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1、第四章第四章 幾何圖形初步幾何圖形初步 初中數(shù)學(xué)（人教版）初中數(shù)學(xué)（人教版）七年級(jí) 上冊(cè)靜態(tài)定義動(dòng)態(tài)定義角有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角,這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn),這兩條射線是角的兩條邊角也可以看作由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形.旋轉(zhuǎn)開(kāi)始時(shí)的射線叫做角的始邊,旋轉(zhuǎn)終止時(shí)的射線叫做角的終邊,在角的形成過(guò)程中,射線旋轉(zhuǎn)時(shí)經(jīng)過(guò)的平面部分是角的內(nèi)部,未經(jīng)過(guò)的部分是角的外部重要提示(1)我們平時(shí)畫(huà)角時(shí),只畫(huà)角的一部分來(lái)研究角,而角的定義中邊是兩條射線,也就是說(shuō)這兩條邊可以無(wú)限延伸.(2)角的大小只與構(gòu)成角的兩條射線張開(kāi)的幅度大小有關(guān).(3)角的符號(hào)是“”,而不能寫(xiě)成“”.(4)沒(méi)有特殊說(shuō)明時(shí)

2、,所說(shuō)的角都是指小于180的角.(5)因?yàn)槠浇堑膬蓷l邊在同一條直線上,周角的兩條邊互相重合,所以容易誤認(rèn)為平角是一條直線,周角是一條射線知識(shí)拓展角的分類角按度數(shù)可分為五類:其中,大于0而小于90的角叫做銳角,如圖(1);等于90的角叫做直角,如圖(2);大于90而小于180的角叫做鈍角,如圖(3);等于180的角叫做平角,如圖(4);等于360的角叫做周角,如圖(5).知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)一角的認(rèn)識(shí)角的認(rèn)識(shí)1.角的認(rèn)識(shí)及分類例例1下列說(shuō)法正確的有()兩條射線組成的圖形是角;角的大小與邊的長(zhǎng)短有關(guān);角的兩邊可以畫(huà)得一樣長(zhǎng),也可以一長(zhǎng)一短;角的兩邊是兩條射線;因?yàn)槠浇堑膬蛇叧梢粭l直線,所以一條直線可以看

3、成一個(gè)平角;周角是一條射線.A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)解析解析是錯(cuò)的,若兩條射線無(wú)公共端點(diǎn),則構(gòu)成的圖形不是角;是錯(cuò)的,角的兩邊是兩條射線,沒(méi)有長(zhǎng)短之分;是正確的;是錯(cuò)的,直線和平角是兩種不同的圖形,平角有頂點(diǎn)和兩邊,它與直線不同;是錯(cuò)的,周角是由頂點(diǎn)和兩條邊構(gòu)成的,而射線不是,故選A.答案答案A2.角的表示方法角的幾何符號(hào)為“”,角的表示方法有以下幾種:表示方法圖例記法說(shuō)明用三個(gè)大寫(xiě)字母表示AOB或BOA字母O表示頂點(diǎn),要寫(xiě)在中間,A、B表示角的兩邊上的點(diǎn),用該表示法可以表示任意一個(gè)角用一個(gè)大寫(xiě)字母表示O當(dāng)以某一個(gè)字母表示的點(diǎn)為頂點(diǎn)的角只有一個(gè)時(shí),可用這個(gè)頂點(diǎn)的字母來(lái)表示用數(shù)字表示1在

4、角的內(nèi)部靠近角的頂點(diǎn)處加上弧線,并標(biāo)上數(shù)字或希臘字母,這種表示法形象直觀用希臘字母表示重要提示(1)當(dāng)用三個(gè)大寫(xiě)字母或用一個(gè)大寫(xiě)字母表示角時(shí),靠近角的頂點(diǎn)處的弧線可畫(huà)也可不畫(huà),但用數(shù)字或希臘字母(、等)表示角時(shí),在角的內(nèi)部靠近頂點(diǎn)處必須畫(huà)小弧線表示出角的范圍.(2)用三個(gè)大寫(xiě)字母表示角適用于任意一個(gè)角,但在具體應(yīng)用時(shí)不便書(shū)寫(xiě)且容易出現(xiàn)筆誤,因此在解題過(guò)程中對(duì)出現(xiàn)次數(shù)較多的角盡量用數(shù)字或希臘字母表示.(3)以某點(diǎn)為頂點(diǎn)的角不止一個(gè)時(shí),其中任意一個(gè)角都不能用一個(gè)大寫(xiě)字母來(lái)表示注意注意角的符號(hào)應(yīng)書(shū)寫(xiě)標(biāo)準(zhǔn),“”不可與“”混淆.例例2如圖4-3-1-1,寫(xiě)出全部符合條件的角.圖4-3-1-1(1)能用一

5、個(gè)大寫(xiě)字母表示的角;(2)能用一個(gè)數(shù)字表示的角,并將這些角用字母表示出來(lái);(3)以D為頂點(diǎn)且小于平角的角;(4)以A為頂點(diǎn)且小于平角的角.分析分析當(dāng)一個(gè)頂點(diǎn)處只有一個(gè)角時(shí),這個(gè)角可以用頂點(diǎn)處的一個(gè)大寫(xiě)字母表示;當(dāng)一個(gè)頂點(diǎn)處有多個(gè)角時(shí),則這個(gè)角可以用三個(gè)大寫(xiě)字母表示,并且將頂點(diǎn)處的字母寫(xiě)在中間.解析解析(1)B.(2)1可用ABD(ABC,ABE,B)表示;2可用CAD表示.(3)ADC和ADB.(4)BAD,DAC(2)和BAC.知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)二角的度量與換算角的度量與換算角的度量單位把一個(gè)周角360等分,每一份就是1度的角,記作1;把1度的角60等分,每一份叫做1分的角,記作1;把1的角60

6、等分,每一份叫做1秒的角,記作1角的換算1=60,1=60;1周角=360,1周角=2平角=4直角;1平角=180,1平角=2直角角度制以度、分、秒為單位的角的度量制,叫做角度制知識(shí)拓展(1)把“度”換算為“度、分、秒”時(shí),先把不足1度的部分化為分,再把不足1分的部分化為秒.(2)把“度、分、秒”換算為“度”時(shí),先把以秒為單位的部分化為分,再把以分為單位的部分化為度解析解析(1)2.45=2+0.45=2+0.4560=227.(2)332436=33+24+36=33+24+0.6=33+24.6=33+0.41=33.41.方法歸納方法歸納(1)把高級(jí)單位轉(zhuǎn)化為低級(jí)單位要乘進(jìn)率;(2)把低

7、級(jí)單位轉(zhuǎn)化為高級(jí)單位要除以進(jìn)率;(3)轉(zhuǎn)化時(shí)必須逐級(jí)進(jìn)行,“越級(jí)”轉(zhuǎn)化容易出錯(cuò).例例3(1)把2.45換算成用度、分、秒表示的形式;(2)把332436換算成用度表示的形式.題型一題型一探究角的個(gè)數(shù)探究角的個(gè)數(shù)例例1如圖4-3-1-2所示,在AOB的內(nèi)部有4條射線,則圖中角的個(gè)數(shù)為()圖4-3-1-2A.10B.15C.5D.20解析解析解法一:解法二:以O(shè)A為邊的角有5個(gè),以O(shè)C為邊的角有5個(gè),以O(shè)B為邊的角有5個(gè),并且每個(gè)角都數(shù)了2次,故圖中有=15(個(gè))角,故選B.答案答案B點(diǎn)撥點(diǎn)撥數(shù)角的個(gè)數(shù)必須不重不漏,從一點(diǎn)引出n(n2)條射線組成的角有個(gè).題型二題型二鐘表中的角度鐘表中的角度例例2

8、觀察常用時(shí)鐘,回答下列問(wèn)題:(1)早晨7時(shí)整,時(shí)針和分針構(gòu)成多少度的角?(2)時(shí)針多長(zhǎng)時(shí)間轉(zhuǎn)一圈?它轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每小時(shí)多少度?(3)從7:00到7:40,分針轉(zhuǎn)動(dòng)了多少度?解析解析(1)因?yàn)殓姳淼谋砻嬗?2個(gè)大格,每個(gè)大格對(duì)應(yīng)的夾角均為36012=30,7時(shí)整,時(shí)針和分針之間相差5個(gè)大格,所以7時(shí)整,時(shí)針與分針的夾角是530=150.(2)時(shí)針12個(gè)小時(shí)轉(zhuǎn)一圈,36012=30,所以它轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每小時(shí)30.(3)從7:00到7:40分針轉(zhuǎn)動(dòng)了8個(gè)大格,所以分針轉(zhuǎn)動(dòng)了830=240.點(diǎn)撥點(diǎn)撥解決時(shí)鐘時(shí)針、分針轉(zhuǎn)動(dòng)角度的問(wèn)題時(shí),要注意時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一大格,轉(zhuǎn)過(guò)角度即周角的十二分之一,即30.每一個(gè)大格

9、之間又分為5個(gè)小格,即分針轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)小格,轉(zhuǎn)過(guò)角度為6.注意時(shí)針與分針轉(zhuǎn)動(dòng)角度的速度比值是112,時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)30,分針轉(zhuǎn)動(dòng)360.分針與秒針轉(zhuǎn)動(dòng)角度的速度之比是160,分針轉(zhuǎn)動(dòng)6(一個(gè)小格),秒針轉(zhuǎn)動(dòng)360(一周).知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)一角的認(rèn)識(shí)角的認(rèn)識(shí)1.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的有()有公共點(diǎn)的兩條射線組成的圖形是角;從一點(diǎn)引出的兩條射線所組成的圖形是角;角的大小與兩邊所畫(huà)的長(zhǎng)度有關(guān);線段繞著一個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)也可以形成角.A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)答案答案C公共點(diǎn)與公共端點(diǎn)不同,故錯(cuò)誤;角的大小不因兩邊所畫(huà)的長(zhǎng)短而改變,故錯(cuò)誤;角的兩邊是射線,故錯(cuò)誤.由角的定義可知正確.2.如圖4-3-1-1所示,表示1的其

10、他方法中,不正確的是()圖4-3-1-1A.ACBB.CC.BCAD.ACD答案答案B由題圖知,ACB,BCA與ACD所表示的角都是1;因?yàn)橐訡為頂點(diǎn)的角不止一個(gè),所以選項(xiàng)B不正確.3.(2018江西臨川一中月考)下列四個(gè)圖形中,能用、AOB、O三種方法表示同一個(gè)角的是()答案答案CC選項(xiàng)中,以O(shè)為頂點(diǎn)的角只有一個(gè),可以用O來(lái)表示,且、AOB、O為同一個(gè)角.4.如圖4-3-1-2,下列說(shuō)法:1就是ABC;2就是DBC;以B為頂點(diǎn)的角有3個(gè),它們是1,2,ABC;ADB也可以表示成D;BCD也可以表示成ACB,還可以表示成C,其中說(shuō)法正確的有()圖4-3-1-2A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)答

11、案答案B1就是ABD,故說(shuō)法錯(cuò)誤;2就是DBC,故說(shuō)法正確;以B為頂點(diǎn)的角有3個(gè),它們是1,2,ABC,故說(shuō)法正確;以D為頂點(diǎn)的角不止一個(gè),故ADB不能用D表示,故說(shuō)法錯(cuò)誤;BCD也可以表示成ACB,還可以表示成C,故說(shuō)法正確,故選B.5.如圖4-3-1-3,點(diǎn)O是直線AB上一點(diǎn),圖中小于180的角共有()圖4-3-1-3A.7個(gè)B.9個(gè)C.8個(gè)D.10個(gè)答案答案B題圖中小于180的角有AOC,AOD,AOE,COD,COE,COB,DOE,DOB,EOB,共9個(gè).6.如圖4-3-1-4,在射線OB上取一點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)C作直線MN交OA于點(diǎn)D,則圖中小于平角的角共有個(gè).圖4-3-1-4答案答案9解

12、析解析符合條件的角中,以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的角有BCD,BCM,MCO,DCO;以點(diǎn)D為頂點(diǎn)的角有ADN,MDA,MDO,NDO;以點(diǎn)O為頂點(diǎn)的角有O.故圖中符合條件的角共有9個(gè).7.(1)用10倍放大鏡看30的角,你觀察到的角是;(2)用10倍放大鏡看50的角,60的角,你觀察到的角是,;(3)由(1),(2),你得到的結(jié)論是.答案答案(1)30(2)50;60(3)在放大鏡下角的大小不變解析解析因?yàn)榻堑拇笮≈慌c角的兩邊張開(kāi)的程度有關(guān),所以角在放大鏡下大小不變.知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)二角的度量與換算角的度量與換算8.一塊手表早上8點(diǎn)整的表針的位置如圖4-3-1-5,那么分針與時(shí)針?biāo)M成的小于平角的角的度數(shù)是

13、()圖4-3-1-5A.60B.80C.120D.150答案答案C由題圖知,表盤被分成12個(gè)大格,每格對(duì)應(yīng)的夾角為30.早上8點(diǎn),分針與時(shí)針?biāo)M成的小于平角的角的度數(shù)為304=120.故選C.9.下列各式中,正確的角度互化是()A.63.5=6350B.231236=23.48C.181818=18.33D.22.25=2215答案答案D63.5=63+0.560=6330,故A選項(xiàng)錯(cuò)誤;231236=23+12+36=23.21,故B選項(xiàng)錯(cuò)誤;181818=18+18+18=18.305,故C選項(xiàng)錯(cuò)誤;22.25=22+0.2560=2215,故D選項(xiàng)正確.10.將下列各角用度、分、秒表示出

14、來(lái).(1)32.41;(2)75.5;(3).解析解析(1)32.41=32+0.4160=32+24.6=32+24+0.660=322436.(2)75.5=75+0.560=7530.(3)=60=5.11.用度表示下列各角.(1)3736;(2)516;(3)152436.解析解析(1)3736=37+=37+0.6=37+=37+0.01=37.01.(2)516=51+=51+0.1=51.1.(3)152436=1524+=1524+0.6=15+24.6=15+=15+0.41=15.41.1.下列說(shuō)法正確的是()A.一條直線便是一個(gè)平角B.由兩條射線組成的圖形叫做角C.周角就

15、是一條射線D.由一條射線繞其端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成的圖形叫做角答案答案D有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角,選項(xiàng)A錯(cuò);說(shuō)直線是一個(gè)平角是錯(cuò)誤的,但一個(gè)平角可以看成是一條直線,選項(xiàng)B錯(cuò);一條射線不是一個(gè)周角,而一個(gè)周角卻可以看成一條射線,選項(xiàng)C錯(cuò);選項(xiàng)D正確.2.下列對(duì)角的表示方法理解錯(cuò)誤的是()A.角可用三個(gè)大寫(xiě)字母表示,表示頂點(diǎn)的字母寫(xiě)在中間B.任何角都可以用一個(gè)大寫(xiě)字母表示C.記角時(shí)可靠近頂點(diǎn)處加上弧線,注上數(shù)字來(lái)表示D.記角時(shí)可靠近頂點(diǎn)處加上弧線,注上希臘字母來(lái)表示答案答案B同一頂點(diǎn)處只有一個(gè)角時(shí),才能用一個(gè)大寫(xiě)字母表示.3.下午2點(diǎn)30分時(shí)(如圖),時(shí)鐘的分針與時(shí)針之間的夾角的度數(shù)為()A.9

16、0B.105C.120D.115答案答案B將鐘面分成12等份,每1份為30,所以下午2點(diǎn)30分時(shí),時(shí)針與分針之間的夾角為330+302=105.4.下列說(shuō)法:由兩條射線組成的圖形叫做角;角的大小與邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān),只與兩條邊張開(kāi)的幅度有關(guān);角的兩邊是兩條射線;把一個(gè)角放到一個(gè)放大10倍的放大鏡下觀看,角的度數(shù)也擴(kuò)大10倍.其中,正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)是()A.1B.2C.3D.4答案答案B中的兩條射線應(yīng)有公共端點(diǎn),故錯(cuò)誤;正確;正確;放大鏡下觀看角,角的度數(shù)不變,故錯(cuò)誤.故選B.5.鐘面上,下列時(shí)刻分針與時(shí)針構(gòu)成的角是直角的是()A.12點(diǎn)15分B.9點(diǎn)整C.3點(diǎn)20分D.6點(diǎn)45分答案答案B9點(diǎn)整時(shí),時(shí)針指著9,分針指著12,兩數(shù)之間有3個(gè)大格,是303=90,所以鐘面上是9點(diǎn)整的時(shí)候,時(shí)針與分針的夾角是90,即直角.6.如圖所示,有五條射線與一條直線分別交于A,B,C,D,E五點(diǎn).(1)請(qǐng)用字母表示出以O(shè)為頂點(diǎn),OC為邊的所有的角;(2)如果B是線段AC的中點(diǎn).D是線段CE的中點(diǎn),AB=2,AE=10,求線段BD的長(zhǎng).解析解析(1)AOC,BOC,COD,COE.(2)因?yàn)锽是線段AC的中點(diǎn),