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1、第三章第三章 特征特征值問題與特殊函數(shù)與特殊函數(shù)3.1 二二階常微分方程的常微分方程的冪級數(shù)解法數(shù)解法特征方程特征方程為特解特解1.變系數(shù)系數(shù)常系數(shù)常系數(shù) 不是都可以用不是都可以用2.冪級數(shù)法數(shù)法 f(x)Taylor展開展開在收在收斂區(qū)域內(nèi)區(qū)域內(nèi)收收斂半徑半徑解析：假解析：假設(shè) f(x)在在0點的某個點的某個鄰域內(nèi)域內(nèi)C，且，且Taylor級數(shù)收數(shù)收斂，稱，稱 f 在在0點解析。點解析。解析函數(shù)由部分性解析函數(shù)由部分性質(zhì)可推知整體性可推知整體性質(zhì).3.1.1 冪級數(shù)解法數(shù)解法實際概述概述 用球坐用球坐標系和柱坐系和柱坐標系系對拉普拉斯方程、拉普拉斯方程、動搖方程、方程、輸運方程運方程進展展變

2、量分量分別，就出，就出現(xiàn)連帶勒勒讓德方程、勒德方程、勒讓德方程、德方程、貝塞塞爾方程、球方程、球貝塞塞爾方程等特殊函數(shù)方程用其他坐方程等特殊函數(shù)方程用其他坐標 系系系系對對其他數(shù)學物理偏微分方程其他數(shù)學物理偏微分方程其他數(shù)學物理偏微分方程其他數(shù)學物理偏微分方程進進展分展分展分展分別變別變量，量，量，量，還還會出會出會出會出 現(xiàn)各種各各種各樣的特殊函數(shù)方程它的特殊函數(shù)方程它們大多是二大多是二階線性常性常 微分方程微分方程微分方程微分方程這這向我向我向我向我們們提出求解提出求解提出求解提出求解帶帶初始條件的初始條件的初始條件的初始條件的線線性二性二性二性二階階常微分方常微分方常微分方常微分方程定解

3、程定解程定解程定解問題問題。我我們討論復復變函數(shù)函數(shù) 的的線性二性二階常微分方程常微分方程3.1.1其中其中Z為復復變數(shù)，數(shù)，為選定的點，定的點，為復常數(shù)復常數(shù) 這些些線性二性二階常微分方程常微分方程經(jīng)常不能用通常的解法解出，常不能用通常的解法解出，但可用但可用冪級數(shù)解法解出所數(shù)解法解出所謂冪級數(shù)解法，就是在某個任數(shù)解法，就是在某個任意點意點的的鄰域上，把待求的解表域上，把待求的解表為系數(shù)待定的系數(shù)待定的冪級數(shù)，數(shù)，代入方程以逐個確定系數(shù)代入方程以逐個確定系數(shù) 冪級數(shù)解法是一個比數(shù)解法是一個比較普遍的方法，適用范普遍的方法，適用范圍較廣，可借助于解析函數(shù)的廣，可借助于解析函數(shù)的廣，可借助于解析

4、函數(shù)的廣，可借助于解析函數(shù)的實際進實際進展展展展討論討論 求得的解既然是求得的解既然是級數(shù)，就有能否收數(shù)，就有能否收斂以及收以及收斂范范圍的的問題 雖然冪級數(shù)解法較為繁瑣，但它可廣泛運用于微分方程的求解問題中 定定定定義義 3.1.1 3.1.1 常點常點常點常點 奇點奇點奇點奇點 假假假假設(shè)設(shè)方程方程方程方程3.1.13.1.1的系數(shù)函數(shù)的系數(shù)函數(shù)的系數(shù)函數(shù)的系數(shù)函數(shù) 和和在在選定的點定的點的的鄰域中是解析的，那么點域中是解析的，那么點方程方程3.1.1的常點的常點.假假設(shè)選定的點定的點 是是或或的奇點，那么點的奇點，那么點 叫作方程叫作方程3.1.1的奇點的奇點 叫作叫作1方程的常點和奇點

5、概念方程的常點和奇點概念2.2.常點常點常點常點鄰鄰域上的域上的域上的域上的冪級冪級數(shù)解定理數(shù)解定理數(shù)解定理數(shù)解定理定理定理3.1.1 假假設(shè)方程方程3.1.1的系數(shù)的系數(shù) 關(guān)于線性二階常微分方程在常點鄰域上的級數(shù)解，有下面的定理和和為點點的的鄰域域中的解析函數(shù)，中的解析函數(shù)，那么方程在那么方程在這圓中存在獨一的解析解中存在獨一的解析解 滿足足初始條件初始條件，其中，其中是恣意是恣意給定的復常數(shù)定的復常數(shù)故可以把它表示故可以把它表示故可以把它表示故可以把它表示為為此此此此鄰鄰域上的泰勒域上的泰勒域上的泰勒域上的泰勒級級數(shù)數(shù)數(shù)數(shù).既然既然線性二性二階常微分方程在常點常微分方程在常點的的鄰域域上存

6、在獨一的解析解，上存在獨一的解析解，3.1.2其中其中為待定系數(shù)待定系數(shù) 為為了確定了確定了確定了確定級級數(shù)解數(shù)解數(shù)解數(shù)解3.1.23.1.2中的系數(shù)，中的系數(shù)，中的系數(shù)，中的系數(shù)，詳細詳細的做法是以的做法是以的做法是以的做法是以 3.1.23.1.2代入方程代入方程代入方程代入方程3.1.13.1.1，合并同，合并同，合并同，合并同冪項冪項，令合并后的系數(shù)，令合并后的系數(shù)，令合并后的系數(shù)，令合并后的系數(shù)分分別為零，找出系數(shù)零，找出系數(shù)之之間的的遞推關(guān)系，推關(guān)系，最后用已最后用已給的初的初值，來確定各個系數(shù)來確定各個系數(shù) 從而求得確定的從而求得確定的級數(shù)解數(shù)解 下面以下面以階勒勒讓德方程德方程

7、為例，例，詳細闡明明級數(shù)解法的步數(shù)解法的步驟 3.1.2 3.1.2 常點常點常點常點鄰鄰域上的域上的域上的域上的冪級冪級數(shù)解法數(shù)解法數(shù)解法數(shù)解法 勒勒勒勒讓讓德方程的求解德方程的求解德方程的求解德方程的求解注明：注明：推推導解的解的過程程僅供了解求解的方法，供了解求解的方法，讀者可直接參考其者可直接參考其結(jié)論.由分由分別變量法得到了勒量法得到了勒讓德方程，下面德方程，下面討論在在 鄰域上求解域上求解階勒勒讓德方程德方程 即即即即為為 故方程的系數(shù)故方程的系數(shù)故方程的系數(shù)故方程的系數(shù) 在在，單值函數(shù)函數(shù)，均均為有限有限值，它，它們必然在必然在解析解析 點點點點 故可故可故可故可設(shè)設(shè)勒勒勒勒讓讓

8、德方程具有德方程具有德方程具有德方程具有是方程的常點根據(jù)常點是方程的常點根據(jù)常點鄰域上解的定理，域上解的定理，解具有泰勒解具有泰勒級數(shù)方式數(shù)方式.3.1.3 泰勒級數(shù)方式的解，將其代入勒氏方程可得系數(shù)間的遞推關(guān)系 3.1.4因此，由恣意常數(shù)因此，由恣意常數(shù)因此，由恣意常數(shù)因此，由恣意常數(shù) 可可可可計計算出任一系數(shù)算出任一系數(shù)算出任一系數(shù)算出任一系數(shù) 首先在首先在3.1.4中令中令 可得偶次可得偶次項的系數(shù)的系數(shù)(3.1.5)令令，那么可得奇次，那么可得奇次項的系數(shù)的系數(shù) 將它將它將它將它們們代入解的表達式中，得到勒代入解的表達式中，得到勒代入解的表達式中，得到勒代入解的表達式中，得到勒讓讓德方

9、程解的方式德方程解的方式德方程解的方式德方程解的方式(3.1.7)(3.1.7)(3.1.6)其中其中其中其中 分分分分別別是偶次是偶次是偶次是偶次項項和奇次和奇次和奇次和奇次項組項組成的成的成的成的級級數(shù)，數(shù)，數(shù)，數(shù)，不是整數(shù)不是整數(shù)時，無無窮級數(shù)，容易求數(shù)，容易求得其收得其收斂半徑均半徑均為1 時，發(fā)散于無散于無窮 是非是非負整數(shù)整數(shù) 遞推公式推公式3.1.4 是偶數(shù)是偶數(shù)時，是一個是一個次多次多項式，但函數(shù)式，但函數(shù) 為在在 處發(fā)散至無散至無窮的無的無窮級數(shù)數(shù) 是奇數(shù)是奇數(shù)時，是是次多次多項式，而式，而依然是在依然是在處無界的無無界的無窮級數(shù)數(shù) 是是是是負負整數(shù)整數(shù)整數(shù)整數(shù)時時 一個是多

10、一個是多項式，另一個式，另一個是無界的無是無界的無窮級數(shù)數(shù) 所以無妨所以無妨所以無妨所以無妨設(shè)設(shè) 導導出出出出這這個多個多個多個多項項式的表達式式的表達式式的表達式式的表達式,是非是非負整數(shù)整數(shù)因在因在實踐踐問題中普通中普通總要求有界解要求有界解 把系數(shù)把系數(shù)遞推公式推公式3.1.4改寫成改寫成 (3.1.8)于是可由多于是可由多項式的最高次式的最高次項系數(shù)系數(shù)來表示其它各低來表示其它各低階項系數(shù)系數(shù)取多取多取多取多項項式最高次式最高次式最高次式最高次項項系數(shù)系數(shù)系數(shù)系數(shù)為為(3.1.9)這樣取主要是取主要是為了使所得多了使所得多項式在式在 處取取值為1，即，即實現(xiàn)歸一化一化.可得系數(shù)的普通式

11、可得系數(shù)的普通式為(3.1.10)因此，我因此，我們得出得出結(jié)論：是非是非負偶數(shù)偶數(shù)時，勒，勒讓德方程有解德方程有解 3.1.11是正奇數(shù)是正奇數(shù)時，勒，勒讓德方程有解德方程有解但可用冪級數(shù)解法解出所謂冪級數(shù)解法，就是在某個任f(x)Taylor展開為整數(shù)時，勒讓德方程的通解為的鄰域中是解析的，那么點階貝塞爾函數(shù)只相差一個常數(shù)因子故可以把它表示為此鄰域上的泰勒級數(shù).那么方程在這圓中存在獨一的解析解1 二階常微分方程的冪級數(shù)解法類勒讓德函數(shù)即勒讓德多項式可以證明這個函數(shù)，確實是貝塞爾方程的一個特解，施圖姆劉維爾本征值問題.Liouville)本征值問題，本節(jié)就討論具有普遍意義的施圖姆劉維爾本征值

12、問題第三章 特征值問題與特殊函數(shù)(3.1.12)對上述上述討論進展展綜合，假合，假設(shè)用用 表示不大于表示不大于 的整數(shù)部分，的整數(shù)部分，用大寫字母用大寫字母寫成一致方式解寫成一致方式解3.1.13 我我們曾曾經(jīng)指出，在指出，在 是非是非負整數(shù)整數(shù)時，勒，勒讓德方程的德方程的根本解根本解組 中只需一個多中只需一個多項式，式，這個多個多項式式勒勒讓德多德多項式式，也稱，也稱為第一第一類勒勒讓德函數(shù)；德函數(shù)；另一個是無另一個是無窮級數(shù)，數(shù)，這個無個無窮級數(shù)稱數(shù)稱為第二第二類勒勒讓德函數(shù)，德函數(shù)，記為大寫的大寫的 可以得出它可以得出它們的關(guān)系的關(guān)系3.1.14經(jīng)過計算后，算后，可以可以經(jīng)過對數(shù)函數(shù)及勒

13、數(shù)函數(shù)及勒讓德多德多項式式 表示出，所以第二表示出，所以第二類勒勒讓德函數(shù)的普通表達式德函數(shù)的普通表達式為 (3.1.15)特特別地地(3.1.16)可以可以證明明這樣定定義的的，其，其遞推公式和推公式和 的的遞推公式具有一推公式具有一樣的方式而且在普通情況下勒的方式而且在普通情況下勒讓德方程德方程的通解的通解為兩個獨立解的兩個獨立解的線性疊加性疊加的方式容易看出，它在端點Sturm)劉維爾(J.階勒讓德方程為例，詳細闡明級數(shù)解法的步驟要使上式恒成立，必需使得各個研討二階常微分方程的本征值問題時，對于普通的二階常微分方程再加上自然邊境條件：的鄰域上，把待求的解表為系數(shù)待定的冪級數(shù)，來表示其它各

14、低階項系數(shù)2中的系數(shù)，詳細的做法是以階第一類貝塞爾函數(shù)，記作雖然冪級數(shù)解法較為繁瑣，但它可廣泛運用于微f(x)Taylor展開可以經(jīng)過對數(shù)函數(shù)及勒讓德多項式類勒讓德函數(shù)即勒讓德多項式函數(shù)為無窮大，所以上面的級數(shù)實踐上只從中只需一個多項式，這個多項式3.1.17但是在但是在滿足自然足自然邊境即要求定解境即要求定解問題在在邊境上有限境上有限的方式容易看出，它在端點的方式容易看出，它在端點 處是無界的，是無界的，故必需取常數(shù)故必需取常數(shù) 從而勒從而勒讓德方程的解就只需德方程的解就只需 第一第一類勒勒讓德函數(shù)即勒德函數(shù)即勒讓德多德多項式：式：注：法國數(shù)學家勒注：法國數(shù)學家勒讓德德A.M.Legendr

15、e 17251833最早最早專門研研討過在球坐在球坐標系中求解數(shù)學物理方程系中求解數(shù)學物理方程問題時所遇到的一所遇到的一類特殊函特殊函數(shù)由于數(shù)由于這類函數(shù)具有多函數(shù)具有多項式方式，所以命名式方式，所以命名這類函數(shù)函數(shù)為勒勒讓德德函數(shù)函數(shù).綜合可得如下合可得如下結(jié)論：1當當 不是整數(shù)不是整數(shù)時，勒，勒讓德方程在區(qū)德方程在區(qū)間上無有界的解上無有界的解 2當當 為整數(shù)整數(shù)時，勒，勒讓德方程的通解德方程的通解為，其中，其中 稱稱為第一第一類勒勒讓德函數(shù)即勒德函數(shù)即勒讓德多德多項式，式，稱稱為第二第二類勒勒讓德函數(shù)德函數(shù).為整數(shù)，且要求在自然整數(shù)，且要求在自然邊境條件下境條件下(即要求在即要求在 有界解

16、的情況下有界解的情況下)求解，那么勒求解，那么勒讓德方程的解只需第一德方程的解只需第一 類勒勒讓德函數(shù)即勒德函數(shù)即勒讓德多德多項式式由于第二由于第二類勒勒讓德函數(shù)德函數(shù) 在在閉區(qū)區(qū)間 上是無界的上是無界的13.1.3 奇點奇點鄰域的域的級數(shù)解法：數(shù)解法：貝塞塞爾方程的求解方程的求解前一章分前一章分別變量法中，我量法中，我們引出了引出了貝塞塞爾方程，本方程，本節(jié)我我我我們來來討論這個方程的個方程的冪級數(shù)解法按數(shù)解法按慣例，仍以例，仍以 表示自表示自變量，以量，以 表示未知函數(shù)，那么表示未知函數(shù)，那么 階貝塞塞爾方程方程為(3.1.18)其中，其中，為恣意恣意實數(shù)或復數(shù)數(shù)或復數(shù)這里特用里特用 而不

17、是而不是，表示可以取恣意數(shù)但在本，表示可以取恣意數(shù)但在本書中中 由于方程的系數(shù)中出由于方程的系數(shù)中出現(xiàn) 只限于取只限于取實數(shù)，數(shù)，項，所以在，所以在討論時，無妨，無妨暫先假定先假定 留意在留意在貝塞塞爾方程中，由于方程中，由于 故故 為 的奇點的奇點 下面引下面引見奇點奇點鄰域的域的冪級數(shù)解法：數(shù)解法：貝塞塞爾方程的求解方程的求解設(shè)方程方程13.1.18的一個特解具有以下的一個特解具有以下冪級數(shù)方式：數(shù)方式：(3.1.19其中，常數(shù)其中，常數(shù) 和和 可以可以經(jīng)過把把 和它的和它的導數(shù)數(shù) 代入代入3.1.18來確定來確定 將將3.1.19及其及其導數(shù)代入數(shù)代入3.1.18后，得后，得化化簡后寫成

18、后寫成要使上式恒成立，必需使得各個要使上式恒成立，必需使得各個 次次冪的系數(shù)的系數(shù)為零，零，從而得以下各式：從而得以下各式：(3.1.20)(3.1.21)(3.1.22)由由3.1.20 得得；代入；代入3.1.21，得，得 現(xiàn)暫取取，代入，代入3.1.22得得 (3.1.23)由于由于，由，由3.1.23知：知：都可以用都可以用 表示，即表示，即由此知由此知3.1.19的普通的普通項為是一個恣意常數(shù)，令是一個恣意常數(shù)，令 取一個確定的取一個確定的值，就得，就得3.1.18 的一個特解我的一個特解我們把把 取作取作 這樣選取取 與后面將引與后面將引見的的貝塞塞爾函數(shù)的母函數(shù)有關(guān)函數(shù)的母函數(shù)有

19、關(guān) 運用以下恒等式運用以下恒等式 使分母使分母簡化，從而，使化，從而，使3.1.19中普通中普通項的系數(shù)的系數(shù)變成成 3.1.24 以3.1.24代入3.1.19得到貝塞爾方程3.1.18的一個特解用用級數(shù)的比數(shù)的比值判判別式或稱達朗式或稱達朗貝爾判判別法可以斷定法可以斷定 這個個級數(shù)在整個數(shù)數(shù)在整個數(shù)軸上收上收斂這個無個無窮級數(shù)數(shù) 所確定的函數(shù)，稱所確定的函數(shù)，稱為 階第一第一類貝塞塞爾函數(shù)，函數(shù)，記作作 (3.1.25至此，就求出了至此，就求出了貝塞塞爾方程的一個特解方程的一個特解 另外，當另外，當 即取即取負值時，用同，用同樣方法可方法可得得貝塞塞爾方程方程3.1.18的另一特解的另一特

20、解 3.1.26比比較3.1.25與與3.1.26可可見，只需在，只需在3.1.25的右的右端把端把 換成成，即可得到，即可得到3.1.26故不故不論 是正是正 數(shù)數(shù)還是是負數(shù)，數(shù)，總可以用可以用3.1.25一致地表達第一一致地表達第一類貝塞塞爾函數(shù)函數(shù)討論：(1)當當 不不為整數(shù)整數(shù)時，例如，例如 為分數(shù)分數(shù)階貝塞塞爾函數(shù)：函數(shù)：等等,當當 時，故故這兩個特解兩個特解 與與 是是線性無關(guān)的，由性無關(guān)的，由齊次次線性常微分方程的通解構(gòu)成法知道，性常微分方程的通解構(gòu)成法知道，3.1.18的通解的通解為 3.1.28其中，其中，為兩個恣意常數(shù)兩個恣意常數(shù) 根據(jù)系數(shù)關(guān)系，且由達朗根據(jù)系數(shù)關(guān)系，且由達

21、朗貝爾比比值法法故故級數(shù)數(shù) 和和 的收的收斂范范圍為(2)當當 為正整數(shù)或零正整數(shù)或零時注注:以下推以下推導凡用凡用 即表整數(shù)，即表整數(shù)，故有故有3.1.27稱稱 為整數(shù)整數(shù)階貝塞塞爾函數(shù)易得函數(shù)易得 需留意在取整數(shù)的情況下，需留意在取整數(shù)的情況下，和和 線性相關(guān)，性相關(guān)，這是由于是由于:由于由于 是零或正整數(shù)，只需是零或正整數(shù)，只需，那么，那么 是零或是零或負整數(shù)，而整數(shù)，而對于零或于零或負整數(shù)的整數(shù)的 函數(shù)函數(shù)為無無窮大，所以上面的大，所以上面的級數(shù)數(shù)實踐上只從踐上只從 開開場假假設(shè)令令，那么，那么 從零開從零開場，故，故 可可見正、正、負 階貝塞塞爾函數(shù)只相差一個常數(shù)因子函數(shù)只相差一個常

22、數(shù)因子 這時貝塞塞爾方程的通解需求求出與之方程的通解需求求出與之線性無關(guān)的另一個特解性無關(guān)的另一個特解 我我們定定義第二第二類貝塞塞爾函數(shù)又稱函數(shù)又稱為諾依曼函數(shù)依曼函數(shù)為 是一個特解，它既是一個特解，它既滿足足貝塞塞爾方程，又與方程，又與 線性無關(guān)性無關(guān) 這樣我我們可以得到可以得到其中，其中，為歐拉常數(shù)歐拉常數(shù)可以可以證明明這個函數(shù)，確個函數(shù)，確實是是貝塞塞爾方程的一個特解，方程的一個特解，而且是與而且是與 線性無關(guān)的由于當性無關(guān)的由于當 時，為有限有限值，而，而 為無無窮大大 綜述：述：1當當，即不取整數(shù)，即不取整數(shù)時，其，其貝塞塞爾方程的方程的通解可表示通解可表示為2不不論 能否能否為整

23、數(shù)，整數(shù)，貝塞塞爾方程的通解都可方程的通解都可表示表示為其中其中 為恣意常數(shù)，恣意常數(shù)，為恣意恣意實數(shù)數(shù) 32 施施圖姆劉姆劉維爾特征特征值問題 從數(shù)學物理偏微分方程分從數(shù)學物理偏微分方程分別變量法引出的常微分方程往往量法引出的常微分方程往往還附附有有邊境條件，境條件，這些些邊境條件可以是明確寫出來的，也可以是沒有境條件可以是明確寫出來的，也可以是沒有寫出來的所寫出來的所謂自然自然邊境條件境條件滿足足這些些邊境條件的非零解使得方境條件的非零解使得方程的參數(shù)取某些特定程的參數(shù)取某些特定值這些特定些特定值叫做本征叫做本征值或特征或特征值、或、或固有固有值，相，相應的非零解叫做本征函數(shù)特征函數(shù)、固有

24、函數(shù)的非零解叫做本征函數(shù)特征函數(shù)、固有函數(shù)求本征求本征值和本征函數(shù)的和本征函數(shù)的問題叫做本征叫做本征值問題.常常見的本征的本征值問題都可以都可以歸結(jié)為施施圖姆姆(J.C.F.Sturm)劉劉維爾(J.Liouville)本征本征值問題，本，本節(jié)就就討論具有普遍意具有普遍意義的施的施圖姆劉姆劉維爾本征本征值問題321施施圖姆劉姆劉維爾本征本征值問題定定義 3.2.1 施施圖姆劉姆劉維爾型方程型方程 通常把具有方式通常把具有方式 3.2.1的二的二階常微分方程叫作施常微分方程叫作施圖姆劉姆劉維爾型方程，型方程，簡稱施劉型稱施劉型方程方程 研研討二二階常微分方程的本征常微分方程的本征值問題時，對于普通的二于普通的二階常微分方程常微分方程 通常乘以適當?shù)暮瘮?shù)通常乘以適當?shù)暮瘮?shù)，就可以化成，就可以化成施施圖姆劉姆劉維爾型方程型方程(3.2.2)施圖姆劉維爾型方程13.2.1附加以齊次的第一類、第二類或第三類邊境條件，或自然邊境條件，就構(gòu)成施圖姆劉維爾本征值問題.討論(1)或或 再加上自然再加上自然邊境條件：境條件：有界有界.就構(gòu)成了勒就構(gòu)成了勒讓德德方程本征方程本征值問題或或 3.2.3(2)或或 再加上自然邊境條件：再加上自然邊境條件：有界有界.即構(gòu)成連帶勒讓德方程本征值問題即構(gòu)成連帶勒讓德方程本征值問題3.2.