定積分的換元法和分部積分法2022優(yōu)秀文檔.ppt
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1、 高高等等數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)電子子教教案案 武武漢科科技技學(xué)學(xué)院院數(shù)數(shù)理理系系第三節(jié) 定積分的換元法和分部積分法一 定積分的換元法定理1 設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上延續(xù),且x=(t)滿足條件:(1)(t)在,上延續(xù)可微;(2)當(dāng)t在,上變化時(shí),x=(t)的值在a,b上單調(diào)變化,且()=a,()=b那么 高高等等數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)電子子教教案案 武武漢科科技技學(xué)學(xué)院院數(shù)數(shù)理理系系(1)式叫做定積分的換元公式,(1)式從左到右為定積分的代元法;從右到左是定積分的湊元法.在運(yùn)用(1)式時(shí)要留意;第一,定積分換元時(shí)要改換相應(yīng)的積分限;第二求出原函數(shù)后應(yīng)該直接代入新積分限.得到得到不用代回原不用代回原變量的量的積分限去分限去
2、計(jì)算算.第三第三,在在詳細(xì)計(jì)算中要留意函數(shù)的算中要留意函數(shù)的嚴(yán)厲單調(diào) 高高等等數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)電子子教教案案 武武漢科科技技學(xué)學(xué)院院數(shù)數(shù)理理系系分析:這是圓面積的1/4,令例4 設(shè)f(x)是相應(yīng)區(qū)間上的延續(xù)函數(shù),證明x 0 3例3 假設(shè)f(x)在a,b上延續(xù),可經(jīng)過換元法令t=a-x得到從而可計(jì)算積分定理2 設(shè)函數(shù)u(x),v(x)在區(qū)間a,b上都延續(xù)可微,那么令x=t+l,那么dx=dt,且當(dāng)x=l時(shí),t=0,當(dāng)x=a+l時(shí),t=a假設(shè)用x=1/t,那么留意積分區(qū)域能否有x=0的情況,不用代回原變量的積分限去x 0 3令x=t+l,那么dx=dt,且當(dāng)x=l時(shí),t=0,當(dāng)x=a+l時(shí),t=a(3)假
3、設(shè)f(x)是以L為周期的周期函數(shù),那么在換元時(shí),積分的上下限必需同時(shí)變化.此外當(dāng)積分區(qū)域應(yīng)該思索假設(shè)用x=t2,那么被積函數(shù)開方時(shí)要留意在積分區(qū)域里假設(shè)用x=t2,那么被積函數(shù)開方時(shí)要留意在積分區(qū)域里例1 計(jì)算分析:這是圓面積的1/4,令xRxy 高高等等數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)電子子教教案案 武武漢科科技技學(xué)學(xué)院院數(shù)數(shù)理理系系例2 計(jì)算解 高高等等數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)電子子教教案案 武武漢科科技技學(xué)學(xué)院院數(shù)數(shù)理理系系利用換元法計(jì)算定積分時(shí),要留意:(1).在換元時(shí),積分的上下限必需同時(shí)變化.(2).在換元時(shí),要留意換元后的函數(shù)在積分區(qū)域內(nèi)能否有意義.假設(shè)用x=1/t,那么留意積分區(qū)域能否有x=0的情況,假設(shè)用x=t2,
4、那么被積函數(shù)開方時(shí)要留意在積分區(qū)域里 的符號(hào).(3).在換元時(shí),代換變量的變化范圍超越原變量變化的范圍時(shí)很容易出錯(cuò)誤.例如要計(jì)算以下定積分的值.高高等等數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)電子子教教案案 武武漢科科技技學(xué)學(xué)院院數(shù)數(shù)理理系系為了去根號(hào),設(shè)1+x=t2,dx=2tdt,x=t2-1當(dāng)x=0時(shí),t可以為+1,也可為-1.同樣當(dāng)x=3時(shí),t可為+2,也可為-2.x 0 3t 1 2面對(duì)有正負(fù)號(hào)時(shí),應(yīng)該思索被積函數(shù)的情況當(dāng)t=-1時(shí),要留意代入被積函數(shù)如t從-1到+2,此時(shí)曾經(jīng)超越積分區(qū)域了t0321-1-2x 高高等等數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)電子子教教案案 武武漢科科技技學(xué)學(xué)院院數(shù)數(shù)理理系系根據(jù)定積分的性質(zhì)3可加性(p221)其
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