數(shù)學(xué)方法在物理學(xué)中的應(yīng)用一) 數(shù)學(xué)方法在物理學(xué)中的應(yīng)用〔一〕 物理學(xué)中的數(shù)學(xué)方法是物理思維和數(shù)學(xué)思維高度融合的產(chǎn)物,借助數(shù)學(xué)方法可使一些復(fù)雜的物理問題顯示出明顯的規(guī)律性,能到達(dá)打通關(guān)卡、快速簡捷地解決問題的目的。高考物理試題的解答離不開數(shù)學(xué)知識和方法的應(yīng)用,借助物理知識浸透考察數(shù)學(xué)能力是高考命題的永久主題。能夠講任何物理試題的求解經(jīng)過本質(zhì)上都是一個(gè)將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,然后經(jīng)過求解再次復(fù)原為物理結(jié)論的經(jīng)過。溫習(xí)中應(yīng)加強(qiáng)基本的運(yùn)算能力的培養(yǎng),同時(shí)要注意三角函數(shù)的運(yùn)用,對于圖象的運(yùn)用要重視從圖象中獲取信息能力的培養(yǎng)與訓(xùn)練。在解決帶電粒子運(yùn)動的問題時(shí),要注意幾何知識、參數(shù)方程等數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用。在解決力學(xué)問題時(shí),要注意極值法、微元法、數(shù)列法、分類討論法等數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用。 一、極值法 數(shù)學(xué)中求極值的方法很多，物理極值問題中常用的極值法有：三角函數(shù)極值法、二次函數(shù)極值法、一元二次方程的判別式法等。 1．利用三角函數(shù)求極值 y＝acosθ＋bsinθ＝(+ )令sinφ＝ ，cosφ＝則有：y＝ (sinφcosθ＋cosφsinθ)＝sin(φ＋θ) 所以當(dāng)φ＋θ＝π2 時(shí)，y有最大值，且ymax＝．典例：在傾角θ=30°的斜面上,放置一個(gè)重量為200N的物體,物體與斜面間的動摩擦因數(shù)為μ= 3 3,要使物體沿斜面勻速向上移動,所加的力至少要多大?方向怎樣? 【解析】設(shè)所加的外力F與斜面夾角為α,物體受力情況如下圖。 由于物體做勻速直線運(yùn)動,根據(jù)共點(diǎn)力的平衡條件,有 Fcosα-mgsinθ-f=0 N+Fsinα-mgcosθ=0 而f=μN(yùn) 解得:F=α μαθμθsincoscos(sin++mg由于θ已知,故分子為定值,分母是變量為α的三角函數(shù)y=cos+=(cos+sin)=(sincos+cossin)=sin(+)其中sin=，cos=，即tan=。 當(dāng)+=90時(shí)，即=90-時(shí)，y取最大值。 F最小值為 ,由于=，即tan=，所以=60。 帶入數(shù)據(jù)得Fmin=100N,此時(shí)=30。 【名師點(diǎn)睛】根據(jù)對物體的受力情況分析,然后根據(jù)物理規(guī)律寫出相關(guān)物理量的方程,解出所求量的表達(dá)式,進(jìn)而結(jié)合三角函數(shù)的公式求極值,這是利用三角函數(shù)求極值的常用方法,這也是數(shù)學(xué)中方程思想和函數(shù)思想在物理解題中的重要應(yīng)用。 2．利用二次函數(shù)求極值 二次函數(shù)：y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋bax＋b24a2)＋c－b24a＝a(x＋b2a)2＋4ac－b2 4a (其中a、b、c為實(shí)常數(shù))，當(dāng)x＝－b2a時(shí)，有極值ym＝4ac－b24a (若二次項(xiàng)系數(shù)a>0，y有極小值；若a 動,乙車沿+y方向運(yùn)動,其坐標(biāo)為(0,y),y與時(shí)間t的關(guān)系為y=tk221+m,關(guān)系式中,k>0,問: (1)當(dāng)k知足什么條件時(shí),甲、乙兩車間的距離有最小值,最小值為多大? (2)當(dāng)k為何值時(shí),甲車運(yùn)動到O處,與乙車的距離和t=0時(shí)刻的距離一樣? 【解析】(1)t時(shí)刻兩車坐標(biāo):甲車:x=(1-kt)m,乙車:y=tk221+m t時(shí)刻兩車相距s=yx22+=tkkt2221(1(+++m=2)1(222+--tkktkm 當(dāng)t=k k-1s時(shí),甲、乙兩車間的距離有最小值最小值為smin=)1(2k--m,其中k知足k 【解析】如圖乙所示,當(dāng)小球運(yùn)動到繩與豎直方向成θ角的C時(shí),重力的功率: P=mgvcosα=mgvsinθ 乙 小球從水平位置到圖中C位置時(shí),由機(jī)械能守恒有 mgLcosθ=2 1mv2解得:P=mgθθsin2cos2gl 令y=cosθθsin2=sincos422(21θ= sin)sincos222(21 又由于2cos2θ+sin2θ+sin2θ=2(sin2θ+cos2 θ)=2(定值)所以當(dāng)且僅當(dāng)2cos2θ=sin2 θ時(shí),y有最大值由2cos2θ=1-cos2 θ得cosθ=3 3即:當(dāng)cosθ=3 3時(shí),功率P有最大值?！敬鸢浮慨?dāng)細(xì)繩與豎直方向的夾角余弦值為cosθ= 33時(shí),重力的瞬時(shí)功率獲得最大值【名師點(diǎn)睛】重力的瞬時(shí)功率與物體速度及速度和重力間的夾角有關(guān),正確找到重力的瞬時(shí)功率的表達(dá)式是解題的前提,利用不等式求極值成為解題的關(guān)鍵所在。