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1、皰工巧解牛知識巧學(xué)一、向量的數(shù)乘1.向量的數(shù)乘 一般地，我們規(guī)定實數(shù)與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作a.它的長度與方向規(guī)定如下：(1)|a|=|a|；(2)當(dāng)0時，a的方向與a的方向相同；當(dāng)0時，a的方向與a的方向相反；當(dāng)=0時，a=0.實數(shù)與向量的積的定義可以看作是數(shù)與數(shù)的積的概念的推廣，a是一個向量，其長度|a|=|a|，其方向與的符號有關(guān)，應(yīng)注意0a=0而不是實數(shù)0.2.向量的數(shù)乘的幾何意義 由實數(shù)與向量積的定義可以看出，它的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮. 當(dāng)|1時，表示向量a的有向線段在原方向(0)或反方向(0)上伸長了|倍；當(dāng)|1時，表示向量a的有

2、向線段在原方向(0)或反方向(0)上縮短了|倍.圖2-2-343.向量數(shù)乘的運算律設(shè)、為實數(shù)，那么(1)(a)=()a；(2)(+)a=a+a；(3)(a+b)=a+b.學(xué)法一得 實數(shù)與向量的積的運算律與中學(xué)代數(shù)運算中實數(shù)乘法的運算律很相似.證明這些運算律成立的關(guān)鍵是證明等式兩邊的向量的模相等，且方向相同.證明：(1)如果=0，=0，a=0中至少有一個成立，則(1)式顯然成立.如果0，0，且a0，有|(a)|=|a|=|a|，|()a|=|a|=|a|.|(a)|=|()a|.(2)如果=0，=0，a=0中至少有一個成立，則(2)式顯然成立.如果0，0且a0，可分如下兩種情況：當(dāng)、同號時，則a

3、和a同向，所以|(+)a|=|+|a|=(|+|)|a|，|a+a|=|a|+|a|=|a|+|a|=(|+|)|a|，即有|(+)a|=|a+a|.(3)當(dāng)a=0，b=0中至少有一個成立，或=0，=1時，(3)式顯然成立.當(dāng)a0，b0且0，1時，分如下兩種情況： 當(dāng)0且1時，在平面內(nèi)任取一點O，作=a，=b，=a，=b，如圖2-2-35所示，則=a+b，=a+b.圖2-2-35由作法知，有OAB=OA1B1，|=|，=.OABOA1B1.=，AOB=A1OB1.因此，O、B、B1在同一條直線上，|=|，與的方向也相同.(a+b)=a+b.當(dāng)0時，由圖2-2-36可類似證明(a+b)=a+b.

4、圖2-2-36(3)式成立.誤區(qū)警示 分類討論的思想在數(shù)學(xué)中既是一個重要的策略思想，也是一個重要的思想方法.很多數(shù)學(xué)問題不僅在涉及的知識范圍上帶有綜合性，而且就問題本身來說，也受到多種條件的交叉制約，形成錯綜復(fù)雜的局面，很難從整體上著手解決，這時，就從“分割”入手，把“整體”劃分為若干個“局部”，轉(zhuǎn)而去解決局部問題，最后達(dá)到整體上的解決.這是具有哲學(xué)意義的思想方法.分類討論思想，就是科學(xué)合理地劃分類別，通過各個擊破，再求整體解決(即先化整為零，再聚零為整)的策略思想.類別的劃分必須滿足互斥、無漏、最簡的要求，探索劃分的數(shù)量界限是分類討論的關(guān)鍵.二、兩向量共線如果向量b與非零向量a共線，那么有且

5、只有一個實數(shù)，使得b=a.(1)向量的平行(共線)與直線平行是有區(qū)別的，直線平行不包括重合的情況.(2)定理的實質(zhì)是向量相等，即存在唯一實數(shù)使b=a(a0)，應(yīng)從向量的大小和方向兩個方面理解，借助于數(shù)量溝通了兩個向量b與a的聯(lián)系.學(xué)法一得 定理為解決三點共線和兩直線平行問題提供了一種方法，要證三點共線或兩直線平行，任取兩點確定兩個向量，看能否找到唯一的實數(shù)使兩向量相等.把向量平行的問題轉(zhuǎn)化為尋求實數(shù)使向量相等的問題.典題熱題知識點一 向量的加法、減法及數(shù)乘例1設(shè)a、b為向量，計算下列各式.(1)-3a；(2)2(a-b)-(a+b)；(3)(2m-n)a-mb-(m-n)(a-b)(m、n為實

6、數(shù)).思路分析：利用向量的加法、向量的減法及數(shù)乘向量運算的法則及運算律計算.解：(1)原式=(-3)a=-a；(2)原式=2a-2b-a-b=(2a-a)-(2b+b)=a-b.(3)原式=2ma-na-mb-m(a-b)+n(a-b)=2ma-na-mb-ma+mb+na-nb=ma-nb.知識點二 用向量共線判斷三點共線例2 求實數(shù)，使得a+b與2a+b共線.思路分析：求未知數(shù)的值，可考慮通過挖掘題目的條件，布列含有未知數(shù)的方程求解.解：a+b與2a+b共線，存在一個實數(shù)，不妨設(shè)為m，使得(a+b)=m(2a+b),即(-2m)a+(1-m)b=0.解得=.例3 如圖2-2-37所示，在平

7、行四邊形ABCD中，=a，=b，M是AB的中點，點N是BD上一點，|BN|=|BD|.求證：M、N、C三點共線.圖2-2-37解：=a，=b，=-=a-b.=b+=b+(a-b)=a+b= (2a+b).又=b+a=(2a+b)，.又與有共同起點，M、N、C三點共線.方法歸納 幾何中證明三點共線，可先在三點中選擇起點和終點確定兩個向量，看能否找到唯一的實數(shù)使兩向量相等，把向量共線問題轉(zhuǎn)化為尋求實數(shù)使向量相等的問題.向量共線即向量平行，它與直線(線段)共線不同.知識點三 用向量法解決幾何問題例4 求證：三角形兩邊中點的連線平行于第三邊并且等于第三邊的一半.圖2-2-38如圖2-2-38，已知AB

8、C中，D、E分別是邊AB、AC的中點.求證：DEBC,且DE=BC.證明：因為D、E分別是邊AB、AC的中點，故=,=.=-= (-)=,而D、E不重合，所以DEBC,且DE=BC.例5 如圖2-2-39,在OACB中，BD=BC，OD與BA相交于點E，求證：BE=BA.圖2-2-39證明：用向量法證明.設(shè)E是線段BA上的一點，且BE=BA，只要證點E、E重合即可.設(shè)=a，=b，則=a，=b+a.-b，=a-，3=，=(a+3b)=(b+a).=.O、E、D三點共線.BE=BA.問題探究思想方法探究問題 向量的運算(運算律)與幾何圖形的性質(zhì)有緊密的聯(lián)系，向量的運算(運算律)可以用圖形簡明地表示

9、，而圖形的一些性質(zhì)又可以反映到向量的運算(運算律)上來.在課本中哪些地方能反映二者的緊密聯(lián)系？向量作為研究幾何問題的工具，有什么特殊的優(yōu)越性？用向量解決問題有什么明確的步驟嗎？探究過程：在課本中有若干例子說明了向量與圖形的密切聯(lián)系，如平行四邊形是表示向量加法、減法的幾何模型，加法及其交換律a+b=b+a可以表示平行四邊形中的對邊平行以及三角形全等，這說明，以向量為工具，可以把幾何圖形、幾何變換、向量運算及運算律統(tǒng)一起來.再如平面幾何中的共線和平行關(guān)系，用向量與實數(shù)的乘法來描述.而向量數(shù)乘的分配律：k(a+b)=ka+kb可以表示三角形相似.向量數(shù)量積可以證明垂直問題. 向量作為研究幾何問題的工

10、具，開創(chuàng)了研究幾何問題的新方法.由于歐氏幾何只依據(jù)基本的邏輯原理，而不便用其他工具，只從基本公理出發(fā)，通過演繹推理建立幾何關(guān)系，因此，它給出的幾何論證嚴(yán)謹(jǐn)且幽雅，能夠給人們極大的美感和享受，但沒有一般規(guī)律可循，且存在較大的思考難度，往往對人的智力提出極大的挑戰(zhàn).尋求幾何研究的工具，以更好地把握圖形的性質(zhì)和規(guī)律，推進幾何研究的發(fā)展成為數(shù)學(xué)家們的一個理想.自從建立向量運算(運算律)與幾何圖形之間的關(guān)系后，將圖形的研究推進到了有效運算的水平，從而實現(xiàn)了綜合幾何到向量幾何的轉(zhuǎn)折.向量運算(運算律)把向量與幾何、代數(shù)有機地聯(lián)系在一起.探究結(jié)論：用向量方法解決幾何問題的基本過程是：首先把一個幾何量代數(shù)化，

11、即把位移這個基本的幾何量加以抽象而得到向量的概念；然后運用歐氏空間特有的平移、全等、相似與勾股定理等基本性質(zhì)引進向量的加(減)法、向量數(shù)乘與數(shù)量積這三種運算，并把歐氏幾何的直觀性與向量的運算(運算律)有機地結(jié)合起來，使得直觀的幾何問題代數(shù)化，抽象的運算及運算律直觀化，這樣就使數(shù)與形有機地結(jié)合起來.運算和運算律是向量的靈魂，是聯(lián)結(jié)數(shù)與形的紐帶，它建立了運算(運算律)與幾何圖形之間的對應(yīng)關(guān)系，使我們能夠通過運算來研究幾何.誤區(qū)陷阱探究問題 “已知非零向量a、b、c滿足a+b+c=0，表示a、b、c的有向線段一定構(gòu)成三角形”這個命題是否正確？探究思路：乍一看題目，好像能構(gòu)成一個三角形，但應(yīng)注意三角形

12、三邊不共線.而題目中所給的三個向量并不一定是不共線的向量，若不注意這一點,則極易得出“命題正確”的錯誤結(jié)論.因此要處理這個問題應(yīng)從兩方面來考慮：三個向量共線與不共線.圖2-2-40， 當(dāng)a、b不共線時，如右圖，在平面內(nèi)取一點O，作=a，=b，由向量的加法可知=a+b，又由已知a+b+c=0，則有c=-(a+b)=-=，取=c則表示a、b、c的有向線段能構(gòu)成三角形. 當(dāng)a、b共線時，顯然不能構(gòu)成三角形. 故非零向量a、b、c滿足a+b+c=0，表示a、b、c的有向線段不一定構(gòu)成三角形. 故“已知非零向量a、b、c滿足a+b+c=0，表示a、b、c的有向線段一定構(gòu)成三角形”這個命題不正確.探究結(jié)論：這個命題不正確.