖中中所所有有線線條條的的長長度度之和為之和為15 15 m m4y4y+6x6x+x x=1515窗戶通過的光線最多窗戶通過的光線最多窗戶窗戶的面積的面積S S=x x2 2+2xy2xy取最大取最大值值錦囊妙計求面積最大求面積最大(小小)值問題值問題,常以三角形、四邊常以三角形、四邊 形、圓等基本圖形、圓等基本圖形為背景形為背景,以某條變化的線段以某條變化的線段 的長度為自變量的長度為自變量,構(gòu)建二次函數(shù)模構(gòu)建二次函數(shù)模型求解型求解.題型二 利用二次函數(shù)解決最大利潤

7、問題例題例題2 某賓館客房部有某賓館客房部有60個房間供游客居個房間供游客居 住住,當(dāng)每個房間的定當(dāng)每個房間的定價為每天價為每天200元時元時,房間可以住房間可以住 滿；當(dāng)每個房間每天的定價每增滿；當(dāng)每個房間每天的定價每增加加10元時元時,就會有就會有 一個房間空閑一個房間空閑.對有游客入住的房間對有游客入住的房間,賓館需賓館需對每對每 個房間每天支出個房間每天支出20元的各種費用元的各種費用.設(shè)設(shè) 每個房間每天的定價每個房間每天的定價增加增加x元元.(1)求房間每天的入住量求房間每天的入住量y(間間)關(guān)關(guān) 于于x(元元)的函數(shù)解析式；的函數(shù)解析式；(2)求該賓館每天的房間收費求該賓館每天的房

8、間收費z(元元)關(guān)于關(guān)于x(元元)的的 函數(shù)解析式；函數(shù)解析式；(3)求該賓館客房部每天的利潤求該賓館客房部每天的利潤w(元元)關(guān)于關(guān)于 x(元元)的函數(shù)解析式的函數(shù)解析式,并并求當(dāng)每個房間的定價為每天求當(dāng)每個房間的定價為每天 多少元時多少元時,w有最大值有最大值,最大值是多最大值是多少少.(注：以上所求函數(shù)解析式均不要求寫自變量注：以上所求函數(shù)解析式均不要求寫自變量 的取值范圍的取值范圍)當(dāng)當(dāng)x=210時時,w有最大值有最大值,此時此時,x+200=410.故當(dāng)每個房間的定價為每天故當(dāng)每個房間的定價為每天410元時元時,w有最有最 大值大值,最大值是最大值是15 210元元.錦囊妙計二次函數(shù)

9、與利潤最大問題二次函數(shù)與利潤最大問題 (1)調(diào)整價格分漲價和降價調(diào)整價格分漲價和降價.(2)總利潤總利潤=單件商品的利潤單件商品的利潤銷售量銷售量.(3)商品價格上漲商品價格上漲,銷售量會隨之下降；商品銷售量會隨之下降；商品 價格下降價格下降,銷銷售量會隨之增加售量會隨之增加.兩種情況都會導(dǎo)兩種情況都會導(dǎo) 致利潤的變化致利潤的變化.題型三 利用二次函數(shù)解決拱橋類問題例題例題3 徒駭河大橋橋體造型新穎徒駭河大橋橋體造型新穎,氣勢恢氣勢恢 宏宏,兩條拱肋如長虹臥波兩條拱肋如長虹臥波,極具時代氣息極具時代氣息.大橋為大橋為 中承式懸索拱橋中承式懸索拱橋,大橋的主拱肋大橋的主拱肋ACB是拋物是拋物線的

10、線的 一部分一部分(如圖如圖22-3-5),跨徑跨徑AB為為100 m,拱高拱高OC 為為25 m,拋物線拋物線的頂點的頂點C到橋面的距離為到橋面的距離為17 m.(1)請建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系請建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,求該拋物線求該拋物線 所對應(yīng)的函數(shù)解析所對應(yīng)的函數(shù)解析式；式；(2)七月份汛期來臨七月份汛期來臨,河水水位上漲河水水位上漲,假設(shè)水位假設(shè)水位 比比AB所在直線高出所在直線高出1.96 m,這時位于水面上的拱肋這時位于水面上的拱肋 的跨徑是多少？在不計橋面厚度的的跨徑是多少？在不計橋面厚度的情況下情況下,一條高一條高 出水面出水面4.6 m的游船能否順利通過大橋的游船能否順利

11、通過大橋(忽略船寬的忽略船寬的 影響影響)？解解 (1)答案不唯一答案不唯一,如以如以AB所在的直線為所在的直線為x軸軸,直線直線OC為為y軸軸,建立平面直角坐建立平面直角坐標(biāo)系標(biāo)系,如圖如圖22-3-6所示所示.設(shè)拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式為設(shè)拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=ax2+c,由題意由題意,得得B(50,0),C(0,25)兩點在拋物線上兩點在拋物線上,拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式是拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式是y=-x2+25.(建立的平面直角坐標(biāo)系不同建立的平面直角坐標(biāo)系不同,得得到的拋物線的函到的拋物線的函 數(shù)解析式不同數(shù)解析式不同)(2)當(dāng)水位比當(dāng)水位比AB所在直線高出所在直線高出1.

12、96 m時時,解得解得x1=48,x2=-48,482=96(m).故位于水面上的拱肋的跨徑是故位于水面上的拱肋的跨徑是96 m.根據(jù)題意根據(jù)題意,游船的最高點到橋面的距離為游船的最高點到橋面的距離為 (25-17)-(1.96+4.6)=1.44(m),游船能順利通過大橋游船能順利通過大橋.錦囊妙計用二次函數(shù)解決拋物線形問題用二次函數(shù)解決拋物線形問題 (1)建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；(2)將已知條件轉(zhuǎn)化為點的坐標(biāo)將已知條件轉(zhuǎn)化為點的坐標(biāo),正確寫出正確寫出 關(guān)鍵點的坐標(biāo)；關(guān)鍵點的坐標(biāo)；(3)合理地設(shè)出函數(shù)解析式；合理地設(shè)出函數(shù)解析式；(4)將點的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式將點

13、的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式,求出解析式；求出解析式；(5)利用解析式求解利用解析式求解.在解題過程中要充分利用拋物線的對稱性在解題過程中要充分利用拋物線的對稱性,同時要注意對數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用同時要注意對數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.題型四 二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用題例題例題5 張經(jīng)理到張經(jīng)理到 老王的果園里一次性采老王的果園里一次性采 購一種水果購一種水果,他倆商定：他倆商定：張經(jīng)理的采購價張經(jīng)理的采購價y(元元/噸噸)與采購量與采購量x(噸噸)之間的函之間的函 數(shù)關(guān)系如圖數(shù)關(guān)系如圖22-3-7中的中的 折線折線ABC所示所示(不包含端點不包含端點A,但包含端點但包含端點C).(1)求求y與與x之間的函

14、數(shù)解析式；之間的函數(shù)解析式；(2)已知老王種植水果的成本是已知老王種植水果的成本是 2800元元/噸噸,那么張那么張經(jīng)理的采購量為多經(jīng)理的采購量為多 少時少時,老王在這次買賣中所獲老王在這次買賣中所獲得的利得的利 潤潤w(元元)最大？最大利潤是多少？最大？最大利潤是多少？解解 (1)當(dāng)當(dāng)0 x20時時,y=8000.當(dāng)當(dāng)20 x40時時,設(shè)線段設(shè)線段BC滿足的函數(shù)解析式為滿足的函數(shù)解析式為 y=kx+b(k0),則則所以所以y=-200 x+12 000.故故y=(2)當(dāng)當(dāng)00,所以所以w隨隨x的增大而增大的增大而增大,所以當(dāng)所以當(dāng)x=20時時,w最大值最大值=104 000.當(dāng)當(dāng)20104 000,所以當(dāng)張經(jīng)理的采購所以當(dāng)張經(jīng)理的采購 量為量為23噸時噸時,老王在這次老王在這次買賣中所獲得的利潤最買賣中所獲得的利潤最 大大,最大利潤為最大利潤為105 800元元.錦囊妙計函數(shù)的綜合問題函數(shù)的綜合問題 解答有關(guān)函數(shù)綜合問題的關(guān)鍵是求出相關(guān)函解答有關(guān)函數(shù)綜合問題的關(guān)鍵是求出相關(guān)函 數(shù)的解析式數(shù)的解析式.在解題過程中在解題過程中,應(yīng)先從函數(shù)圖像中獲應(yīng)先從函數(shù)圖像中獲 取某些點的坐標(biāo)取某些點的坐標(biāo),然后根然后根據(jù)點的坐標(biāo)特征設(shè)出函據(jù)點的坐標(biāo)特征設(shè)出函 數(shù)解析式數(shù)解析式,再用待定系數(shù)法求解再用待定系數(shù)法求解 謝 謝 觀 看！